2024-2025学年江西省上饶市蓝天教育集团高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省上饶市蓝天教育集团高二（上）第一次月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x−y−3=0的倾斜角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.已知点A(1,0),B(2, 3)，则直线AB的斜率是( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
3.已知两条直线l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，若l1与l2平行，则实数m=( )
A. −1B. 3C. −1或3D. ±3
4.若直线ax+y−4=0与直线x−y−2=0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,2)B. (−1,+∞)
C. (−∞,2)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)
5.以点C(−1,−5)为圆心，并与x轴相切的圆的方程是( )
A. (x+1)2+(y+5)2=9B. (x+1)2+(y+5)2=16
C. (x−1)2+(y−5)2=9D. (x+1)2+(y+5)2=25
6.圆x2+y2−2x−2y−1=0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
7.若圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A、B两点，则公共弦AB的长是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知圆C：(x−4)2+(y−13)2=4，过直线l：4x−3y=0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为( )
A. 3B. 5C. 2 5D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线l经过点(2,−3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A. 3x+2y=0B. 2x+3y=0C. x−y−5=0D. x+y+1=0
10.已知圆C：x2+y2−4y=0，直线l过点(1,1)，则下列说法正确的是( )
A. 圆C的半径为2B. 圆C的圆心坐标为(0,−2)
C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2 2D. 直线l被圆C截得的最长弦长为4
11.已知曲线C：(|x|−1)2+(|y|−1)2=8，则( )
A. 曲线C上两点间距离的最大值为4 2
B. 若点P(a,a)在曲线C内部(不含边界)，则−3C. 若曲线C与直线y=x+m有公共点，则−6≤m≤6
D. 若曲线C与圆x2+y2=r2(r>0)有公共点，则3≤r≤3 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点A(4,12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______．
13.直线l经过点P(3,6)，且与圆C：x2+y2−2x−4y+1=0相切，则直线l的方程为______．
14.已知点M是圆x2+y2=1上的动点，点N是圆(x−5)2+(y−2)2=16上的动点，点P在直线x+y+5=0上运动，则|PM|+|PN|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知坐标平面内三点A(−2,−4)，B(2,0)，C(−1,1)．
(1)求直线AB的斜率和倾斜角；
(2)若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
16.(本小题15分)
已知直线l1：(a+6)x+2y+8=0，直线l2：3x−(a−1)y+4=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
17.(本小题15分)
已知关于x，y的方程C：x2+y2−2x−4y+m=0．
(1)当m为何值时，方程C表示圆．
(2)若圆C与直线l：x+2y−4=0相交于M，N两点，且MN=4 5.求m的值．
18.(本小题15分)
一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心O(0,0)为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时40 7km的速度做匀速直线运动．
(1)运输车将在无人区经历多少小时？
(2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？
19.(本小题17分)
已知圆C1：x2+y2+6x−2y+6=0和圆C2：x2+y2−8x−10y+41−r2=0(r>0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y=kx+1与圆C1交于P、Q两点，且OP⋅OQ=4，求实数k的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0,180°)．
∴tanθ= 3．
∴θ=60°．
故选：B．
利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】因为A(1,0),B(2, 3)，
所以直线AB的斜率为 3−02−1= 3．
故选：A．
利用斜率公式计算即可．
本题考查直线的斜率公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：两条直线l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，l1与l2平行，
则1×3=m(m−2)，解得m=3或m=−1，
当m=3时，l1和l2重合，不符合题意，
当m=−1时，l1和l2不重合，符合题意，
故m=−1．
故选：A．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵直线ax+y−4=0与直线x−y−2=0的交点位于第一象限，
∴a≠−1，
由ax+y−4=0x−y−2=0可得，x=6a+1>0y=4−2aa+1>0，
解可得，−1故选：A．
联立直线方程，求出交点坐标，然后根据点的位置即可求解．
