2025届内蒙古杭锦后旗四校联考数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份2025届内蒙古杭锦后旗四校联考数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图是甲、乙两名运动员正式比赛前的5次训练成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙的成绩一样稳定D．无法确定
2、（4分）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的面积分别为m，n，H为线段DF的中点，则BH的长为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）一组从小到大排列的数据：a，3，5，5，6（a为正整数），唯一的众数是5，则该组数据的平均数是（ ）
A．4.2或4B．4C．3.6或3.8D．3.8
4、（4分）将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+4B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2
C．y＝﹣3（x+2）2+4D．y＝﹣3（x+2）2﹣2
5、（4分）湖州是“两山”理论的发源地，在一次学校组织的以“学习两山理论，建设生态文明”为主题的知识竞赛中，某班6名同学的成绩如下（单位：分）：97,99,95,92,92,93，则这6名同学的成绩的中位数和众数分别为（ ）
A．93分，92分B．94分，92分
C．94分，93分D．95分，95分
6、（4分）下列说法正确的是 （ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
7、（4分）某同学粗心大意,因式分解时,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了,则式子中“■”和“▲”对应的一组数字可能是（ ）
A．8和1B．16和2
C．24和3D．64和8
8、（4分）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，已知在中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________ ．（只需填上一个正确的条件）
10、（4分）如图所示，在四边形中，，分别是的中点，，则的长是___________.
11、（4分）某学校八年级班有名同学，名男生的平均身高为名女生的平均身高，则全班学生的平均身高是__________．
12、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是_____cm1．
13、（4分）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2，AE=8，则ED=_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解下列方程:
(1)
(2)
15、（8分）若点，与点关于轴对称，则__．
16、（8分）通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝πR3(其中R为球的半径)，求：
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算．
17、（10分）某文化用品商店用1 000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1 500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100套．
（1）求第一批套尺购进时单价是多少？
（2）若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？
18、（10分）2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京·延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”．自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观．据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次．其中中国馆也是非常受欢迎的场馆．据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点、分别在边、上，为的中点，连接，则的长为_________．
20、（4分）若关于的方程有增根，则的值为________．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为_____________．
22、（4分）若分式的值是0，则x的值为________．
23、（4分）如图，小丽在打网球时，为使球恰好能过网(网高0.8米)，且落在对方区域离网3米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网________米处.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E、F，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM交AC于点D；若∠ABC＝2∠A，证明：AD＝2CD．
25、（10分）阅读材料，解决问题
材料一：《孟子》中记载有一尺之棰，日取其半，万世不竭，其中蕴含了“有限”与“无限”的关系.如果我们要计算到第n天时，累积取走了多长的木棒？可以用下面两种方法去解决：
方法一：第n天，留下了尺木棒，那么累积取走了尺木棒.
方法二：第1天取走了尺木棒，第2天取走了尺木棒，……第n天取走了尺木棒，那么累积取走了：尺木棒.
设：……①
由①×得：……②
①－②得： 则：
材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=？据说当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确的答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.
也可以这样理解：令S=1+2+3+4+…+100 ①，则S=100+99+98+…+3+2+1②
①+②得：2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）=100×（1+100）
即
请用你学到的方法解决以下问题：
（1）计算：；
（2）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层的2倍，问塔的顶层共有多少盏灯？
（3）某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，某一周，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，……其中第1项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推，求满足如下条件的正整数N：，且这一列数前N项和为2的正整数幂，请求出所有满足条件的软件激活码正整数N的值.
