山东省青岛市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省青岛市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版附解析），文件包含山东省青岛市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题word版含解析docx、山东省青岛市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

2024.07
本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A. B. 1C. D. i
2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（ ）
A. B.
C D.
4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）

A. B. 3C. D.
6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（ ）
A. 6B. C. 24D. 44
7. 若△ABC为斜三角形，，则的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
8. 已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（ ）
A. B. C. 或D. 或
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 正方体中，点E，F分别为，的中点，则（ ）
A. 与为异面直线
B. 平面
C. 过点A，E，F的平面截正方体的截面为三角形
D. 平面
10. 已知向量在向量上的投影向量为，向量，则向量可以为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知四面体所有棱长都等于6，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，点是棱的中点，则（ ）
A. 该四面体的高为
B. 该四面体的体积为
C. 点的运动轨迹长度为
D. 过的平面截该四面体内最大球的截面面积为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N．（重力加速度g取）
13. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______．
14. 在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则______．
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．

（1）证明：四边形为等腰梯形；
（2）若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面圆锥，求剩余部分的体积．
16. 如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是中点，P是与的交点．

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且．
（1）求B；
（2）若B的角平分线交AC于点D，，点E在线段AC上，，求的面积．
18. 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；
（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．
19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB同一侧．

（1）当时，求的长度；
（2）当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求；
（3）证明：．