2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）创新拔尖选拔初赛数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）创新拔尖选拔初赛数学试卷，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）如果a2+a﹣2＝0，那么代数式3a2+3a+2的值为 ．
2．（5分）已知关于x和y的方程组的解是，则另一关于x、y的方程组的解是 ．
3．（5分）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程4x+2y＝9的解，则k的值是 ．
4．（5分）设P＝2y﹣2，Q＝2y+3，且3P﹣Q＝1，则y的值为 ．
5．（5分）若x，y为实数，且满足，则xy的值是 ．
6．（5分）若不等式组无解，则m应满足 ．
7．（5分）方程|x﹣2y﹣3|+|x+y+1|＝1的整数解的个数是 ．
8．（5分）设T＝|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|，其中0＜p＜15．对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是 ．
9．（5分）如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 ．
10．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AB于点E，若∠B＝50°，∠ACE＝20°，则∠ADC的度数是 ．
11．（5分）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是 度．
12．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD平分∠ABC，AC＝12，AD＝3CD，则点D到AB的距离为 ．
13．（5分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是边BC上的中线，AD＝2，则△ACB的面积是 ．
15．（5分）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2023的整数n有且只有4个，则m的值为 ．
16．（5分）如图，CO、BO是△ABC的两个外角∠PCB、∠QBC的角平分线，OM⊥AP，ON⊥AQ，且OM＝ON．下列结论中正确的个数有 个．
①∠PAO＝∠QAO；
②∠AOB＝∠ACB；
③2∠COB＝180°+∠CAB；
④∠PAQ+2∠COB＝180°．
二、解答题：（每题10分，4个小题，共40分）
17．（10分）关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？
18．（10分）对m、n定义一种新运算“※”，规定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3※4＝3a﹣4b+5．已知2※3＝1，3※（﹣1）＝10．
（1）求a、b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
19．（10分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
20．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△AEC≌△ADB；
【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点，
①求∠BEC的大小；
②CE＝2，求△ACE的面积；
【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE与CA交于点F，DC＝DF，CD⊥DF，△BCF的面积为18，求AF的长．
2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）创新拔尖选拔初赛数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（每题5分，16个小题，共80分）
1．【分析】把a2+a﹣2＝0变形为a2+a＝2，然后直接把a2+a＝2整体代入所求式子中求解即可．
【解答】解：∵a2+a﹣2＝0，
∴a2+a＝2，
∴3a2+3a+2＝3（a2+a）+2＝3×2+2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
2．【分析】由题意可得，即可求方程组的解．
【解答】解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
3．【分析】直接利用二元一次方程组的解法得出x，y的值，进而代入二元一次方程求出答案．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程4x+2y＝9的解，
∴解方程组可得：，
则4x+2y＝4×k+2×（﹣k）＝10k﹣k＝9，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确得出x，y的值是解题关键．
4．【分析】将P与Q代入3P﹣Q＝1中计算即可求出y的值．
【解答】解：根据题意得：3（2y﹣2）﹣（2y+3）＝1，
去括号得：6y﹣6﹣2y﹣3＝1，
移项合并得：4y＝10，
解得：y＝．
故答案为：
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
5．【分析】利用两个非负数的和为0，这两个非负数分别为0即可求解．
【解答】解：∵，
∴x﹣2＝0，y+2＝0，
解得：x＝2，y＝﹣2，
∴xy＝2×（﹣2）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了解方程，非负数的和为0的条件，解题的关键是理解几个非负数的和为0的条件是各自为0．
6．【分析】根据大大小小找不到可确定m的取值范围．
【解答】解：∵不等式组无解，
∴m≥7．
故答案为m≥7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
7．【分析】要求整数解，则可得x﹣2y﹣3、x+y+1都为整数，从而可将原方程化为4个方程组，解出符合题意的即可．
【解答】解：由题意得，x、y都是整数，
故可得x﹣2y﹣3、x+y+1都为整数，
从而可得：①，
解得：；
②，
解得：
③，
解得：；
④，
解得：；
综上可得解得整数解为，，故有2组．
故答案为：2组．
【点评】此题考查了二元一次不定方程的整数解，解答本题的关键是将原方程化为四个独立的方程组，难度一般．
8．【分析】|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|表示数轴上一点到p，15，以及15+p三点的距离的和，而p＜15＜15+p，当x＝15时，距离的和最小，即可求解．
【解答】解：∵0＜p＜15，
∴p＜15＜15+p，
又∵|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|表示数轴上一点到p，15，以及15+p三点的距离的和，
∴当x＝15时，T＝|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|最小，最小值是p与15+p之间的距离，是15．
故答案是15．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，|x﹣a|表示数轴上表示x与表示a的两点之间的距离，解决的关键是根据条件确定p，15，15+p之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题．
9．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x≤；
其正整数解为1，2，3，
则3≤＜4，
所以a的取值范围9≤a＜12．
【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10．【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝86°，从而得到，再由直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝40°+20°＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°．
∵AD平分∠BAC，
∴．
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝85°．
