河北省郑口中学、鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(无答案)

这是一份河北省郑口中学、鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(无答案)，共11页。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A. B. C.1 D.2
3.已知直线与平行，且过点，则（ ）
A. B.3 C. D.2
4.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.已知实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A.始终过定点
B.若，则或
C.若，则或2
D.当时，始终不过第三象限
11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ）
A.点的轨迹长度为
B.点到平面的距离是定值
C.直线与平面所成角的正切值的最大值为
D.的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为__________.
13.已知向量，若共面，则__________.
14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知的顶点坐标为.
（1）若点是边上的中点，求直线的方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
16.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线的夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知直线过定点.
（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程；
（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.
19.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
2024~2025学年度高二上学期10月月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又，.故选A.
2.B 因为，所以，所以，解得.故选B.
3.D 因为直线与直线平行，，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.
4.A 因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以.故选A.
5.C 点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即，故选C.
6.C 取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离为.故选C.
7.D 由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且，，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选D.
8.B 延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值为点到平面的距离，又点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又，易得点到平面的距离为，所以的最小值为.故选B.
9.ABD ，故A正确；，设，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选ABD.
10.ACD
11.BCD 因为，即，所以，即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A错误；
在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；
因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；
到直线的距离为，当点落在上时，，故D正确.故选BCD.
12.答案见错题集
13.5 因为共面，所以存在实数，使得，即，
即
14. 取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，设，且，因为为的中点，
故，于是，平面的一个法向量为，
，
设，则，，故.
15.（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；
（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.
16.（1）证明：由于三棱柱是直三棱柱，所以，
因为点分别为棱的中点，所以，
则四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面
（2）解：因为直三棱柱，所以以为原点，所
在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，于是，
设直线与直线的夹角为，则，
所以直线与直线的夹角的余弦值为.
17.（1）证明：连接，如图所示，在直四棱柱中，平面，又平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；
（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，
设平面的一个法向量为，所以，
令，解得，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为.
18.答案见错题集
19.答案见错题集