26、（12分）如图，正方形网格上有和．（每一个小正方形的边长为）
求证：；
请你在正方形网格中画一个以点为位似中心的三角形并将放大倍．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
观察图象可知：甲的波动较小，成绩较稳定．
【详解】
解：从图得到，甲的波动较小，甲的成绩稳定．
故选：A．
本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
2、A
【解析】
连接BD，BF可证△ DBF为直角三角形，在通过直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可
【详解】
如图连接BD，BF；
∵四边形ABCD和四边形BEFG都为正方形，AB=m，BE=n，
∴∠ DBF=90°，DB=，BF=，
∴DF=，
∵H为DF的中点，
∴ BH==，故选A
熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半和辅助线作法是解决本题的关键
3、A
【解析】
根据题意得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得．
【详解】
解：∵数据：a，3，5，5，6（a为正整数），唯一的众数是5，
∴a＝1或a＝2，
当a＝1时，平均数为：；
当a＝2时，平均数为：；
故选：A．
本题主要考查了平均数的求法，根据数据是从小到大排列得出a的值是解题的关键．
4、D
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线y＝﹣3x1+1向左平移1个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）1+1；
再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+1）1+1﹣3，即y＝﹣3（x+1）1﹣1．
故选D．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5、B
【解析】
利用中位数和众数的定义求解即可．
【详解】
解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：1、1、93、95、97、99，处于中间位置的数是93，95，它们的平均数是94，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是94；
在这一组数据中1出现次数最多，故众数是1．
故选：B．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
6、D
【解析】
分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．
【详解】
对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；
对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；
对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；
故选：D．
考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．
7、B
【解析】
可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】
由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-1，则■=1．
故选B．
此题考查了学生用平方差公式分解因式的掌握情况，灵活性比较强．
8、A
【解析】
分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【详解】
当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；
所以.
故选：A
此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、AD⊥BC
【解析】
根据等腰三角形“三线合一”，即可得到答案．
【详解】
∵在中，AB=AC，，
．
故答案为：．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”，是解题的关键．
10、
【解析】
根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数为30°，通过构造直角三角形求出MN．
【详解】
解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB=2，PN=DC=2，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=80°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180-80）°=120°，
∴∠PMN==30°．
过P点作PH⊥MN，交MN于点H．
∵HQ⊥MN，
∴HQ平分∠MHN，NH=HM．
∵MP=2，∠PMN=30°，
∴MH=PM•cs60°=，
∴MN=2MH=2．
本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质、30°直角三角形性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
11、
【解析】
只要运用求平均数公式：即可求得全班学生的平均身高．
【详解】
全班学生的平均身高是：．
故答案为：1．
本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
12、2．
【解析】
试题分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
试题解析：∵AC=4cm，BD=8cm，
∴菱形的面积=×4×8=2cm1．
考点：菱形的性质．
13、1
【解析】
解：如图，过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°．∵GB平分∠CGE，∴∠EGB=∠CGB．又∵BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP．∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP=∠ABC=15°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形．∵BM=2，∴BN=NM=2，∴BE=1．∵AE=8，∴Rt△ABE中，AB==12，∴AD=12，∴DE=12﹣8=1．故答案为1．
点睛：本题考查了翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2），
【解析】
（1）把-2移到方程的右边，方程两边同时加上4，把左边配方，两边同时开方即可求出方程的解；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）

∴，
（2）
∴，
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法．
15、
【解析】
直接利用关于x轴对称点的性质得出a的值进而得出答案．
【详解】
解：点，与点关于轴对称，
．
故答案为：．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
16、 (1)西瓜瓤的体积是：π(R﹣d)3；整个西瓜的体积是πR3；(2)；(3)买大西瓜比买小西瓜合算．
【解析】
（1）根据体积公式求出即可；
（2）根据（1）中的结果得出即可；
（3）求出两体积的比即可．
【详解】
解：(1)西瓜瓤的体积是：π(R﹣d)3；
整个西瓜的体积是πR3；
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是 ＝；
(3)根据球的体积公式，得：
V西瓜瓤＝π(R﹣d)3，
则西瓜瓤与整个西瓜的体积比是＝，
故买大西瓜比买小西瓜合算．
本题考查球的体积公式的应用，此题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．
17、（1）1
（1）
【解析】
（1）设第一批套尺购进时单价是x元/套，则设第二批套尺购进时单价是元/套，根据题意可得等量关系：第二批套尺数量﹣第一批套尺数量=100套，根据等量关系列出方程即可；
（1）两批套尺得总数量×4﹣两批套尺的总进价=利润，代入数进行计算即可．
【详解】
（1）设第一批套尺购进时单价是x元/套．
由题意得：，
解得：x=1．
经检验：x=1是所列方程的解．
答：第一批套尺购进时单价是1元/套；
（1）（元）．
答：商店可以盈利1900元．
分式方程的应用．
18、50%．
【解析】
设中国馆这两天游客人数的日平均增长率为x，根据中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，列出方程即可.
