山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第三次考试（10月）数学试题

这是一份山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第三次考试（10月）数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题人：何大鹏 审核人；陈娜
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两条直线和互相垂直，则a等于（ ）
A．B．0C．1D．2
2．椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．
3．设点M是轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．方程表示的曲线是（ ）
A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线
5．已知双曲线的离心率是2，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ）
A．0B．C．D．
7．已知点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
8．已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法不正确的是（ ）
A．直线经过定点
B．过，两点的所有直线的方程为
C．经过点且在轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10．已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于和四点（四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD一定是平行四边形B．四边形ABCD可能为菱形
C．的中点可能为D．的值可能为
11．在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线PF与平面所成角的正切值为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为9
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______．
13．已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______．
14．设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是______．
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知的顶点，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求
（1）顶点的坐标；
（2）直线BC的方程；
16．如图，三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
17．圆C过、两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
18．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积．
19．已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆C相交于A、B两点
线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；
②若点，求证：为定值．
山东省北镇中学高69级第三次考试数学试题参考答案
7．【答案】C
【解析】【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为为圆内一点，所以到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．
【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为，半径，
由M为圆内一点得到：，
则圆心到已知直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C．【答案】C
8．C 【分析】利用点差法求出，再由的关系由求离心率．
【详解】设，，由已知可得，，
相减化简可得，
又的中点，直线过点，
，，，，
，离心率，故选：C．
9．【答案】BC
【解析】解：直线中，令，得，
所以直线经过定点，故A正确，
当，时，过，两点所有直线的方程为，故B错误，
经过点且在轴和轴上截距都等于零时，
直线方程为：，故C错误，
设直线与两坐标轴交点为，，
所以三角形的面积，故D正确．故选：BC．
10．【答案】AD．【详解】由双曲线的中心对称性可知，点分别关于原点与对称，故，，
所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线斜率之积为，则AC与BD不垂直，所以四边形ABCD不可能为菱形，A正确，B错误；
设，，则，，
两式作差得，
若的中点为，可得，
代入上式，求得，故AB的方程为，
联立方程组，整理得，可得，，
则，此时，故C错误；
当点A位于第一象限，点B位于第二象限，
设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，结合双曲线渐近线，
易知，，可得，
又因为，所以的取值范围为；
当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为．
综上的取值范围为，所以D正确．故选：AD．
11．【答案】ABD
【解析】解：由题意，在正方体中，棱长为2，分别为棱，的中点，
为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，，，
，，，，，
，
A项，，，，
设平面PEF的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面PEF的一个法向量为，，因为直线面PEF，
所以直线面PEF，A正确；
B项，，，，
设平面POE的一个法向量为，
则，取，
所以平面POE的一个法向量为，
设直线PF与平面POE所成角为，
所以，
所以，故，故B正确；
C项，
，故C不正确；
D项，如图，三棱锥恰好在长方体上，且CP为体对角线，
所以CP为三棱锥外接球的直径，由几何知识，
所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确．
故选：ABD．
12．
13．答案3个
解析：恒过点，且斜率存在．
14．
15．【详解】（1）设点的坐标为，则由题知，即．
（2）设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程
则由题知，即，又，则，
所以直线BC方程为．
16．【详解】（1）证明：因为，，，所以，
由，即，
又因为，可得为边上的高，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为且，平面，所以平面．
（2）解：因为平面，且，
以A为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，，，
则，，，
设平面的法向量为，则
，
令，可得，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故与平面所成角的正弦值为．
17．【详解】（1）解：两点的中垂线方程为：，
联立，解得圆心，则，
故圆C的方程为：；
（2）由直线且被圆截得的弦长为6，
故圆心到直线的距离为，
若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，，
此时直线的方程为：
若直线不过原点，设直线为：，，
此时直线的方程为：，
综上：直线的方程为：，，．
18．（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则，
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得：，，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设直线，，，
联立，
则，
所以，，
由
，
解得或（舍去），
所以，，
，令，得，
，
所以的面积为．
19．解：（Ⅰ）因为满足，，
由已知得．
联立以上三式，解得，，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）证明：①将代入中，
消元并整理得，
，
设点，，，
因为中点的横坐标为，所以，解得．
②由①知，，
所以
，
故为定值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
A
A
C
C
BC
AD
题号
11
答案
ABD