2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若全集U={3,4,5,6,7,8}，M={4,5}，N={3,6}，则集合{7,8}等于( )
A. M∪NB. M∩NC. (∁UM)∪(∁UN)D. (∁UM)∩(∁UN)
2.已知OA=(1,2,3)，OB=(2,λ,3)，OC=(4,2,k)，若OA⊥平面ABC，则λ+k的值是( )
A. 43B. 32C. 74D. 72
3.样本(x1,x2,⋯,xn)的平均数为x−，样本(y1,y2,⋯,ym)的平均数为y−(x−≠y−).若样本(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)的平均数z−=αx−+(1−α)y−，且n02−2−x,xf(−a)，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,0)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)
6.已知点P(1,2).向量m=(− 3,1)，过点P作以向量m为方向向量的直线为l，则点A(3,1)到直线l的距离为( )
A. 3−1B. 1− 32C. 2+ 3D. 2− 3
7.已知函数f(x)=|lgx|，若存在00)．
(1)当a=1，b=2时，求曲线C围成的区域的面积；
(2)若直线l：x+y=1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点(1b,1a2)到直线l距离的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)满足：f(x+2)=2f(x)+a(a∈R)，若f(1)=2，且当x∈(2,4]时，f(x)=2x2−6x+11．
(1)求a的值；
(2)当x∈(0,2]时，求f(x)的解析式；并判断f(x)在(0,4]上的单调性(不需要证明)；
(3)设g(x)=lg2(2+43x−1)，h(x)=2csx+mcs2x(x∈[−π2,π2])，若f[h(x)]≥g[h(x)]，求实数m的值．
21.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P−ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC/​/AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2．
(1)在线段PD上是否存在一点E，使得CE/​/平面PAB；
(2)求四棱锥P−ABCD的体积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵全集U={3,4,5,6,7,8}，M={4,5}，N={3,6}，
可得M∪N={3,4,5,6}
又(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N)={7,8}，
故选：D．
由全集U及集合M，N的补集即可判断得出．
本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵OA=(1,2,3)，OB=(2,λ,3)，OC=(4,2,k)，
∴AB=(1,λ−2,0)，AC=(3,0,k−3)，
若OA⊥平面ABC，则OA⊥AB，OA⊥AC，
∴OA⋅AB=1+2(λ−2)=0，解得λ=32，
OA⋅AC=3+3(k−3)=0，解得k=2，
则λ+k=72．
故选：D．
根据OA⊥AB，OA⊥AC，得到OA⋅AB=1+2(λ−2)=0，OA⋅AC=3+3(k−3)=0，解得λ，k，相加即可．
本题考查了直线与平面垂直和向量的数量积判断向量垂直，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵z−=nx−+my−m+n=nm+nx−+mm+ny−=αx−+(1−α)y−，
∴α=nm+n0，
∴00，即f(a)>0，
由图像可得x∈(−1,0)∪(1,+∞)．
故选：B．
判断函数的奇偶性，结合图像即可求解结论．
本题主要考查分段函数的性质以及函数奇偶性的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由于点P(1,2).向量m=(− 3,1)，过点P作以向量m为方向向量的直线为l，
故直线的方程为y−2=− 33(x−1)，
整理得：x+ 3y−2 3−1=0，
利用点A(3,1)到直线l的距离d=|3+ 3−2 3−1|2=1− 32．
故选：B．
直接利用点和直线的方向向量求出直线的方程x+ 3y−2 3−1=0，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由f(a)=f(b)，得到|lga|=|lgb|，
因为02时，f(t)min=f(a)=a2−2=8，
解得a= 10或a=− 10(舍)．
综上，a的取值为−1或 10．
故选：AD．
先利用两点间距离公式表示出|PA|，然后利用换元法将|PA|转化为一个二次函数类型的函数求最值问题，取最小值2 2时得到关于a的方程，求解即可．
本题主要考查两点间距离公式和代数变换求最值，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】−2
【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
则有f(−1)=f(1)且f(−1)=−f(1)，
即f(1)=−f(1)，则f(1)=0，
f(−52)=−f(52)=−f(12)=−(412)=−2，
则f(−52)+f(1)=−2+0=−2；
故答案为：−2．
