高考数学：专题5.5 诱导公式-重难点题型精讲（练习及答案解析版）

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1．诱导公式
(1)诱导公式

(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【题型1 利用诱导公式求值】
【方法点拨】
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表.
【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知csπ6-α=45，则sinα+π3=（ ）
A．±35B．35C．-35D．45
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））已知sin(α+π12)=13,则cs(α+712π)的值为（ ）
A．13B．223C．-13D．-232
【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若tan(π-x)=12，则cs(π2+x)=（ ）
A．±15B．±25C．-15D．25
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知csπ3-α=35，则sinα+π6=（ ）
A．±45B．45C．-45D．35
【题型2 利用诱导公式化简】
【方法点拨】
在对给定的式子进行化简时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将
角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简sinπ2-αcs-α=（ ）
A．tanαB．-tanαC．1D．-1
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）cs(π-x)+sinx+3π2=（ ）
A．-2csxB．0C．-2sinxD．csx-sinx
【变式2-2】（2022·北京高一期中）化简cs(2π-α)sin(-α)sin(π2+α)的结果为（ ）
A．tanαB．csαC．sinαD．-sinα
【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若f(α)=sin(π2-α)cs(10π-α)tan(-α+3π)tan(π+α)sin(5π2+α)，则化简f(α)=（ ）
A．csαB．sinαC．-sinαD．-csα
【题型3 利用互余（互补）关系求值】
【方法点拨】
诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般
解题步骤如下：
(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.
(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.
(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果.
【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知 cs(α-π6)=223，α∈（π6,π），则cs(α+π3)=（ ）
A．-13 B．13 C．-233 D．233
【变式3-1】（2022·广西梧州·高二期末（理））已知sinπ4+α=13，则csα-π4的值为（ ）
A．13B．223C．-13D．-223
【变式3-2】（2022·北京市高一期中）已知csπ6-α=23，则sinα+π3=（ ）
A．-23B．-12C．23D．12
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知sinθ-π6=12，则csθ+π3=（ ）
A．-32B．-12C．12D．32
【题型4 诱导公式在三角形中的应用】
【方法点拨】
利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要
注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）在△ABC中，sinπ2+A+sin2π+A=713，则tanA的值是（ ）
A．-125B．125C．-512D．512
【变式4-1】（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，下列等式一定成立的是（ ）
A．sinA+B=-sinCB．csA+B=csC
C．csB+C2=sinA2D．sinB+C2=sinA2
【变式4-2】（2022·上海高一阶段练习）已知A、B、C是△ABC的内角，对于①sin(A+B)=sinC；②cs(A+B)=-csC；③tan(A+B)=-tanC；④sinB+C2=csA2；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）设A，B，C为△ABC的三个内角，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①sin(A+B)+sinC；②cs(A+B)+csC；③tan(A+B2)tanC2 ；④sin2(A+B2)+sin2C2始终是常数的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．