故答案为：85°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
11．【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM＝140°，再根据邻补角互补即可得出结论．
【解答】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．
∵∠BOD+∠BOM＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM＝140°．
12．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵AC＝12，AD＝3CD，
∴CD＝3，
∴DE＝CD＝3．
即点D到AB的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线，找出点D到AB的距离的线段是解题的关键．
13．【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM+∠CDN＝60°
∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．
【点评】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．
14．【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证△ADC≌△EDB（SAS），得BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，再由勾股定理的逆定理证∠EAB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，
又∵AE＝2AD＝4，AB＝3，
∴BE2＝AE2+AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠EAB＝90°，
则S△ACB＝2S△ABD＝2××2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
【解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（m+1）
＝m2+8m+7，
S2＝（m+4）（m+2）
＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2
＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）
＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8
＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：＞；
（2）|S1﹣S2|
＝|2m﹣1|
＝2m﹣1，
∵2m﹣1＜n≤2023的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为2023，2022，2021，2020，
∴2019≤2m﹣1＜2020，
解得：1010≤m＜1010.5，
∵m为正整数，
∴m＝1010．
故答案为：1010．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键．
16．【分析】由角平分线的性质可判断①；由角平分线的定义及三角形外角的性质可判断②；过O作OE⊥BC于E，利用HL证明三角形全等可得∠MON＝2∠COB，再由四边形的内角和定理可判断③④．
【解答】解：∵OM⊥AP，ON⊥AQ，OM＝ON，
∴AO平分∠PAQ，
∴∠PAO＝∠QAO＝∠PAQ，故①正确；
∵BO平分∠CBQ，
∴∠OBQ＝∠CBQ，
∵∠CBQ＝∠PAQ+∠ACB，∠OBQ＝∠QOA+∠AOB，
∴∠AOB＝∠ACB，故②正确；
过O作OE⊥BC于E，
∴∠OMC＝∠OEC＝90°，OM＝OE，
在Rt△COM和Rt△COE中，
∴Rt△COM≌Rt△COE（HL），
∴∠COM＝∠COE，即∠COE＝∠MOE，
同理：∠BOE＝∠EON，
∴∠COB＝∠MON，即∠MON＝2∠COB，
∵∠CAB+∠MON+∠AMO+∠ANO＝360°，∠AMO＝∠ANO＝90°，
∴∠CAB+∠MON＝180°，
即2∠COB+∠CAB＝180°，故③错误；
∴∠PAQ+2∠COB＝180°，故④正确．
即正确的个数有3个，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用角的平分线的性质是解题的关键．
二、解答题：（每题10分，4个小题，共40分）
17．【分析】由方程组只有唯一的一组解，得到x＝0，即可求出a的值．
【解答】解：∵关于x，y的方程组只有唯一的一组解，
∴|x|＝0，即x＝0，
把x＝0代入方程组得：，
解得：a＝y＝﹣1，
故a的取值为：﹣1
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及绝对值，弄清方程组只有唯一的一组解的条件是解本题的关键．
18．【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值；
（2）已知不等式组利用题中的新定义化简，把a与b的值代入后，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出t的范围即可．
【解答】解：（1）∵2※3＝1，3※（﹣1）＝10，
∴，
解得：；
（2）∵不等式组，且a＝1，b＝2，
∴ax﹣b（2x﹣3）+5＝﹣3x+11＜9，3ax+6b+5＝3x+17＜t，
解得：，
∵关于x的不等式组有且只有一个整数解，
∴1＜≤2，
解得：20＜t≤23，
∴t的取值范围是20＜t≤23．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
19．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．
20．【分析】（1）由SAS证△AEC≌△ADB即可；
（2）①同（1）得△AEC≌△ADB（SAS），得∠AEC＝∠ADB＝135°，即可得出结论；
②过点A作AG⊥DE于点G，证△AGF≌△CEF（ASA），得AG＝CE＝2，GF＝EF，再由等腰直角三角形的性质得DG＝EG＝AG＝2，则GF＝EF＝1，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接CE，同（2）得△CDE≌△FDA（SAS），则CE＝AF，∠DCE＝∠DFA＝135°，得∠ACE＝90°，再证△ACE≌△BAF（SAS），得CE＝AF，S△ACE＝S△BAF，然后证CE∥AB，得S△ABE＝S△ABC＝AC2，进而由S△ABC+S△ACE﹣S△ABE﹣S△CEF＝S△BCF，得AC•AF﹣AF•CF＝36，则AF2＝36，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：①∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
同（1）得：△AEC≌△ADB（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°；
②如图2，过点A作AG⊥DE于点G，
则∠FGA＝90°，
由①可知，∠FEC＝90°，
∴∠FGA＝∠FEC，
∵点F为AC中点，
∴AF＝CF，
又∵∠AFG＝∠CFE，
∴△AGF≌△CEF（AAS），
∴AG＝CE＝2，GF＝EF，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DG＝EG＝AG＝2，
∴GF＝EF＝EG＝1，
∴S△ACE＝2S△CEF＝2×CE•EF＝2×1＝2；
（3）解：如图3，连接CE，
同（2）得：△CDE≌△FDA（SAS），
∴CE＝AF，∠DCE＝∠DFA＝135°，
∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
在△ACE和△BAF中，
，
∴△ACE≌△BAF（SAS），
∴CE＝AF，S△ACE＝S△BAF，
∵∠ACE＝∠BAC，
∴CE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABC＝AC•AB＝AC2，
∵S△ABC+S△ACE﹣S△ABE﹣S△CEF＝S△BCF，
∴AC2+AC•CE﹣AC2﹣CE•CF＝18，
∴AC•AF﹣AF•CF＝36，
∴AF（AC﹣CF）＝36，
∴AF2＝36，
∴AF＝＝6，
即AF的长为6．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．