广西壮族自治区柳州市鹿寨县初级实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份广西壮族自治区柳州市鹿寨县初级实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
一、单选题
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．一个扇形的半径是，扇形的圆心角，那么这个扇形面积是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一元二次方程的两根为，，则的值为 （ ）
A．B．C．D．
5．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A．少年强则国强B．水中捞月C．守株待兔D．绿水青山就是金山银山
7．反比例函数的图象经过下列哪个点？ （ ）
A．B．C．D．
8．如图，为的弦，直径，交于点，连接，若，，则的长度为（ ）
A．1B．C．D．3
9．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．或B．C．D．
10．电影《志愿军：雄兵出击》于2023年9月28日上映，首周票房约亿，第三周票房约亿，若每周票房按相同的增长率增长，设增长率为，则根据题意可列方程为( )
A．B．
C．D．
11．铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．B．8mC．10mD．12m
12．若二次函数的图象如图，与x轴的一个交点为（1，0），则下列各式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
15．抛物线的顶点坐标是 ．
16．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
17．如图，，，，则的度数为 ．
18．如图，点A，C分别是y轴，x轴正半轴上的动点，，将线段绕点A顺时针旋转60°得到线段，则的最小值是 ．
三、解答题
19．
解方程
20．如图是一个矩形花圃，它的两边分别长为10 m和6 m，现要在花圃内铺设一条互相垂直的十字石子路，横竖路面宽度相等．若要使种花的面积是45 m2，石子路的宽度应是多少？
21．为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．
(1)志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是 ．
(2)志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．
22．如图，一次函数的图象交y轴于点，与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点坐标为．
(1)确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式的解集．
23．如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点，，均在格点上．
(1)在网格图中画出绕点顺时针旋转90°后的．
(2)在（1）的条件下，求旋转过程中，点所经过的弧长．（结果保留）
24．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，垂足为点，且，若四边形有最大面积，则求出此时的与的长及这个最大的面积．

25．如图，是的直径，为⨀O上一点，平分交⨀O于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求半径．
26．综合与实践：
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，是等腰直角三角形，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：的面积为 ；
拓展延伸：（2）如图2，若为任意直角三角形，．将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．猜想三条线段、、的数量关系，并证明．
（3）如图3，在中，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．若点D是的边的高线上的一动点，连接、，则的最小值是 ．
参考答案与解析
1．A
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：A、，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
B、，是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、，是分式方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解答本题的关键．
3．B
【分析】此题考查了扇形的面积公式，直接代入扇形的面积公式即可得出答案，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
【详解】由题意得：，，
∴这个扇形面积=，
故选：．
4．C
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，，从而即可求解．
【详解】解：由一元二次方程的两根分别为，，
∴，，
∴；
故选：C．
5．A
【分析】根据同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求的大小．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系是解题的关键．
6．C
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、年强则国强是必然事件，故此选项错误．
B、中捞月是不可能事件，故此选项错误；
C、株待兔是随机事件，故此选项正确；
D、水青山就是金山银山是必然事件，故此选项错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了随机事件．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．解题的关键是明确随机事件的概念．
7．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，只有xy=4才符合要求，进行验证即可．
【详解】解：A、1×2=2≠4，故此选项不符合题意；
B、2×2=4，故此选项符合题意；
C、（-2）×2=-4≠4，故此选项不符合题意；
D、2×（-2）=-4≠4，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
8．C
【分析】先根据垂径定理求出，然后根据“等角对等边”得出，再根据勾股定理求出，即可求出
【详解】解∶∵直径，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
9．D
【分析】将代入中求解即可．
【详解】将代入中
解得
故答案为：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握待定系数法是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设增长率为，根据题意得，
，
故选：B．
11．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中，令，求x的正数值即可．
【详解】解：把代入得：
，
解得：，
又，
,
该运动员此次掷铅球的成绩是10m．
故选：C．
12．B
【分析】根据二次函数图象开口方向与坐标轴的交点坐标特点，利用排除法可解答．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故A正确，不符合题意；
∵函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故B错误，符合题意；
又∵图象与x轴的一个交点坐标是（1，0），
∴将点代入二次函数y=ax2+bx+c得a+b+c=0，故C正确，不符合题意，
∵当x=-1时，y=a-b+c,
由函数图象可知，y=a-b+c＜0，故D正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，是基础题型，也是常考题型．
13．（﹣5， 3）
【详解】解：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）．
故答案为: （﹣5， 3）．
14．内部
【分析】根据点与圆心之间的距离和半径的关系即可判断点与圆的位置关系.
【详解】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键.
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
16．且m≠0
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且m≠0．
故答案为：且m≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，但要注意二次项系数非零．
17．##55度
【分析】首先直接利用全等三角形的性质得出对应角的度数，再根据三角形内角和定理，进而得出答案．
【详解】解：，，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题的关键．
18．
【分析】取的中点D，连接，，，由旋转的性质易证是等边三角形，从而可求出，进而可求．最后由三角形三边关系可得出，且当点B，O，D在同一直线上时取等号，即得出的最小值是．
【详解】解：如图，取的中点D，连接，，，
由旋转可知：，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，D是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当B，O，D三点共线时，取最小值，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，以及三角形三边关系的应用．正确作出辅助线并理解当点B，O，D在同一直线上时最小是解题关键．
19．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．
20．石子路的宽度为1 m
【分析】设石子路的宽度为x m，根据花圃形状是一个矩形，长10m，宽6m，若要使种花的面积是45 m2，可列方程求解．
【详解】解：设石子路的宽度为x m，依题意得
(10－x)(6－x)＝45，
解得x1＝1，x2＝15(不合题意， 舍去)．
答：石子路的宽度为1 m．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能根据题意以及图形列出方程是解决此题的关键.
21．(1)；
(2)作图见解析，
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是
故答案为：．
（2）解：画树状图如图：
由图可知，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有共4种，可知小张和小李选择相同主题的概率为
∴小张和小李选择相同主题的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率．解题的关键在于正确的列出所有情况．
22．(1)
(2)或
【分析】（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知，代入求得的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）先求得的坐标，根据图象找出在的下方的图象对应的的范围．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，在上，
∴，
解得，
∴；
（2）联立，
解得：，，
∴，
根据图象可知的解集为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键．
23．(1)作图见解析；
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质即可在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1．
（2）根据弧长公式即可求旋转过程中，点C所经过的弧长．
【详解】（1）解：如图，△OB1C1即为所求；
（2）解：∵OC＝ ，
∴点C所经过的弧长＝ ．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，弧长的计算，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
24．，最大面积为
【分析】本题考查了二次函数的应用，设，则，根据，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：设，则，
，
当时，最大，
，最大面积为．
25．(1)见解析
(2)半径为5
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）过过点作于，证明四边形为矩形，设半径为，由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：过点作于，
，
四边形为矩形，
，
设半径为，则，
，
，
，
解得：，
的半径为5．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键．
26．（1）8；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）根据得到，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）首先根据旋转的性质得到，，然后证明出，进而求解即可；
（3）过点作交延长线于点F，过点A作交于点E，交线段于点M，再连接，首先证明出垂直平分，得到，然后得到当点D与点M重合时，有最小值，此时最小值为，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∴．
故答案为：8．
（2），证明如下：
∵边绕点B顺时针旋转得到线段，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
（3）如下图所示，过点作交延长线于点F，过点A作交于点E，交线段于点M，再连接．
∵，且，
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵点D在上，
∴．
∴当点D与点M重合时，有最小值，此时最小值为．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．