2024年四川省凉山州中考数学真题（解析版）

这是一份2024年四川省凉山州中考数学真题（解析版），共26页。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字在答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色字笔书写在答题卡对应题目标号的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸卷上答题无效．
3．考试结束后，由监考教师将试题卷，答题卡，草稿纸一并收回．
本试卷共6页，分为A卷（100分），B卷（50分），全卷满分150分，考试时间12（A卷又分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷选择题（共48分）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置．
1. 下列各数中：，负数有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有，，，共3个．
故选：C．
2. 如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形．
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的除法和乘法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
5. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点关于原点对称的点是，
∴，，
∴，
故选：．
6. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选：．
7. 匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
故选：．
8. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的位女演员身高的折线统计图如下．则甲，乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方差，根据折线统计图结合数据波动小者即可判断求解，理解方差的意义是解题的关键．
【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动更小，乙的数据波动更大，甲比乙更稳定，
∴，
故选：．
9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
10. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．

中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：C．
11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，
∵三角形硬纸板的面积为，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
12. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：D．
第Ⅱ卷非选择题（共52分）
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13. 已知，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 方程的解是_______
【答案】x=9
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得
3x-9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
15. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是______．
【答案】42
【解析】
【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：四边形各边中点分别是、、、，
、、、分别为、、、的中位线，
，，，，
四边形的周长为：，
故答案为：42．
17. 如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，解得：，
∴点C的坐标为，，
∴．
故答案为：9．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：
．
19. 求不等式的整数解．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将变形为，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，再找出其中的整数解即可．
【详解】解：由题意得，
解①得：，
解②得：，
∴该不等式组的解集为：，
∴整数解为：
20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1），；
（2）补图见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用乘以最喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数；
（）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图；
（）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键．
【小问1详解】
解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：最喜欢篮球项目的学生有人，
∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21. 为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：塔高为．
22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可．
【小问1详解】
解：点在正比例函数图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为．
【小问2详解】
解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
，
由题意得：，
∴同底等高，
．
B卷（共50分）
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】解：∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
24. 如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______
【答案】
【解析】
【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，
当，，当，即，
解得：，
而
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时即最小，
∴当时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25. 阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
（2）体验：三角点阵中前行点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】（1）36；120；
（2）不能 （3）一共能摆放20排．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【小问1详解】
解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
【小问2详解】
解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
【小问3详解】
解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
26. 如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．

（1）求证：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明；
（2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点N作于点F，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：

即，
∴在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．
27. 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明；
（2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到．
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
28. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
（3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）的坐标为
（3）的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线解析式为；
（2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为；
（3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．
【小问1详解】
解：把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设，则，，
，
，
解得或（此时不在直线上方，舍去）；
的坐标为；
【小问3详解】
解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下：
过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
，
设，则，
，
∵
，
的面积等于面积的一半，
，
，
或，
解得或，
的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．