浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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命题人：浦江中学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2. 若圆锥的表面积为，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）
A. 433πB. C. D.
3. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）
A. B.
C D.
5. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设函数，若，则a的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为
A. B. C. D.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆，直线，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线l与圆C有两个交点
C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1
D. 圆C与圆恰有三条公切线
10. 定义在R上偶函数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ）
A. 若平面是面积为的等边三角形，则
B. 若，则
C. 若，则球面的体积
D. 若平面为直角三角形，且，则
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 若圆与圆有且仅有一条公切线，______ .
13. 已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有__________个，
14. 如图，在长方形中，，，为中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是_______.

四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内.现将个样本数据按，40,50，50,60，60,70，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图.

（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到）；
（2）学校决定表彰成绩排名前的学生，学生甲的成绩是，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.
16. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
17. 已知函数（且）是定义在上的奇函数，且；
（1）求a，b的值；
（2）解不等式．
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线BD和BF上移动，且BM和BN的长度保持相等，记．
（1）证明：平面BCE；
（2）当时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.
（1）若.
①求；
②若的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
（2）若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.