根据题意，由函数的周期性与奇偶性可得f(−1)=f(1)且f(−1)=−f(1)，分析可得f(1)的值，进而分析可得f(−52)=−f(52)=−f(12)，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数的奇偶性与周期性，注意求出f(1)的值．
14.【答案】3+2 2
【解析】解：∵直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，
∴(a−1)×1+2b=0，化简整理可得，a+2b=1，
∵a>0，b>0，a+2b=1，
∴1a+1b=(1a+1b)(a+2b)=ab+2ba+3≥2 ab⋅2ba+3=3+2 2，
当且仅当ab=2ba，即a= 2−1，b=2− 22时，等号成立，
故1a+1b的最小值是3+2 2．
故答案为：3+2 2．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，以及基本不等式的公式，属于基础题．
15.【答案】[43,83]
【解析】解：当点P与点C重合时，三棱锥P−A1BD的体积最小，
此时点P到平面A1BD的距离等于点A到平面A1BD的距离，
此距离为正方体体对角线长度的13，
此时三棱锥P−A1BD的体积为13× 34×(2 2)2×2 33=43；
当点P与C1重合时，P到平面A1BD的距离为正方体体对角线长度的23，
即23×2 3=4 33，
此时三棱锥P−A1BD的体积最大，为13× 34×(2 2)2×4 33=83，
故三棱锥P−A1BD的体积的取值范围是[43,83]．
故答案为：[43,83]．
利用极端法，结合三棱锥的体积公式和正方体的性质进行求解即可．
本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
16.【答案】11
【解析】解：因为A(2,3,1)，B(4,1,−2)，C(6,3,7)，D(−5,−4,8)，
所以AB=(2,−2,−3),AC=(4,0,6),AD=(−7,−7,7)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，
所以AB⋅n=2x−2y−3z=0AC⋅n=4x+6z=0，令x=−3，则z=2，y=−6，所以n=(−3,−6,2)，
所以D到平面ABC的距离为d=|AD⋅n||n|=777=11，
即从顶点D所引的四面体的高h=11，
故答案为：11．
计算平面ABC的一个法向量n和AD，通过点到面的距离公式即可计算．
本题考查了点到平面的距离计算问题，属于基础题．
17.【答案】解：(1)依题意得：f(u)=−u+2(u⋅a)a=v，
设a=(x,y,z)，
代入运算得：2x2−1=02xy=02xz=1，
解得a=( 22,0, 22)或a=(− 22,0,− 22)．
证明：(2)设x=(a,b,c)，y=(m,n,t)，a=(a1,a2,a3)，
则f(x)⋅f(y)=[−x+2(x⋅a)a]⋅[−y+2(y⋅a)a]
=x⋅y−4(y⋅a)(x⋅a)+4(y⋅a)(x⋅a)(a)2=x⋅y−4(y⋅a)(x⋅a)+4(y⋅a)(x⋅a)=x⋅y．
∴f(x)⋅f(y)=x⋅y．
解：(3)设x与a的夹角为α，
则x⋅a=|x|⋅|a|csα=csα，
则|f(x)−x|=|2x−2(x⋅a)a|= (2x−2csαa)2= 4−4cs2α≤2，
∴|f(x)−x|的最大值为2．
【解析】(1)f(u)=−u+2(u⋅a)a=v，设a=(x,y,z)，列方程组能求出向量a．
(2)设x=(a,b,c)，y=(m,n,t)，a=(a1,a2,a3)，由此能证明f(x)⋅f(y)=x⋅y．
(3)设x与a的夹角为α，则x⋅a=|x|⋅|a|csα=csα，由此能求出|f(x)−x|的最大值为2．
本题考查向量的求法，考查等式的证明，考查向量的模的最大值的求法，考查向量、向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18.【答案】解：(1)由余弦定理得csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC，
即12=9+4−BC22×3×2，
所以BC= 7，
设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得， 7sin60°=2R，
所以R= 213，
所以△ABC外接圆的面积为πR2=7π3．
(2)若选择①，S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=12×2×3× 32=3 32，
同时S△ABC=12AB⋅ADsin∠BAD+12AC⋅AD．sin∠CAD=54AD，
所以54AD=3 32，所以AD=6 35．
若选择②，AD=12(AB+AC)，
两边平方得AD2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(9+4+2×3×2×12)=194，
所以AD= 192．
【解析】(1)根据已知条件，结合余弦定理，以及正弦定理的应用，即可求解．
(2)选择①，根据已知条件，结合三角形的等面积法，即可求解．
选择②，根据已知条件，结合AD=12(AB+AC)，即可求解．
本题主要考查正弦定理，以及余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=1，b=2时，曲线C的方程是|x|+|y|2=1，
曲线C围成的区域为菱形，其面积为12×2×4=4；
(2)当x>0，y>0时，有xa+yb=1，
联立直线x+y=1可得M(a−aba−b,ab−ba−b)，
当x0时，有x−a+yb=1，
联立直线x+y=1可得N(a−aba+b,b+aba+b)，
由OM⊥ON可得kOMkON=−1，
即有ab−ba−ab⋅b+aba−ab=−1，
化为1a2=1b2−2b+2，
点(1b,1a2)到直线l距离d=|1b+1a2−1| 2
=1b2−1b+1 2
=(1b−12)2+34 2，
由题意可得a−ab