还剩33页未读，
继续阅读
山东省淄博市张店区第七中学 2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试题
展开
这是一份山东省淄博市张店区第七中学 2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试题，共36页。
2．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．C．60cs50°D．60tan50°
3．在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
5．若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
8．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D，且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△CDE值等于（ ）
A．2B．1.5C．1D．0.5
9．如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，ED⊥AD，BC⊥AC，且cs∠CBE＝，∠ABE＝30°，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共5小题）
11．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是
m3．
12．学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，O点与点C关于直线AB的对称，若反比例函数的图象过C点，则k＝ ．
14．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC中点，点E在线段AD上，∠DCE＝2∠CAD，tan∠ACE＝，AB＝15，则线段CD的长为 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）2sin30°+4cs30°•tan60°﹣cs245°．
（2）tan60°﹣2sin45°+cs60°．
17．在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统．如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系图，其中线段AB，BC表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段CD表示恒温系统关闭后阶段（曲线段CD为反比例函数一部分），根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？
（2）求该天的温度y（°C）与时间x（h）之间的函数关系式；
（3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于10°C后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在0时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？
18．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且BD＝400米．（参考数据：，，）
（1）求CD的长度（精确到个位）；
（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．
（1）求扶手前端D到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）
21．如图，在河流EF两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AF与地面CD的夹角∠AFC＝60°，乙山BE的坡比为1：1，甲山上A点的高度AC＝600米，从A处看B处的俯角为15°．（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.414，≈1.732，≈2.449）
（1）若AB之间电线的长度为900米，求河宽EF的长度；（结果精确到1米）
（2）若在河边点F处有一个信号接收站，信号站附近480米内有电流会影响信号接收，请问电线安装完成后，是否会影响信号接收站的正常工作，并说明理由．
22．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数y1＝﹣x+6（x＞0），当x取何值时，y1＞y2？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形M，如果存在另一个矩形N，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称N是M的“加倍矩形”，M是N的“双半矩形”．请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣x+7和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形N的面积为 ，周长为 ．
②是否存在矩形M的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，∠ABC+∠ADC＝90°，BD与AC交于点E．
（1）若△ABC为等边三角形，则CD2，AD2，BD2的数量关系为 ．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AC＝AD，，请写出CD2，AD2，BD2的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（1，﹣2）B．C．D．
【分析】根据得k＝xy＝2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．
【解答】解：k＝xy＝2，
A．xy＝﹣2≠k，不符合题意；
B．xy＝×＝2＝k，符合题意；
C．xy＝×2＝1≠k，不合题意；
D．xy＝×（﹣）＝﹣1≠k，不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．C．60cs50°D．60tan50°
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
3．在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：∵ab＜0，
①若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，
②若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象．
4．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为（min），故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令y＝20，则，
∴x＝20，
∴从开机加热到水温降至20℃需要20min，即一个循环为20min，
水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为，
上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10，
∴当x＝10时，y＝＝40，
即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．
5．若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按科学计算机的使用方法按键即可．
【解答】解：∵tanA＝0.1890，
∴利用科学计算器求∠A的度数，按键顺序为：2ndF﹣tan﹣0.1890﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数，掌握科学计算器的使用方法是解决本题的关键．
