四川省眉山市仁寿县文宫镇古佛九年制学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份四川省眉山市仁寿县文宫镇古佛九年制学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A．b=a·sinBB．a=b·csBC．a=b·tanBD．b=a·tanB
5．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2）,C(3+ ，y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）
A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y 2>y1>y3D．y3>y1>y2
6．若是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
8．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形中，E是的中点，和交于点O，设的面积为m，的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C．D．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠BB．∠ADE=∠CC．D．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
⑤当x＞0时，y随x增大而减小．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是

A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ．
14．已知抛物线经过两个定点，则这两个定点是 和 ；
15．如图，网格中的每个小正方形的边长都是，的顶点都在格点上，则的正弦值是 ．
16．在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i= ．
17．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且csα＝.下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4.其中正确的结论是 .(填序号)

三、解答题（共78分）
19．计算：
20．解方程：
21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：：
（2）若正方形的边长为4，求的面积．
22．已知△ABC的边BC长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
23．2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 人；
（2）扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 、 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
24．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
25．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．
（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
26．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段所在直线的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选：C
3．D
【详解】∵，
∴==，
故选：D
4．D
【详解】根据三角函数的定义，可知：
A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；
B、∵csB=，∴a=c•csB，故选项错误；
C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；
D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．
故选：D．
5．B
【详解】根据题意，得
y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c；
y2=4-12+c=-8+c，即y2=-8+c；
y3=9+2+6-18-6+c=-7+c，
即y3=-7+c；
∵7＞-7＞-8，
∴7+c＞-7+c＞-8+c，
即y1＞y3＞y2．
故选B．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，根据即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
，
故选：A
7．B
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：A、抛物线先向左平移2个单位，可得到抛物线，再向上平移3个单位, 可得到抛物线，平移过程不正确，故此选项不符合题意；
B、抛物线先向左平移2个单位，可得到抛物线，再向下平移3个单位即可得到抛物线，平移过程正确，故此选项符合题意；
C、抛物线先先向右平移2个单位，可得到抛物线，再向下平移3个单位即可得到抛物线，平移过程不正确，故此选项不符合题意；
D、抛物线先先向右平移2个单位，可得到抛物线，再向上平移3个单位即可得到抛物线，平移过程不正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
8．D
【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，．
A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边，，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．
故选D．
9．B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵E是的中点，
∴，
∴，即，
解得，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
11．B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】函数图象与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
函数的对称轴是x＝1，则与x轴的另一个交点是（3，0），
则方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
函数的对称轴是x＝﹣＝1，则2a+b＝0成立，故③正确；
函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④正确；
当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．C
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH∙PC，故④正确；
故选C．
13．
【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到△，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，解得；
当时，则△，解得且，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
14．
【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据解析式求出对称轴是解题关键．
【详解】解：令，则，
∴抛物线过定点，
∵抛物线的对称轴为：直线，
根据对称性可知，抛物线还过定点，
故答案为：；
15．
【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义，连接，由勾股定理判断出为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据正弦的定义即可求解，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理可得，，，，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．.
【详解】试题分析：如图所示：AC=5米，BC=3米，先求出水平方向上前进的距离AB=，然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解得坡度i=．
17．．
【详解】解：∵EF是△ODB的中位线
∴DB=2EF=2×2=4
∵AC∥BD
∴△AOC∽△BOD
∴，即
解得AC=
故答案为．
18．①、②、③、④．
【详解】试题分析：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正确，
②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，csα=，∴BC=2ABcsB=2×10×=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，
在△ABD与△DCE中，∠BAD＝∠CDE ∠B＝∠C AB＝DC ∴△ABD≌△DCE（ASA）． 故②正确，
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且csα=，AB=10，BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且csα=．AB=10，
∴csB== ∴BD=． 故③错误．
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，∴ ∴
整理得：-16y+64=64-10x， 即=64-10x， ∴0＜x≤6.4． 故④正确．
考点：（1）、三角形全等；（2）、三角形相似.
19．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式性质，准确计算．
【详解】解：
．
20．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∴．
21．(1)详见解析;(2)20.
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，
为AD的中点，
，．
，
，，
，，
，
又，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
的面积．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
22．（1）见解析；（2）直角三角形，见解析
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案.
【详解】（1）△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形；
【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的能力以及勾股定理逆定理的应用．
23．（1）40；（2）；；（3）见解析；（4）
【分析】（1）综合条形统计图和扇形统计图中A类信息直接求解即可；
（2）先结合（1）的结论，求出C类人数，从而用每一类人数除以总人数得到每一类的占比，然后分别乘360°，即可得到对应的圆心角度数；
（3）结合（2）的结论，直接作图即可；
（4）根据题意先画出树状图，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由A类人数和占比可得，参与调查的总人数为（人），
故答案为：40；
（2）由（1）可得，C类人数为：（人），
∴B类对应圆心角度数为：；
C类对应圆心角度数为：；
故答案为：；；
（3）由（2）知，C类人数为18人，补全条形统计图如图所示：
（4）由题意，列树状图如下：
共有12种情况，其中，恰为1男1女的有8种情况，
∴抽到恰为1男1女的概率．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图信息综合，以及列树状图或表格求概率，理解并准确分析统计图中的个数据信息，掌握列树状图或表格的方法求解概率是解题关键．
24．(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．
（1）设每次降价的百分率为a，为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，利用每天销售该种水果获得的利润=每千克的利润×每天的销售量，即可列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】（1）设每次下降的百分率为a，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，由题意得：
，
整理，得，
解得：（舍），
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，
∴，
答：每千克应涨价5元．
25．如图，是相似．
【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．
在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵ E是AD的中点，
∴ AE＝ED．
∵ ∠AEF＝∠DEG，
∴ △AFE≌△DGE．
∴ ∠AFE＝∠DGE．
∴ E为FG的中点．
又 CE⊥FG，
∴ FC＝GC．
∴ ∠CFE＝∠G．
∴ ∠AFE＝∠EFC．
又 △AEF与△EFC均为直角三角形，
∴ △AEF∽△EFC．
① 存在．
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．
证明：当＝时，＝，
∴ ∠ECG＝30°．
∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．
又 △AEF和△BCF均为直角三角形，
∴ △AEF∽△BCF．
② 因为EF不平行于BC，
∴ ∠BCF≠∠AFE．
∴ 不存在第二种相似情况．
【详解】（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件；
（2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：
当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的；
当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值
26．(1)
(2)
(3)符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，-2）或（2，0）或（2，）
【详解】（1）解：将点代入中，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为，
当时，，
解得：，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，点代入解析式，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（3）∵抛物线与x轴相交于、两点，
∴抛物线的对称轴为x=，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC==，
AP==，
CP==，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC=AP时，，
解得：t=±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）；
②当AC=CP时，，
解得：t=0或t=8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将点A（-2，0）、C（0，4）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
当x=2时，y=4+4=8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP=CP时，，
解得：t=，
∴点P的坐标为（2，）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，-2）或（2，0）或（2，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，等腰三角形的定义等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．