2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二（上）适应性数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二（上）适应性数学试卷（10月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则与BM相等的向量是( )
A. 12a+12b+c
B. −12a+12b+c
C. 12a−12b+c
D. −12a−12b+c
2.已知直线l的一个方向向量n=(−1,2)，且过点(−1,2)，则直线l的方程为( )
A. 2x+y=0B. x−2y+5=0C. x+2y−3=0D. 2x−y+4=0
3.已知a=(2,0,−1),b=(3,−2,5)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 15(3,−2,5)B. 138(3,−2,5)C. 15(2,0,−1)D. 138(2,0,−1)
4.直线l1：ax+3y+2a=0与直线l2：2x+(a−1)y+(a+1)=0平行，则“l1//l2”是“a=−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要
5.已知两点M(3,−1)，N(2,5)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. (−∞,−1]B. [4,+∞)
C. [−1,4]D. (−∞,−1]∪[4,+∞)
6.以A(2,1)，B(4,2)，C(8,5)为顶点的三角形的面积等于( )
A. 1B. 45C. 65D. 2
7.若动点A、B分别在直线l1：x+y−7=0和l2：x+y−5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为( )
A. 3 2B. 2 3C. 3 3D. 4 2
8.三棱锥A−BCD满足BC−AC=BD−AD=2，二面角C−AB−D的大小为60°，CD⊥AB，AB=4，CD=3，则三棱锥A−BCD外接球的体积为( )
A. 7πB. 28πC. 7 7π3D. 28 7π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若a⋅b>0，则是锐角
C. 已知向量{a,b,c}组是空间的一个基底，则{2a,b,c−a}也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点O，有OP=112OA+14OB+23OC，则P，A，B，C四点共面
10.已知直线l： 3x−y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的一个法向量为( 3,1)
B. 若直线m：x− 3y+1=0，则l⊥m
C. 点( 3,0)到直线l的距离是2
D. 过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是 3x−y−4=0
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下说法正确的是( )
A. 当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]
C. 若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为椭圆
D. 若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF/​/平面B1CD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l的斜率k∈[1, 3)，则直线l的倾斜角θ的取值范围为______．
13.过点(2,−1)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为______．
14.设m∈R，过定点A的动直线x+2+m(y−7)=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：(a−1)y=(2a−3)x+1．
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知直线l1：2x−(a−1)y−2=0，l2：(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R)．
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1//l2，求l1，l2之间的距离．
17.(本小题15分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，∠DAB=90°，AD//BC，E，F，G分别为A1B1，A1B，CD的中点．
(1)证明：FG//平面CD1E.
(2)若A1A=AD=AB=2，BC=1，求二面角B−CD1−E的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA．
(1)证明：OA⊥BC；
(2)当AO=1时，求点E到直线BC的距离；
(3)若二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥E−BCD的体积．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120°，∠ADC=45°．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB=AP．
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 3344，求线段AB的长．
②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的求法，考查向量加法法则，考查运算求解能力，属于基础题．
利用向量加法法则直接求解．
【解答】
解：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，AB=a，AD=b，AA1=c，
∴BM=BB1+B1M=AA1+12BD=AA1+12(BA+BC)=−12AB+12AD+AA1=−12a+12b+c．
故本题选B．
2.【答案】A
【解析】解：直线l的一个方向向量n=(−1,2)，
则直线l的斜率为2−1=−2，
直线l过点(−1,2)，
则直线l的方程为y−2=−2(x+1)，即2x+y=0．
故选：A．
先求出直线l的斜率，再结合直线的点斜式方程，即可求解．
本题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：向量b在向量a上的投影为a⋅b|a|=2×3+0×(−2)+(−1)×5 4+1= 55，
所以向量b在向量a上的投影向量是 55×a|a|= 55×1 5a=15a=15(2,0,−1)．
故选：C．
直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：当l1//l2时，则a(a−1)=6，故a=−2或a=3，
当a=3时，l1的方程为x+y+2=0，l2的方程为x+y+2=0，此时两条直线重合，不符合；
当a=−2时，l1的方程为2x−3y+4=0，l2的方程为2x−3y−1=0，符合；
综上，“l1//l2”是“a=−2”的充要条件．
故选：B．
根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系．
本题考查充要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，kPM=1+11−3=−1，kPN=1−51−2=4，
故直线l的斜率k的取值范围是[−1,4]．
故选：C．
由已知结合直线的斜率公式即可求解．
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为(2,1)，B(4,2)，C(8,5)，
所以|AB|= (2−4)2+(1−2)2= 5，
直线AB的方程为y−1=2−14−2⋅(x−2)，即x−2y=0，则C到直线AB的距离为|8−2×5| 12+(−2)2=2 55，
故三角形的面积为12× 5×2 55=1．
故选：A．
先求出|AB|及直线AB的方程，再利用距离公式求出C到直线AB的距离，按照三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵l1：x+y−7=0和l2：x+y−5=0是平行直线，