6．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数的性质可知函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，根据函数平移的规律，把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），据此即可判断．
【解答】解：∵k＝1，
∴函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，
把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，函数y＝与函数y＝的关系是解题的关键．
7．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】先作BE∥CD，然后即可得到∠BPC＝∠ABE，构造△AEB，根据勾股定理求出各边的长，利用勾股定理的逆定理可以判断△AEB的形状，从而可以求得∠ABE的正切值，从而可以得到∠BPC的正切值．
【解答】解：作BE∥CD，如图所示，
∵BE∥CD，
∴∠BPC＝∠ABE，
设小正方形的边长为a，
由图可得，AB＝＝a，AE＝＝2a，BE＝＝a，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴△AEB是直角三角形，
∴tan∠ABE＝＝＝2，
∴tan∠BPC＝2，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长，利用数形结合的思想解答．
8．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D，且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△CDE值等于（ ）
A．2B．1.5C．1D．0.5
【分析】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由OA＝5，求出CG＝4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG＝3，即C（﹣3，4），根据菱形的性质和中点坐标公式求出D（﹣4，2），将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式求得S△CDE即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于G，
∵AC•OB＝40，
∴，
∴，
∴，
∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∴CG＝4，
在Rt△OCG中，OC＝OA＝5，CG＝4，
∴，
∴C（﹣3，4），
∵四边形OABC是菱形，
∴B（﹣8，4），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣4，2），
∵D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∵C（﹣3，4），
∴E的纵坐标为4，
∵E在反比例函数图象上，
∴E的横坐标为，
∴E（﹣2，4），
∴CE＝1，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法、勾股定理、菱形性质的运用，数形结合和准确计算是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，ED⊥AD，BC⊥AC，且cs∠CBE＝，∠ABE＝30°，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据角平分线的性质可得∠DAE＝∠CAB，EF＝ED，再根据含30度角的直角三角形可得BE＝2EF，由垂直定义可得∠BCA＝∠EDA＝90°，从通过解直角三角形可求得，再证明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质列比例式可求解．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AC平分∠BAD，ED⊥AD，
∴∠DAE＝∠CAB，EF＝ED，
∵∠EFB＝90°，∠ABE＝30°，
∴BE＝2EF，
∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝∠EDA＝90°，
∵cs∠CBE＝＝，
∴，即，
∵∠EAD＝∠BAC，∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：5，进而可求解n的值．
【解答】解：如图，设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，2tanα＝tan2β，
∴＝（）2，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：ab＝1：5，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝5．
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝ab是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 m3．
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.2，60）故p•V＝72；故当p≤120，可判断V应满足的条件．
【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p＝，
∵图象过点（1.6，60），
∴60＝，
∴k＝72，
由已知得p＝图象在第一象限内，
∴p随V的增大而减小，
∴当p≤120时，V≥，
∴V≥，即不小于m3，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
12．学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 米 ．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据BC＝BD+CD，再分别利用正弦余弦三角函数求出BD和AD的值即可得到本题答案．
【解答】解：点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°，
∴∠DAB＝60°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AD；
在△ABD中，AB＝300米，
∴（米），
（米），
∴CD＝AD＝150米，
∵BC＝BD+CD，
∴米，
故答案为：米．
【点评】本题考查解直角三角形方向角的应用，关键是锐角三角函数的应用．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，O点与点C关于直线AB的对称，若反比例函数的图象过C点，则k＝ ．
【分析】先求解A（2，0），B（0，4），可得，如图，过C作CH⊥x轴于H，由O点与点C关于直线AB的对称，可得△AOB≌△ACB，AB是OC的垂直平分线，求解，再求解，，从而可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝4，
当y＝﹣2x+4＝0时，x＝2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴，
如图，过C作CH⊥x轴于H，
∵O点与点C关于直线AB的对称，
∴AO＝AC，BO＝BC，
∴△AOB≌△ACB（SAS），
∴AB是OC的垂直平分线，
∴，
∴，
∵∠AOB＝90°，AB⊥OC，
∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠BOC+∠ABO，
∴∠COH＝∠ABO，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