本题主要考查了两直线的交点坐标的求解，属于基础试题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意，圆心坐标为点C(−1,−5)，半径为5，
则圆的方程为(x+1)2+(y+5)2=25．
故选：D．
由已知可得圆心坐标与半径，再由圆的标准方程得答案．
本题考查圆的标准方程，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由x2+y2−2x−2y−1=0知，圆的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=3，如下图：
其中O为坐标原点，圆心为M(1,1)，AB是过原点的一条弦，
所以MB= 3,MO= 2，
当AB⊥MO时，AB是所有经过坐标原点的弦中最短的弦，此时|AB|=2 MB2−MO2=2 3−2=2．
故选：B．
利用配方法将圆的方程化成标准形式，再结合垂径定理与勾股定理，求解即可．
本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，直线截圆所得弦长的问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A、B两点，
圆x2+y2+2x−4y−5=0，配方整理得(x+1)2+(y−2)2=10，
所以圆心为(−1,2)，半径为 10，
圆x2+y2+2x−1=0，配方整理得(x+1)2+y2=2，
所以圆心为(−1,0)，半径为 2，
所以两圆圆心距为 (−1+1)2+(2−0)2=2∈( 10− 2, 10+ 2)，
所以两圆相交，两圆方程作差得到y=−1，即公共弦方程为y=−1，
又圆(x+1)2+(y−2)2=10的圆心(−1,2)到y=−1的距离为3，
所以公共弦AB的长为2 ( 10)2−32=2．
故选：B．
首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可．
本题考查了两相交圆的公共弦长的计算，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由圆C：(x−4)2+(y−13)2=4，得圆心C(4,13)，半径r=2，
圆心C(4,13)到直线l：4x−3y=0的距离为d，
则d=|4×4−3×13| 42+32=3，
∵|PQ|= |CP|2−|CQ|2= |CP|2−4，
∴当直线l与CP垂直，即|CP|=d时，|PQ|最小，故|PQ|min= 32−4= 5，
S△CPQ=12×|PQ|×|CQ|=12×|PQ|×2=|PQ|≥ 5．
故选：B．
当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小，可求△PCQ的面积最小值．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：截距都为0时，即直线过原点，则直线的方程为y=−32x，即3x+2y=0；
当截距不为0时，且截距相等时，设直线的方程为x+y=a，将点(2,−3)代入方程，可得2−3=a，即a=−1，所以此时方程为x+y+1=0；
当截距不为0时，且截距相反时，设直线的方程为x−y=b，将点(2,−3)代入方程，可得2−(−3)=b，即b=5，所以此时方程为x−y−5=0．
故选：ACD．
分直线过原点和不过原点时截距相等和截距相反三类，设直线的方程，将点的坐标代入，求出参数的值，即求出直线的方程．
本题考查分类讨论及截距绝对值相等的直线方程的求法，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由已知圆的标准方程是x2+(y−2)2=4，圆心为C(0,2)，半径为2，A正确，B错误；
记点(1,1)为M，
|CM|= 12+(1−2)2= 2，
当CM⊥l时弦长最短，最短弦长为2 22−( 2)2=2 2，当直线l过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确．
故选：ACD．
由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断．
本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：分x，y的符号讨论曲线的形状，画出曲线C：(|x|−1)2+(|y|−1)2=8的图象如图所示：
对于A，曲线C上两点的最大距离为d= (1+1)2+(1+1)2+4 2=6 2，故A错误；
对于B，在曲线(x−1)2+(y−1)2=8(x>0,y>0)中，取y=x，可得x=3，
由P(a,a)在曲线的内部(不含边界)，则−3对于C：由图象可得，直线y=x+m与半圆(x+1)2+(y−1)2=8(x<0,y>0)相切时，截距m最大，
由|−1−1+m| 2=2 2，可得m=6或m=−2(舍去)，
直线y=x+m与半圆(x−1)2+(y−1)2=8(x>0,y<0)相切时，截距m最小，
由|1+1+m| 2=2 2，可得m=−6或m=2(舍去)，
∴若曲线C与直线y=x+m有公共点，则−6≤m≤6，故C正确；
对于D：由线(|x|−1)2+(|y|−1)2=8与坐标轴的交点为(0,±(1+ 7))，(±(1+ 7),0)，
当圆x2+y2=r2(r>0)过点(0,±(1+ 7))，(±(1+ 7),0)时，r最小，最小值为1+ 7，故D错误．
故选：BC．
根据题意，作出曲线C的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可．
本题考查了曲线与方程，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
12.【答案】(−1,0)或(9,0)
【解析】解：∵点P在x轴上，设P(x,0)，
∵点P与点A的距离等于13，
∴ (x−4)2+(0−12)2=13，解得x=9或−1，
∴点P的坐标为(9,0)或(−1,0)，
故答案为：(−1,0)或(9,0)．
根据题意设P(x,0)，再利用两点间的距离公式即可求出x的值，从而得到点P的坐标．
本题考查的知识点：两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】x=3或3x−4y+15=0
【解析】解：将圆C的方程x2+y2−2x−4y+1=0化为标准式可得：(x−1)2+(y−2)2=4，
则圆C的圆心坐标为(1,2)，半径为2，
又直线l经过点P(3,6)，且与圆C相切，
显然切线与x轴不平行，
设切线方程为x=k(y−6)+3，
则圆心(1,2)到直线x=k(y−6)+3的距离为2，
则|4k−2| 1+k2=2，
即k=0或k=43，
即直线l的方程为x=3或3x−4y+15=0．
故答案为：x=3或3x−4y+15=0．