∴可判断：过原点且与直线垂直时，M到原点的距离最小．
∵直线l1：x+y−7=0和l2：x+y−5=0，
∴两直线的距离为|7−5| 12+12= 2，
∴AB的中点M到原点的距离的最小值为5 22+ 22=3 2，
故选：A．
求出两直线的距离为|7−5| 12+12= 2，原点到直线的l2：x+y−5=0距离，运用线段的关系求解．
本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图所示，
设AC=m，AD=n，则BC=m+2，BD=n+2，由向量的运算及余弦定理可得：
CD⋅AB=(AD−AC)⋅AB=AD⋅AB−AC⋅AB=|AD|⋅|AB|cs∠BAD−|AC|⋅|AB|cs∠BAC
=|AD|⋅|AB|⋅|AD|2+|AB|2−|BD|22|AD⋅|AB|−|AC|⋅|AB|⋅|AC|2+|AB|2−|BC|22|AC|⋅|AB|
=|AD|2+|BC|2−|BD|2−|AC|22，
所以CD⋅AB=n2+(m+2)2−(n+2)2−m22=0，
解得：m=n，故AC=AD，BC=BD，过C作CE⊥AB，连接DE，
则DE⊥AB，设AE=x，则m2−x2=(m+2)2−(4−x)2=9，
解得：m=3，x=0，所以点E与点A重合，
故AC⊥AB，AD⊥AB，即∠CAD为二面C−AB−D的平面角，故三棱锥可放置成如图所示，
O1为底面正△ACD的外心，即AO1=3 32×23= 3，O为A−BCD的外接球球心，
即OO1//AB，为使得OA=OB=OC=OD，故OO1=12AB=2，
所以三棱锥A−BCD的外接球半径R= 3+4= 7，所以外接球的体积V=43π( 7)3=28 7π3．
故选：D．
设AC=m，AD=n，根据对角线向量的性质列方程求m，n关系，从而可得线线垂直，过C作CE⊥AB，连接DE，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角C−AB−D的平面角，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，从而可得球的体积．
本题考查了三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：空间中的三个向量，
若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对于B，a⋅b>0，
则也有可能是0°，故B错误；
对于C，向量{a,b,c}组是空间的一个基底，
若{2a,b,c−a}不是空间的一个基底，
则2a=λb+μ(c−a)，即λ=0μ=0，
则a=0，与条件矛盾，
故{2a,b,c−a}也是空间的一个基底，故C正确；
对空间中任意一点O，有OP=112OA+14OB+23OC，
112+14+23=1，
则P，A，B，C四点共面，故D正确．
故选：ACD．
根据已知条件，结合空间向量基本定理，以及基底的定义，即可求解．
本题主要考查空间向量基本定理，以及基底的定义，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，因为直线l： 3x−y+1=0的斜率k= 3，
但1 3⋅ 3=1≠−1，可知( 3,1)不为直线l的一个法向量，故A错误；
对于B，因为直线m：x− 3y+1=0的斜率k′= 33，且kk′=1≠−1，
所以直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点( 3,0)到直线l的距离d=| 3× 3−0+1| ( 3)2+(−1)2=2，故C正确；
对于D，过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是y−2= 3(x−2 3)，即 3x−y−4=0，故D正确．
故选：CD．
对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系，判断出A的真假；对于B：根据直线垂直的条件，判断出B的真假；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解，判断出C的真假；对于D：根据直线平行的条件求解，判断出D的真假．
本题考查过已知点与直线平行的直线的求法，直线的方向向量的求法，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，当点P在平面BCC1B1上运动时，点P到面AA1D1D的距离为2，S正方形AA1D1D=22=4，
所以当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积是13×22×2=83，选项A正确；
对于B，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设P(x,2−x,0)，其中0≤x≤2，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，C1(0,2,2)，
则D1P=(x,2−x,−2)，A1C1=(−2,2,0)，
设D1P与A1C1所成角为θ，则csθ=|cs|=|D1P⋅A1C1||D1P||A1C1|=|x−1| (x−1)2+3，
因为0≤|x−1|≤1，当|x−1|=0时，θ=π2，
当001a−1≤0，解得a0)，则E(0,13,2t3)，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，又BC=( 32,32,0),BE=(0,43,2t3)，
所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得 32x+32y=043y+2t3z=0，
令x= 3，则y=−1，z=2t，故n=( 3,−1,2t)，
因为二面角E−BC−D的大小为45°，
所以|cs|=|n⋅OA||n||OA|=2t 4+4t2= 22，
即4t2(4+4t2)=24，即44t2+4=11+t2=12，
得1+t2=2，即t2=1，得t=1，所以OA=1，
又S△OCD=12×1×1× 32= 34，所以S△BCD= 32，
故VE−BCD=13S△BCD⋅EF=13× 32×23= 39．
【解析】(1)根据线面垂直的性质定理进行证明即可．
(2)建立坐标系，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
(3)求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查空间直线和直线垂直的判断，空间点到直线的距离以及空间几何体体积的计算，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：(1)在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系A−xyz，
设AB=t，则AP=t，由AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120°，∠ADC=45°，
则B(t,0,0)，P(0,−t2, 3t2)，因为AD=5−t，则D(0,5−t,0)，C(1,4−t,0)，
所以CP=(−1,t2−4, 3t2)，CD=(−1,1,0)，
①设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，由n⊥CP，n⊥CD，
得−x+t−82y+ 3t2z=0−x+y=0，
可取n=(1,1,10−t 3t)，
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|csn,BP|，BP=(−t,−t2, 3t2)，
即 3344=|−t−t2+10−t2 1+1+(10−t 3t)2 t2+t24+3t24|，
化简得：23t2−116t+140=0，
解得t=2或t=7023，
即AB=2或AB=7023．
②如图，假设在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由GC=GD，得∖angGCD=∖angGDC=45°，所以∠CGD=90°，
所以GD=CDcs45°=1，
又AB=t得AD=5−t，AG=AD−GD=4−t，所以G(0,4−t,0)，P(0,−t2, 3t2)，
由GP=GD得[−t2−(4−t)]2+( 3t2)2=1，
即(t2−4)2+34t2=1，
亦即t2−4t+15=0(*)，
因为Δ=(−4)2−4×15