14．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC为y＝﹣，故可设C（a，﹣），再由AC＝AB求出a的值代入y＝即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y＝﹣．
∴可设C（a，﹣）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，﹣）或（﹣2，）．
将点C代入y＝得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点的坐标特征，解题时需要熟悉图象，理解题意．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC中点，点E在线段AD上，∠DCE＝2∠CAD，tan∠ACE＝，AB＝15，则线段CD的长为 6 ．
【分析】证明CE＝DC，AF＝EF，设AF＝5x＝EF，则AC＝12x，则CF＝13x，则CE＝CF﹣EF＝13x﹣5x＝8x＝CD＝BC，即可求解．
【解答】解：过点A作AF⊥AC交CE的延长线于点F，
设∠CAD＝α，则∠DCE＝2∠CAD＝2α，
则∠EAF＝∠CAF﹣∠ACD＝90°﹣α
则∠CED＝∠ACE+∠CAE＝90°﹣2α+α＝90°﹣α＝∠CDE＝∠FAE，
则CE＝DC，AF＝EF，
则Rt△AEF中，∵tan∠ACE＝，
设AF＝5x＝EF，则AC＝12x，则CF＝13x，
则CE＝CF﹣EF＝13x﹣5x＝8x＝CD＝BC，
则BC＝16x，
在Rt△ABC中，CB＝16x，AC＝12x，则BC＝20x＝15，
则x＝0.75，
则CD＝8x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形，涉及到勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）2sin30°+4cs30°•tan60°﹣cs245°．
（2）tan60°﹣2sin45°+cs60°．
【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入原式即可计算．
【解答】（1）解：2sin30°+4cs30°•tan60°﹣cs245°
＝2×+4××﹣
＝1+6﹣
＝．
（2）解：tan60°﹣2sin45°+cs60°
＝﹣2×+
＝﹣+
＝．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统．如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系图，其中线段AB，BC表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段CD表示恒温系统关闭后阶段（曲线段CD为反比例函数一部分），根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？
（2）求该天的温度y（°C）与时间x（h）之间的函数关系式；
（3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于10°C后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在0时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？
【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为y＝kx+b，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，结合题意，即可求解．
【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
根据题意，将（0，6），（1，8）代入得，
解得，
∴直线y＝2x+6，
当x＝3时，y＝2×3+6＝12，
∴恒定温度为：12°C；
（2）由（1）可知：一次函数解析式为y＝2x+6（0≤x≤3），
根据图象可知：y＝12（3＜x＜8），
设8≤x≤24小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
∴k＝96，
∴函数解析式为：，
∴24小时函数解析式为：；
（3）∵当8≤x≤24时，，
∴x＝9.6，
9.6﹣8＝1.6（h）
∴该生产基地在0时开启系统后最多可关闭1.6小时，才能使脐橙生长不受影响
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键．
18．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且BD＝400米．（参考数据：，，）
（1）求CD的长度（精确到个位）；
（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？
【分析】（1））作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，推出四边形MBNC是矩形，得到CM＝BN，CN＝MB，求出BN＝BD＝×400＝200（米），由锐角的正切定义求出DN的长，由△AMC是等腰直角三角形，得到AM＝CM＝BN，求出MB的长，即可解决问题；
（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断．
【解答】解：（1）作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，
∵CD∥AB，
∴四边形MBNC是矩形，
∴CM＝BN，CN＝MB，
∵∠DBN＝60°，
∴BN＝BD＝×400＝200（米），
∵tan∠NBD＝＝，
∴DN＝200（米），
∵∠CAM＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴AM＝CM＝200（米），
∴MB＝AB﹣AM＝100（米），
∴CD＝CN+ND＝100+200≈446（米）；
（2）由勾股定理得到BC＝＝100（米），
∴BC+BD＝400+100≈623.6（米），
∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200＝2.23（分钟），
∴应选择乘坐观光车．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AP⊥BC交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，再求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，0）在直线y＝kx+2上，
∴0＝4k+2，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当x＝6时，，
∴C（6，﹣1），
把C（6，﹣1）代入中得到：，
∴m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）联立，
解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为（6，﹣1），（﹣2，3），
由函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，x＜﹣2或0＜x＜6；
（3）在双曲线上存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，理由如下：
如图所示，设直线AP交y轴于点M（0，m），
，
由一次函数解析式可得B（0，2），
∵A（4，0），
∴BM2＝|2﹣m|2＝m2﹣4m+4，AB2＝22+42＝20，AM2＝42+m2＝m2+16，
∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴∠BAM＝90°，
∴BM2＝BA2+AM2，
∴m2﹣4m+4＝20+m2+16，
解得：m＝﹣8，
∴M（0，﹣8），
同理可得直线AM的解析式为y＝2x﹣8，
联立，
解得或，
即点P的坐标为（3，﹣2）或（1，﹣6），