由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
14.【答案】 149−5
【解析】解：由题意可知：圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径r1=1，
圆(x−5)2+(y−2)=16的圆心A(5,2)，半径r2=4，
则|PM|≥|PO|−1，|PN|≥|PA|−4，
即|PM|+|PN|≥|PO|+|PA|−5，
设点O(0,0)关于直线x+y+5=0对称的点为B(a,b)，
则b−0a−0=1a2+b2+5=0，解得a=b=−5，即B(−5,−5)，

因为|PO|=|PB|，则|PM|+|PN|≥|PB|+|PA|−5≥|AB|−5= 149−5，
当且仅当A，B，P三点共线时，等号成立，
所以|PM|+|PN|的最小值为 149−5．
故答案为： 149−5．
根据圆的性质可得|PM|+|PN|≥|PO|+|PA|−5，求点O(0,0)关于直线x+y+5=0对称的点为B，结合两点连线距离最短分析求解．
本题考查三点共线时线段和最小的性质及圆的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为直线AB的斜率为−4−2−2=1，
所以直线AB的倾斜角为π4．
(2)如图：

当点D在第一象限时，kAB=kCD，kAC=kBD，
设D(x,y)，
则y−1x+1=1yx−2=1+4−1+2，解得x=3y=5，
故点D的坐标为(3,5)．
【解析】(1)根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解．
(2)根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及平行四边形的性质，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为l1//l2，所以−(a+6)×(a−1)−2×3=0，
整理得a2+5a=0，解得a=0或a=−5，
当a=0时，l1：6x+2y+8=0，l2：3x+y+4=0，l1，l2重合，舍去，
当a=−5时，l1：x+2y+8=0，l2：3x+6y+4=0，符合题意，
故a=−5．
(2)因为l1⊥l2，
所以3(a+6)−2(a−1)=0，
解得a=−20．
【解析】(1)根据平行关系得到关于a的方程，求解出a的值并进行检验；
(2)根据垂直关系得到关于a的方程，由此求解出结果．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)方程C可化为：(x−1)2+(y−2)2=5−m，显然，当5−m>0时，即m<5时，方程C表示圆．
(2)圆的方程化为(x−1)2+(y−2)2=5−m，圆心C(1,2)，半径r= 5−m，
则圆心C(1,2)到直线l：x+2y−4=0的距离为d=|1+2×2−4| 12+22=1 5，
∵MN=4 5,则12MN=2 5，有 r2=d2+(12MN)2，
∴5−m=(1 5)2+(2 5)2，解得m=4．
【解析】(1)方程C可化为：(x−1)2+(y−2)2=5−m，应有5−m>0．
(2)先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．
本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．
18.【答案】解：(1)设运输车的初始位置在点A，其运动轨迹与圆O的交点为B和C，
如图所示，
由题意知，∠CAO=30°，OA=600，OB=400，
在△OAB中，由正弦定理知，OAsin∠OBA=OBsin∠CAO，
所以600sin∠OBA=40012，即sin∠OBA=34，
所以sin∠OBC=sin(180°−∠OBA)=sin∠OBA=34，
cs∠OBC= 1−342= 74，
过点O作OD⊥BC于点D，则cs∠OBC=BDOB，
所以BD=OBcs∠OBC=400× 74=100 7，
所以BC=2BD=200 7，
又运输车以每小时40 7km的速度做匀速直线运动，
则时间为200 740 7=5，
所以运输车将在无人区经历5小时．
(2)设运输车至少从点A′出发才能成功避开无人区，
则过点A′且与BC平行的直线与圆相切．
过点A′作A′D′//BC与圆O相切于点D′，
则OD′⊥A′D′，
在Rt△OA′D′中，sin∠OA′D′=OD′OA′，
所以OA ′=OD ′sin⁡∠OA ′D ′=40012=800，
故为使该运输车成功避开无人区，至少应离火山口800km出发才安全．
【解析】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理，诱导公式，直线与圆相切，属于中档题．
(1)设运输车的初始位置在点A，其运动轨迹与圆O的交点为B和C，先在△OAB中，利用正弦定理求得sin∠OBA，进而知cs∠OBC，过点O作OD⊥BC于点D，利用三角函数的知识求得BC的长，即可得解；
(2)设运输车至少从点A′出发才能成功避开无人区，利用直线与圆相切的关系求解即可．
19.【答案】解：(1)圆C1：x2+y2+6x−2y+6=0的标准方程为(x+3)2+(y−1)2=4，则圆心C1(−3,1)，r1=2，
圆C2：x2+y2−8x−10y+41−r2=0(r>0)的标准方程为(x−4)2+(y−5)2=r2(r>0)，则圆心C2(4,5)，r2=r，
所以|C1C2|= (4+3)2+(5−1)2= 65．
因为圆C1与圆C2相交，所以|r1−r2|<|C1C2|即|r−2|< 65所以r的取值范围为( 65−2, 65+2)；
(2)已知直线l：y=kx+1与圆C1交于P、Q两点，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立y=kx+1(x+3)2+(y−1)2=4，得(1+k2)x2+6x+5=0，
由Δ=36−20(1+k2)=16−20k2>0，得k∈(−2 55,2 55)，
所以x1+x2=−61+k2,x1x2=51+k2，
所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=−6k1+k2+6=4，解得k=3± 52，
因为k∈(−2 55,2 55)，所以k=3− 52．
【解析】(1)先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得|r1−r2|<|C1C2|(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合OP⋅OQ=4列方程可求出实数k的值．
本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．