北京市门头沟区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份北京市门头沟区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共16页。

2024.1
考生须知
1. 本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.
2. 请将条形码粘贴在答题卡相应位置处.
3. 试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答.
4. 考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回.
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的半径为4，如果OP的长为3，则点P在（ ）
A. 内B. 上C. 外D. 不确定
5. 若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是（ ）边形
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为（ ）
A. 5cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm
8. 二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
有如下结论：
①抛物线的开口向上
②抛物线的对称轴是直线
③抛物线与y轴的交点坐标为
④由抛物线可知的解集是
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 二次函数的顶点坐标为______.
10. 如图，在中，，，，则______.
第10题
11. 如图，在中，，，则的度数是______.
第11题
12. 如图，是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一个平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知，，米，米，米，那么城墙高度______米.
第12题
13. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为，这个二次函数的表达式可以是______.
14. 如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形OAPB的面积为______.
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径＝______.
16. 如图，已知E、F是正方形ABCD的边BC和CD上的两点，且，，的面积S与CE的长x满足函数关系，写出该函数的表达式______.
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：.
18. 如图，在中，点D为AB边上一点，在AC边上找到一点E，使得与原三角形相似，请画出所有满足条件的图形，并说明理由.
19. 下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程.
已知：如图1，及圆外一点P.
求作：过点P作的一条切线.
作法：①连接OP；
②作OP的垂直平分线，交OP于点A；
③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交于点B；
④作直线PB.
即直线PB为所求作的一条切线.
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）该作图中，可以得到______；依据：____________.
20. 已知二次函数.
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围.
21. 如图，点是反比例函数的图象上的一点.
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线与双曲线的两个交点分别为P和，当时，直接写出x的取值范围.
22. 在中，，点D在AB上，且.
（1）求证；
（2）若，，求CD的长.
23. 永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是，水平向前走了42m到达点E的位置，此时的仰角是，已知小亮的眼睛距离地面1.7m，请计算永定楼的高度.（结果保留根号）
24. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线.现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米.
请你解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
（3）求起跳点A距离地面的高度；
（4）在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米.问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？
25. 如图，内接于，AB为直径，点D在上，过点D作切线与AC的延长线交于点E，，连接AD交BC于点F.
（1）求证：；
（2）若，，求DF的长.
26. 在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上任意两点，其中.
（1）若抛物线的对称轴为，当、为何值时，；
（2）设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求t的取值范围.
27. 如图，中，，，过点C在外作射线CP，且，点A关于CP的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CP于点M，N.
（1）依题意补全图形；
（2）当时，直接写出的度数；
（3）当时，用等式表示线段BN，CM之间的数量关系，并证明.
28. 对于平面直角坐标系xOy中的任意点，如果满足，那么我们称这样的点叫做“关联点”.

图1 图2
（1）如果点是“关联点”，则______；
（2）如图1，当时，在点，，中，满足此条件的“关联点”为______；
（3）如图2，的圆心为，半径为1，如上存在“关联点”，请画出示意图，并求出“关联点”的最小值.
参考答案
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
三、解答题（本题共52分，第17～21题每小题5分，第22题每小题6分，第23～25题每小题7分）
17. 计算：……4分
.……5分
18. 第一种情况：过点D作交AC于点E，
∵，
∴……2分
第二种情况：作
∵，
∴……5分
19.（1）补全图形正确：中垂线……1分
圆……2分
一条切线……3分
（2）……4分
直径所对的圆周角等于……5分
20.（1）顶点坐标……1分
（2）令，，
，，
∴与x轴的交点坐标为、……3分
（3）或……5分
21.（1）∵点是反比例函数图象上的一点，
∴，解得，，
∴反比例函数表达式为……2分
（2），或……5分
22.（1）∵，，
∴……2分
（2）∵，
∴，∴，
∴，∵，
∴……3分
∴……4分
∵，，∴，
解得：……5分
23. 连接BD，作于点H……1分
由题意可知点B、D、H共线，
∵，，
∴……2分
∴设，则，
∴……3分
在中，
∵，∴……4分
，解得，……5分
∴……6分
24（1）略……2分
（2）4.75米……3分
（3）1米.……4分
（4）如图所示，建立平面直角坐标系：
由题意可知，演员身体形成的抛物线的表达式为.
∵当时，.
∴此次表演不成功.
∵当时，.
解得，.
∴人梯调整距起跳点A的水平距离为1米或4米时均能成功.……6分
25. 解：（1）连接OD，
∵ED为的切线，∴.……1分
∵AB为的直径，∴.……2分
∵，∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴……3分
（2）连接BD，∴.
∵，，∴……4分
∵，∴……5分
在中，∴……6分
26.（1）∵，∴，
，∴，或……1分
∵，∴，
∵，∴，……2分
（2）由题意可得：
，……3分
，，
……4分
∵，∴，
∴，即……5分
∵，∴，∴……6分
27. 解：（1）补图正确；……1分
（2）；……2分
（3）结论：.……3分
证明：作交PC的延长线于点H.
∵点A与点D关于CP对称，
∴CE是AD的垂直平分线.
∴.∴.
∵，∴.∴.
∵，
∴.
∴.……4分
∴为等腰直角三角形.∴……5分
∵，CP是AD的垂直平分线，
∴，.
∴.……6分
∵，∴.
∴在和中，
，∴.
∴.∴……7分
28.（1）5……1分
（2），；……3分
（3）示意图正确……4分
……7分
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
0
－2
－3
－3
－2
0
…
d（米）
…
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
…
h（米）
…
3.40
4.15
4.60
4.75
4.60
4.15
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
A
B
C
C
D
题号
9
10
11
12
答案
8
题号
13
14
15
16
答案
答案不唯一
3