∴在双曲线上存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，此时点P的坐标为（3，﹣2）或（1，﹣6）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，正确利用待定系数法求出相应的函数解析式是解题的关键．
20．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．
（1）求扶手前端D到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）
【分析】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，构造Rt△AMC和Rt△CGD中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；
（2）由平行线的性质知∠EFH＝∠DCG＝60°；根据题意得到CD＝50cm，DF＝20cm，FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，通过解Rt△EQF和Rt△EQH，根据等量关系HQ+FQ＝FH＝20cm列出方程+x＝20，通过解方程求得答案．
【解答】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，
又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°．
∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，
∴∠A＝∠B＝30°，
则在Rt△AMC中，CM＝＝30cm．
∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝，CD＝50cm，
∴DG＝CD⋅sin∠DCG＝50⋅sin60°＝＝（cm）．
又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 cm，
∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5＝+30+5＝35+（cm）；
（2）∵EF∥CG∥AB，
∴∠EFH＝∠DCG＝60°，
∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，
∴FH＝20cm，
如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，
在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，
∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝，
在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，
∴HQ＝EQ＝，
∵HQ+FQ＝FH＝20cm，
∴+x＝20，
解得x＝．
∴EF＝2（）＝（cm）．
答：坐板EF的宽度为（）cm．
【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
21．如图，在河流EF两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AF与地面CD的夹角∠AFC＝60°，乙山BE的坡比为1：1，甲山上A点的高度AC＝600米，从A处看B处的俯角为15°．（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.414，≈1.732，≈2.449）
（1）若AB之间电线的长度为900米，求河宽EF的长度；（结果精确到1米）
（2）若在河边点F处有一个信号接收站，信号站附近480米内有电流会影响信号接收，请问电线安装完成后，是否会影响信号接收站的正常工作，并说明理由．
【分析】（1）点B作BH⊥AC于点H，可证四边形CDBH是矩形，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝sin15°，cs∠ABH＝，表示出CH的长度和BD的长度，可得ED的长，再根据tan∠AFC＝＝tan60°，可得CF的长，根据EF＝CD﹣CF﹣ED求解即可；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，先求出AF的长，再根据FG＝AF•sin45°求出FG的长，再进行比较即可．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：
则∠BHC＝∠AHB＝90°，
由题意可知∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDBH是矩形，
∴BH＝CD，CH＝BD，
∵从A处看B处的俯角为15°，且AB＝900米，
∴∠ABH＝15°，
在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝sin15°，cs∠ABH＝，
∴AH＝AB•sin15°，BH＝AB•cs15°，
∴CH＝AC﹣AH＝AC﹣ABsin15°，
∴BD＝CH＝AC﹣ABsin15°，
∵乙山BE的坡比为1：1，
∴BD：ED＝1：1，
∴ED＝BD＝AC﹣ABsin15°，
∵∠AFC＝60°，
∴tan∠AFC＝＝tan60°，
∴CF＝，
∵AC＝600米，AB＝900米，
∴EF＝CD﹣CF﹣ED＝AB•cs15°﹣﹣（AC﹣ABsin15°）≈161（米），
∴河宽EF的长度为161米；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，
在Rt△ACF中，∠AFC＝60°，AC＝600米，
∴AF＝，∠CAF＝30°
∵∠ABH＝15°，∠AHB＝90°，
∴∠HAB＝75°，
∴∠FAB＝45°，
∵sin∠FAB＝，
∴FG＝AF•sin45°＝sin45°≈489.8（米），
∵信号站附近480米内有电流会影响信号接收，489.8＞480，
∵G点是距离信号接收站最近的点，
∴不会影响信号接收站正常工作．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，构造直角三角形是解题的关键．
22．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数y1＝﹣x+6（x＞0），当x取何值时，y1＞y2？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当y1＞y2时，x的取值范围是 1＜x＜5 ．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形M，如果存在另一个矩形N，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称N是M的“加倍矩形”，M是N的“双半矩形”．请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣x+7和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形N的面积为 20 ，周长为 28 ．
②是否存在矩形M的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：x+y＝（m+n）且yx＝mn，即可求解；
②假设存在矩形Q，其边长为s，t，同理可得：s+t＝（x+y）＝，st＝xy＝，则存在方程：2x2﹣7x+10＝0，而方程无解，即可求解；
（3）当CO为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当OD或OE为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）联立y1＝﹣x+6（x＞0）和得：﹣x+6＝，
解得：x＝1或5，
观察函数图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5；
（2）①设矩形N的边长分别为：m，n，
由题意得：x+y＝（m+n）且yx＝mn，
而x+y＝7，xy＝10，
则m+n＝14，mn＝20，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
