广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共5页。试卷主要包含了 答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上。
2、 答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3. 如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ）
A．B．
C．D．
4. 若向量垂直于向量和，向量(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则（ ）
A． B．
C．不平行于，也不垂直于 D．以上三种情况都有可能
5. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
6. 已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 把正方形纸片沿对角线AC折成直二面角，分别为AD，BC的中点，O是原正方形的中心，那么折纸后的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ）
A. B. 1
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．
9. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 与共线单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则可知
C．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量
D．在四面体中，若，，则
11. 在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ）
A. 对于任意的，且，都有平面平面
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，不存在点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则____________．
13. 在长方体中，，，若E为的中点，
则点E到平面的距离是______________．
如图，在长方体中，，，点在棱上，
且，则当的面积取得最小值时其棱 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求直线PA与平面PBD所成角的正切值．
17．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.
(1)求的值；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
18. 如图，在长方体中，，为的中点.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
(3)若平面与平面夹角的大小为，求的长．
19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值．