山西省忻州市第十中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷

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1．D
【分析】根据集合的特征，即可判断各选项是否能组成集合.
【详解】对于A，描述的对象“视力较好”不确定，不能构成集合，A不是；
对于B，描述的对象“长寿”不确定，不能构成集合，B不是；
对于C，没有给出精确度，描述的对象“π 的近似值”不确定，不能构成集合，C不是；
对于D，方程的实数根是和1，明确可知，能构成集合，D是.
故选：D
2．B
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】因为，所以．
故选：B
3．B
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
【详解】当，即时，，此时与4重复，则.
当，即时，.
故选：B
4．C
【分析】求得两个集合的元素，由此确定正确选项.
【详解】，所以，
，所以，所以.
故选：C
5．D
【解析】利用充分不必要条件与集合的关系，判断选项.
【详解】设或，，若是的充分不必要条件，则，
满足条件的只有D.
故选：D
6．A
【分析】根据不等式的性质判断ABC，由作差法判断D即可得解.
【详解】因为，所以，
由不等式的性质可得，A正确，B错误；
由不等式的性质可得，若，C错误；
若，则，即，D错误.
故选：A
7．B
【分析】将变为，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即，即时取等号．
故选：B
8．D
【分析】利用表示出，由勾股定理求得，由可得结论.
【详解】，，
，，
（当且仅当与重合，即时取等号），.
故选：D.
9．AB
【分析】对A，求出判别式判断；对B，由平行四边形的性质判断；对C，将配方可判断；对D，根据菱形的性质可判断.
【详解】对于A，方程的判别式，故A正确；
对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.
故选：AB.
10．ABC
【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为，
所以取得最大值时的值为，故A错误；
对于B，令，
若，，，，当时取等号，
所以，则，则的最大值为，故B错误；
对于C，函数，
令，当时，解得，不满足题意，故C错误；
对于D，若，，且，
所以，
当时，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
12．
【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为.
故答案为：
13．
【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案.
【详解】①当时，解得，
当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
②当时，解得，
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
当时，，
得到，符合题意，所以.
故答案为：.
14．②③
【解析】由充分条件、必要条件的定义，逐个判断即可得解.
【详解】对于①，由“”可推出“”；
当时，成立，但不一定成立，所以由“”推不出“”；
所以“”是“”的充分不必要条件，故①错误；
对于②，“是无理数”可推出“是无理数”，
“是无理数”也可推出“是无理数”，
所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②正确；
对于③，由“”可推出“”，所以“”是“”的必要条件，
故③正确；
对于④，当时，满足，但不成立，
所以“”推不出“”， “”不是“”的充分条件，故④错误.
故答案为：②③.
15．(1)，.
(2)
【分析】（1）代入值，根据交集和并集含义即可；
（2）分析得，分和讨论即可.
【详解】（1）时，，
则，.
（2）若，则以，
当时，则；
当时，则，则.
综上。
16．(1)或
(2)
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【详解】（1）由，所以或，故集合.
因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，实数的值为或.
（2）因为“”是“” 的必要条件，所以.
对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想有，须有，
此时：，该方程组无解.
综上，实数的取值范围是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解；
（2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值.
【详解】（1）因为，
令，则，所以，解得，
所以，当且仅当，即，时等号成立；
（2）由，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
所以的最小值为.
18．(1)7
(2)
【分析】（1）易知，利用基本不等式可求得和的最小值为7；
（2）依题意可得，再由基本不等式中“1”的妙用即可得出最小值.
【详解】（1）由可得，所以，
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为7；
（2）由可得，
因此，
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设矩形栏目的宽为，求得广告牌高为，宽为，结合矩形的面积公式，即可求得矩形广告牌的面积的表达式；
（2）由（1）知，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：设矩形栏目的宽为，则，可得，
所以矩形广告牌的高为，宽为，
所以矩形广告牌的面积为.
（2）解：由（1）知，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即广告牌面积的最小值为
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
C
D
A
B
D
AB
ABC
题号
11









答案
ABC