②假设存在矩形Q，其边长为s，t，
同理可得：s+t＝（x+y）＝，st＝xy＝，
则存在方程：2x2﹣7x+10＝0，
∵Δ＝49﹣80＜0，
方程无解，
故不存在矩形Q；
（3）存在，理由：
联立两个函数表达式得：＝﹣x+7，
解得：x＝2或5，
即点C、D的坐标分别为：（2，5）、（5，2）；
设点E（x，y），
当CO为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得：，即点E（﹣3，3）；
当OD或OE为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点E（3，﹣3）或（7，7）；
综上，E（﹣3，3）或（3，﹣3）或（7，7）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
23．如图1，∠ABC+∠ADC＝90°，BD与AC交于点E．
（1）若△ABC为等边三角形，则CD2，AD2，BD2的数量关系为 CD2+AD2＝BD2 ．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AC＝AD，，请写出CD2，AD2，BD2的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）将AD绕点A逆时针选择60°得到AF，连接DF，CF，证明△ADF是等边三角形，得出DF＝AD，∠ADF＝60°，利用SAS证明△ABD≌△ACF，得出BD＝CF，证明∠CDF＝90°，利用勾股定理可得出CF2＝CD2+DF2，即可求解；
（2）过A作AF⊥AD，过D作DF⊥CD，两线相交于点F，连接CF，证明△ADF∽ABC，得出，证明△ACF∽△ABD得出，在Rt△CDF中，利用勾股定理得到CF2＝CD2+DF2，在Rt△ADF中，利用勾股定理得到DF2＝AF2+AD2，然后代入化简即可得出结论．
【解答】解：（1）CD2+AD2＝BD2，
理由：将AD绕点A逆时针旋转60°得到AF，连接DF，CF，
则AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴DF＝AD，∠ADF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝AC，DF＝AD，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD＝CF，
∵∠ABC+∠ADC＝90°，∠ABC＝60°，∠DAF＝60°，
∴∠DAF+∠ADC＝90°，即∠CDF＝90°，
∴CF2＝CD2+DF2，
∵BD＝CF，DF＝AD，
∴CD2+AD2＝BD2；
（2）
理由：过A作AF⊥AD，过D作DF⊥CD，两线相交于点F，连接CF，
∴∠ADF+∠ADC＝90°，
∵∠ABC+∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠BAC＝∠FAD＝90°，
∴△ADF∽ABC，∠BAD＝∠CAF，
∴，
∵，
∴，AB＝3AC，
∴，
∵AD＝AC，，∠BAD＝∠CAF
∴△ACF∽△ABD
∴，
∴，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，
∴，
∵，
∴，即．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．
2．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．C．60cs50°D．60tan50°
3．在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
5．若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
8．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D，且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△CDE值等于（ ）
A．2B．1.5C．1D．0.5
9．如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，ED⊥AD，BC⊥AC，且cs∠CBE＝，∠ABE＝30°，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共5小题）
11．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是
m3．
12．学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，O点与点C关于直线AB的对称，若反比例函数的图象过C点，则k＝ ．
14．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC中点，点E在线段AD上，∠DCE＝2∠CAD，tan∠ACE＝，AB＝15，则线段CD的长为 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）2sin30°+4cs30°•tan60°﹣cs245°．
（2）tan60°﹣2sin45°+cs60°．
17．在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统．如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系图，其中线段AB，BC表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段CD表示恒温系统关闭后阶段（曲线段CD为反比例函数一部分），根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？
（2）求该天的温度y（°C）与时间x（h）之间的函数关系式；
（3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于10°C后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在0时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？
18．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且BD＝400米．（参考数据：，，）
（1）求CD的长度（精确到个位）；
（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．
（1）求扶手前端D到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）
21．如图，在河流EF两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AF与地面CD的夹角∠AFC＝60°，乙山BE的坡比为1：1，甲山上A点的高度AC＝600米，从A处看B处的俯角为15°．（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.414，≈1.732，≈2.449）
（1）若AB之间电线的长度为900米，求河宽EF的长度；（结果精确到1米）
（2）若在河边点F处有一个信号接收站，信号站附近480米内有电流会影响信号接收，请问电线安装完成后，是否会影响信号接收站的正常工作，并说明理由．
22．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数y1＝﹣x+6（x＞0），当x取何值时，y1＞y2？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形M，如果存在另一个矩形N，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称N是M的“加倍矩形”，M是N的“双半矩形”．请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣x+7和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形N的面积为 ，周长为 ．