【详解】
解：设中国馆这两天游客人数的日平均增长率为x，由题意得：

解得，（舍去）
答：中国馆这两天游客人数的日平均增长率为50%．
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【详解】
解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH= OA= ×（3-1）=1．
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG=
故答案是：.
本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
20、；
【解析】
先将m视为常数求解分式方程，得出方程关于m的解，再根据方程有增根判断m的值．
【详解】
去分母得：2x+1-x-2=m
解得：x=m+1
∵分式方程有增根
∴x=－2
∴m+1=－2
解得：m=－1
故答案为；－1．
本题考查解分式方程增根的情况，注意当方程中有字母时，我们通常是将字母先视为常数进行计算，后续再讨论字母的情况．
21、 (2，1)
【解析】
【分析】直接运用线段中点坐标的求法，易求N的坐标.
【详解】点N的坐标是：（），即（2，1）.
故答案为：(2，1)
【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系中求线段的中点. 解题关键点：理解线段中点的坐标求法.
22、3
【解析】
根据分式为0的条件解答即可，
【详解】
因为分式的值为0，
所以∣x∣-3=0且3+x≠0，
∣x∣-3=0，即x=3，
3+x≠0，即x≠-3，
所以x=3，
故答案为：3
本题考查分式值为0的条件：分式的分子为0，且分母不为0，熟练掌握分式值为0的条件是解题关键.
23、6
【解析】
由题意可得，△ABE∽△ACD，故，由此可求得AC的长，那么BC的长就可得出．
【详解】
解：如图所示：
已知网高，击球高度，，
由题意可得，
∴
∴，
∴，
∴她应站在离网6米处.
故答案为：6.
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析
【解析】
根据角平分线的画法和性质解答即可．
【详解】
证明：由题意可得：BD是∠ABC的角平分线，
∵∠ABC＝2∠A，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，∠A＝30°，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴BD＝2CD，
∵∠DBA＝∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴AD＝2CD．
本题考查了基本作图，关键是根据角平分线的画法和性质证明．
25、（1）；（2）塔的顶层共有3盏灯；（3）18或95
【解析】
（1）根据材料的方法可设S=1+3+9+27+…+3n．则3S=3（1+3+9+27+…+3n），利用即可解答．
（2）设塔的顶层由x盏灯，根据一座7层塔共挂了381盏灯，可列方程．根据材料的结论即可解答．
（3）由题意求得数列的分n+1组，及前n组和S=2n+1-2-n，及项数为，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需最后一组将-2-n消去即可，求出n值即可求得N的值
【详解】
解：（1）设S=1+3+9+27+…+3n，则3S=3（1+3+9+27+…+3n）=3+9+27+…+3n+3n+1，
∴3S-S=（3+9+27+…+3n+3n+1）-（1+3+9+27+…+3n），
∴2S=3n+1-1，
（2）设塔的顶层由x盏灯，依题意得：
x+21x+22x+23x+24x+25x+26x=381
解得：x=3，
答：塔的顶层共有3盏灯．
（3）由题意这列数分n+1组：前n组含有的项数分别为：1，2，3，…，n，最后一组x项，根据材料可知每组和公式，求得前n组每组的和分别为：21-1，22-1，23-1，…，2n-1，
总前n组共有项数为N=1+2+3+…+n=
前n所有项数的和为Sn=21-1+22-1+23-1+…+2n-1=（21+22+23+…+2n）-n=2n+1-2-n，
由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需最后一组x项将-2-n消去即可，
则①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，总项数为，不满足10＜N＜100，
②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，总项数为，满足10＜N＜100，
③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，总项数为，满足10＜N＜100，
④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，总项数为，不满足10＜N＜100，
∴所有满足条件的软件激活码正整数N的值为：18或95。
本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和方法是解题的关键．
26、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）利用、，
，即可得出△A1B1C1∽△A2B2C2；
（2）延长C2A2到A′，使2C2A2=C2A′，得到C2的对应点A′，同法得到其余点的对应点，顺次连接即为所求图形．
【详解】
.证明：∵，，
，
∴，
∴；
解：如图所示：
此题主要考查了相似三角形的判定以及位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分