辽宁省大连市西岗区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省大连市西岗区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年1月
（本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟）
注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°B．通常加热到100℃时，水沸腾
C．射击运动员射击一次，命中靶心D．明天太阳从东方升起
4．点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，AB是的直径，点C在上，连接AC，BC．若，则的度数是（ ）
A．50°B．40°C．35°D．20°
6．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
8．如图，把绕着点A顺时针旋转40°，得到，AB与相交于点D，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
9．如图，边长为2的正方形ABCD内接于，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E．再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．作射线BP交AC于点F，过点F作BC的平行线交AB于点G．若，，则GF的长为（ ）
A．3B．C．2D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是______（结果精确到0.1）．
12．在某一时刻，测得一根高为12m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是______m．
13．如图，在中，弦AB的长为24cm，于E，若，则的半径长为______cm．
14．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．菜园面积的最大值为______．
15．如图，在中，，，，以AC为边作矩形ACDE（点A，C，D，E按逆时针方向排列），，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段CD上运动，且始终满足，连接EP，PQ，QE．当的面积为时，CP的长是______．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算（每题5分，共10分）
（1）（2）
17．（本小题8分）
中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分．
（1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是______．
（2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率．
18．（本小题9分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，将绕着点O逆时针旋转90°，得到．
（1）请画出并直接写出，，的坐标；
（2）求点C旋转到点时，线段OC在平面内扫过的图形的面积（结果保留）．
19．（本小题8分）
数学思想方法对于数学学习至关重要，不仅可以建立正确的数学思维方式，提高解决问题的能力，还可以培养创造性思维和逻辑思维，增强逻辑思维能力和创新能力．在研究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系时就涉及了完全归纳法．完全归纳法是把要研究的某类事物的所有情况，先逐一加以讨论，再概括得出一般结论．有时也可以把所有情况分成几类，对每类加以讨论，再概括得出一般情况．在利用完全归纳法证明的过程中，应明确为什么要分情况证明，而且要分得准确，要不重不漏．为了证明同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，张老师引导学生画图，在中任取一个圆周角，由于点A的位置不同，会出现三种情况，（1）如图1，圆心O在的一边上；（2）如图2，圆心O在的内部；（3）如图3，圆心O在的外部．
张老师引导学生分析第（1）种情况，如图1．
∵，∴．
∵是的外角，∴．∴．
对于第（2）（3）种情况，张老师引导学生们分析，通过添加辅助线，可以将它们转化为第（1）种情况，从而得到相同的结论．请你完成第（2）（3）种情况的证明．
（1）如图2，连接AO并延长AO交于点D，求证：；
（2）如图3，求证：．
20．（本小题8分）
如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东65°方向，距离辽宁舰的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东37°方向的D处．
（1）求C处距离辽宁舰有多远；
（2）求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到）．
（参考数据：，，；，，）
21．（本小题8分）
如图，在中，，点D是AB上一点，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点，连接CD，．
（1）求证：直线AB为的切线；
（2）若，的半径为2，求AB的长．
22．（本小题12分）
【发现问题】
“轴对称”是初中数学“图形与几何”中“图形的变化”中重要的一部分，现实生活中我们也能随处可见一些轴对称图形．在学习二次函数的时候，我们知道，二次函数的图象也是轴对称图形，教材对二次函数的图象是轴对称图形给出如下证明：直线（y轴）是二次函数的图象的对称轴，在二次函数的图象上任取一点，则点A关于直线（y轴）的对称点的坐标为，当时，，所以点在二次函数的图象上，所以二次函数的图象关于直线（y轴）对称．
【提出问题】
二次函数图象是轴对称图形都可以转化为图象上任意一点的坐标关于对称轴对称的点还在二次函数图象上的问题？
【分析问题】
小明通过上述发现，对于二次函数的图象关于直线对称的结论给出如下部分证明．
证明：设点是直线左侧图象上任意一点，则……
【问题解决】
（1）请你帮助小明将证明过程补充完整；
（2）已知抛物线与x轴交于点和点B．
①直接写出点B的坐标（用含m的式子表示）；
②点，是该抛物线上两点，若始终满足，求n的取值范围；
③如图，若，抛物线与y轴相交于点C，在抛物线的对称轴上存在一点D，连接BD，CD，直接写出的最大值．
23．（本小题12分）
【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为BC上两点，连接AD，AE，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．
①小东发现，．
②小红发现，．
请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．
。
【问题再探】
（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段BD与DE具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．
如图2，，，，D，E为BC上两点，连接AD，AE，．若，求证：．
【学以致用】
（3）如图3，，，，，D，E为BC上两点，连接AD，AE，若，且，求BE的长．
西岗区期末质量抽测
九年级数学试题参考答案
（※若有其他正确解法或证法，请参考此标准赋分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，只有一个选项正确）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．0.7 12．54 13．13 14．112.5 15．1，
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．解：（1）原式．
（2）原式．
17．解：（1）；
（2）把《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图：
由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，即
A A A B B B C C C D D D
B C D A C D A B D A B C
这些结果出现的可能性相等．
两本是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，即BC，CB，
所以P（两本是《水浒传》和《西游记》）．
18．解：（1）图略，
，，；
（2）作轴，则，．
在中，根据勾股定理得，．
．
答：线段OC在平面内扫过的图形的面积为．
19．证明：（1）连接AO并延长AO交于点D，
∵，∴．∴．
∵，∴．．
∴．
∴．∴．
（2）连接AO并延长AO交于点E，
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
∴．
∴．∴．
20．解：（1）由题意：，，，．
∵，∴．
在中，∵，
∴．
答：C处距离辽宁舰约有．
（2）在中，∵，∴．
答：D处距离辽宁舰约有．
21．（1）证明：连接OD，∵，∴．
设，∴．
∵，∴．
在中，．
∴．∴．∴．
在中，∵OD是半径，∴AB为的切线．
（2）解：在中，．∵，∴．
设，则，根据勾股定理．
∵．∴．∴．
∵，∴．∴．
在中，∵，∴．
∴．∴．∴．
22．证明：（1）设点是直线左侧图象上任意一点，则点A关于直线对称的点的坐标为．
当时，
．
所以点在二次函数的图象上，
所以二次函数的图象关于直线对称．
（2）① .
②解：抛物线的对称轴是直线，
∵，∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小．
当，时，P，Q两点在对称轴左侧（Q可以在顶点处）．
∵，∴，此时不成立．
当，即时，P点在对称轴左侧，Q点在对称轴右侧．
若，则，∴．∴．
当时，P，Q两点在对称轴右侧（P可以在顶点处）．
∵，∴，此时成立．综上所述，．
③．
23．解：（1）选小东发现的结论．
证明：∵，，∴．
∵，，
∴．
选小红发现结论，证明过程2分
（2）作于F，则．
∵，∴．∴．
∵，∴．
∴．∴．
设，，
在中，根据勾股定理．∴．
在中，根据勾股定理．
∵，，∴．
∴．∴．∴．
∴．∴．∴．
（3）作交BA延长线于G，则．
∵，∴．
∴．∴．
∴，在中，
∵，∴．
在中，根据勾股定理得．
∵，，∴是正三角形．
∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴．
∴．∴．∴．
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.68
0.70
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
D
C
A
D
C
B