②是否存在矩形M的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，∠ABC+∠ADC＝90°，BD与AC交于点E．
（1）若△ABC为等边三角形，则CD2，AD2，BD2的数量关系为 ．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AC＝AD，，请写出CD2，AD2，BD2的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（1，﹣2）B．C．D．
【分析】根据得k＝xy＝2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．
【解答】解：k＝xy＝2，
A．xy＝﹣2≠k，不符合题意；
B．xy＝×＝2＝k，符合题意；
C．xy＝×2＝1≠k，不合题意；
D．xy＝×（﹣）＝﹣1≠k，不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．C．60cs50°D．60tan50°
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
3．在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：∵ab＜0，
①若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，
②若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象．
4．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为（min），故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令y＝20，则，
∴x＝20，
∴从开机加热到水温降至20℃需要20min，即一个循环为20min，
水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为，
上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10，
∴当x＝10时，y＝＝40，
即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．
5．若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按科学计算机的使用方法按键即可．
【解答】解：∵tanA＝0.1890，
∴利用科学计算器求∠A的度数，按键顺序为：2ndF﹣tan﹣0.1890﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数，掌握科学计算器的使用方法是解决本题的关键．
6．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数的性质可知函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，根据函数平移的规律，把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），据此即可判断．
【解答】解：∵k＝1，
∴函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，
把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，函数y＝与函数y＝的关系是解题的关键．
7．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】先作BE∥CD，然后即可得到∠BPC＝∠ABE，构造△AEB，根据勾股定理求出各边的长，利用勾股定理的逆定理可以判断△AEB的形状，从而可以求得∠ABE的正切值，从而可以得到∠BPC的正切值．
【解答】解：作BE∥CD，如图所示，
∵BE∥CD，
∴∠BPC＝∠ABE，
设小正方形的边长为a，
由图可得，AB＝＝a，AE＝＝2a，BE＝＝a，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴△AEB是直角三角形，
∴tan∠ABE＝＝＝2，
∴tan∠BPC＝2，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长，利用数形结合的思想解答．
8．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D，且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△CDE值等于（ ）
A．2B．1.5C．1D．0.5
【分析】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由OA＝5，求出CG＝4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG＝3，即C（﹣3，4），根据菱形的性质和中点坐标公式求出D（﹣4，2），将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式求得S△CDE即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于G，
∵AC•OB＝40，
∴，
∴，
∴，
∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∴CG＝4，
在Rt△OCG中，OC＝OA＝5，CG＝4，
∴，
∴C（﹣3，4），
∵四边形OABC是菱形，
∴B（﹣8，4），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣4，2），
∵D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∵C（﹣3，4），
∴E的纵坐标为4，
∵E在反比例函数图象上，
∴E的横坐标为，
∴E（﹣2，4），
∴CE＝1，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法、勾股定理、菱形性质的运用，数形结合和准确计算是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，ED⊥AD，BC⊥AC，且cs∠CBE＝，∠ABE＝30°，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据角平分线的性质可得∠DAE＝∠CAB，EF＝ED，再根据含30度角的直角三角形可得BE＝2EF，由垂直定义可得∠BCA＝∠EDA＝90°，从通过解直角三角形可求得，再证明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质列比例式可求解．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AC平分∠BAD，ED⊥AD，
∴∠DAE＝∠CAB，EF＝ED，
∵∠EFB＝90°，∠ABE＝30°，
∴BE＝2EF，
∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝∠EDA＝90°，
∵cs∠CBE＝＝，
∴，即，
∵∠EAD＝∠BAC，∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：5，进而可求解n的值．
【解答】解：如图，设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，2tanα＝tan2β，
∴＝（）2，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：ab＝1：5，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝5．
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝ab是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 m3．
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.2，60）故p•V＝72；故当p≤120，可判断V应满足的条件．
【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p＝，
∵图象过点（1.6，60），
∴60＝，
∴k＝72，
由已知得p＝图象在第一象限内，
∴p随V的增大而减小，
∴当p≤120时，V≥，
∴V≥，即不小于m3，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
12．学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 米 ．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据BC＝BD+CD，再分别利用正弦余弦三角函数求出BD和AD的值即可得到本题答案．
【解答】解：点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°，
∴∠DAB＝60°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AD；
在△ABD中，AB＝300米，
∴（米），
（米），
∴CD＝AD＝150米，
∵BC＝BD+CD，
∴米，
故答案为：米．
【点评】本题考查解直角三角形方向角的应用，关键是锐角三角函数的应用．
13．如图，直线y＝﹣2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，O点与点C关于直线AB的对称，若反比例函数的图象过C点，则k＝ ．
【分析】先求解A（2，0），B（0，4），可得，如图，过C作CH⊥x轴于H，由O点与点C关于直线AB的对称，可得△AOB≌△ACB，AB是OC的垂直平分线，求解，再求解，，从而可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝4，
当y＝﹣2x+4＝0时，x＝2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴，
如图，过C作CH⊥x轴于H，
∵O点与点C关于直线AB的对称，
∴AO＝AC，BO＝BC，
∴△AOB≌△ACB（SAS），
∴AB是OC的垂直平分线，
∴，
∴，
∵∠AOB＝90°，AB⊥OC，
∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠BOC+∠ABO，
∴∠COH＝∠ABO，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
14．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC为y＝﹣，故可设C（a，﹣），再由AC＝AB求出a的值代入y＝即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y＝﹣．
∴可设C（a，﹣）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，﹣）或（﹣2，）．
将点C代入y＝得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点的坐标特征，解题时需要熟悉图象，理解题意．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC中点，点E在线段AD上，∠DCE＝2∠CAD，tan∠ACE＝，AB＝15，则线段CD的长为 6 ．
【分析】证明CE＝DC，AF＝EF，设AF＝5x＝EF，则AC＝12x，则CF＝13x，则CE＝CF﹣EF＝13x﹣5x＝8x＝CD＝BC，即可求解．
【解答】解：过点A作AF⊥AC交CE的延长线于点F，
设∠CAD＝α，则∠DCE＝2∠CAD＝2α，
则∠EAF＝∠CAF﹣∠ACD＝90°﹣α
则∠CED＝∠ACE+∠CAE＝90°﹣2α+α＝90°﹣α＝∠CDE＝∠FAE，
则CE＝DC，AF＝EF，
则Rt△AEF中，∵tan∠ACE＝，
设AF＝5x＝EF，则AC＝12x，则CF＝13x，
则CE＝CF﹣EF＝13x﹣5x＝8x＝CD＝BC，
则BC＝16x，
在Rt△ABC中，CB＝16x，AC＝12x，则BC＝20x＝15，
则x＝0.75，
则CD＝8x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形，涉及到勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）2sin30°+4cs30°•tan60°﹣cs245°．
（2）tan60°﹣2sin45°+cs60°．
【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入原式即可计算．
【解答】（1）解：2sin30°+4cs30°•tan60°﹣cs245°
＝2×+4××﹣
＝1+6﹣
＝．
（2）解：tan60°﹣2sin45°+cs60°
＝﹣2×+
＝﹣+
＝．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统．如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系图，其中线段AB，BC表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段CD表示恒温系统关闭后阶段（曲线段CD为反比例函数一部分），根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？
（2）求该天的温度y（°C）与时间x（h）之间的函数关系式；
（3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于10°C后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在0时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？
【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为y＝kx+b，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，结合题意，即可求解．
【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
根据题意，将（0，6），（1，8）代入得，
解得，
∴直线y＝2x+6，
当x＝3时，y＝2×3+6＝12，
∴恒定温度为：12°C；
（2）由（1）可知：一次函数解析式为y＝2x+6（0≤x≤3），
根据图象可知：y＝12（3＜x＜8），
设8≤x≤24小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
∴k＝96，
∴函数解析式为：，
∴24小时函数解析式为：；
（3）∵当8≤x≤24时，，
∴x＝9.6，
9.6﹣8＝1.6（h）
∴该生产基地在0时开启系统后最多可关闭1.6小时，才能使脐橙生长不受影响
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键．
18．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且BD＝400米．（参考数据：，，）
（1）求CD的长度（精确到个位）；
（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？
【分析】（1））作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，推出四边形MBNC是矩形，得到CM＝BN，CN＝MB，求出BN＝BD＝×400＝200（米），由锐角的正切定义求出DN的长，由△AMC是等腰直角三角形，得到AM＝CM＝BN，求出MB的长，即可解决问题；
（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断．
【解答】解：（1）作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，
∵CD∥AB，
∴四边形MBNC是矩形，
∴CM＝BN，CN＝MB，
∵∠DBN＝60°，
∴BN＝BD＝×400＝200（米），
∵tan∠NBD＝＝，
∴DN＝200（米），
∵∠CAM＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴AM＝CM＝200（米），
∴MB＝AB﹣AM＝100（米），
∴CD＝CN+ND＝100+200≈446（米）；
（2）由勾股定理得到BC＝＝100（米），
∴BC+BD＝400+100≈623.6（米），
∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200＝2.23（分钟），
∴应选择乘坐观光车．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AP⊥BC交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，再求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，0）在直线y＝kx+2上，
∴0＝4k+2，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当x＝6时，，
∴C（6，﹣1），
把C（6，﹣1）代入中得到：，
∴m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）联立，
解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为（6，﹣1），（﹣2，3），
由函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，x＜﹣2或0＜x＜6；
（3）在双曲线上存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，理由如下：
如图所示，设直线AP交y轴于点M（0，m），
，
由一次函数解析式可得B（0，2），
∵A（4，0），
∴BM2＝|2﹣m|2＝m2﹣4m+4，AB2＝22+42＝20，AM2＝42+m2＝m2+16，
∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴∠BAM＝90°，
∴BM2＝BA2+AM2，
∴m2﹣4m+4＝20+m2+16，
解得：m＝﹣8，
∴M（0，﹣8），
同理可得直线AM的解析式为y＝2x﹣8，
联立，
解得或，
即点P的坐标为（3，﹣2）或（1，﹣6），
∴在双曲线上存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，此时点P的坐标为（3，﹣2）或（1，﹣6）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，正确利用待定系数法求出相应的函数解析式是解题的关键．
20．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．
（1）求扶手前端D到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）
【分析】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，构造Rt△AMC和Rt△CGD中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；
（2）由平行线的性质知∠EFH＝∠DCG＝60°；根据题意得到CD＝50cm，DF＝20cm，FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，通过解Rt△EQF和Rt△EQH，根据等量关系HQ+FQ＝FH＝20cm列出方程+x＝20，通过解方程求得答案．
【解答】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，
又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°．
∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，
∴∠A＝∠B＝30°，
则在Rt△AMC中，CM＝＝30cm．
∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝，CD＝50cm，
∴DG＝CD⋅sin∠DCG＝50⋅sin60°＝＝（cm）．
又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 cm，
∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5＝+30+5＝35+（cm）；
（2）∵EF∥CG∥AB，
∴∠EFH＝∠DCG＝60°，
∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，
∴FH＝20cm，
如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，
在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，
∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝，
在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，
∴HQ＝EQ＝，
∵HQ+FQ＝FH＝20cm，
∴+x＝20，
解得x＝．
∴EF＝2（）＝（cm）．
答：坐板EF的宽度为（）cm．
【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
21．如图，在河流EF两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AF与地面CD的夹角∠AFC＝60°，乙山BE的坡比为1：1，甲山上A点的高度AC＝600米，从A处看B处的俯角为15°．（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.414，≈1.732，≈2.449）
（1）若AB之间电线的长度为900米，求河宽EF的长度；（结果精确到1米）
（2）若在河边点F处有一个信号接收站，信号站附近480米内有电流会影响信号接收，请问电线安装完成后，是否会影响信号接收站的正常工作，并说明理由．
【分析】（1）点B作BH⊥AC于点H，可证四边形CDBH是矩形，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝sin15°，cs∠ABH＝，表示出CH的长度和BD的长度，可得ED的长，再根据tan∠AFC＝＝tan60°，可得CF的长，根据EF＝CD﹣CF﹣ED求解即可；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，先求出AF的长，再根据FG＝AF•sin45°求出FG的长，再进行比较即可．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：
则∠BHC＝∠AHB＝90°，
由题意可知∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDBH是矩形，
∴BH＝CD，CH＝BD，
∵从A处看B处的俯角为15°，且AB＝900米，
∴∠ABH＝15°，
在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝sin15°，cs∠ABH＝，
∴AH＝AB•sin15°，BH＝AB•cs15°，
∴CH＝AC﹣AH＝AC﹣ABsin15°，
∴BD＝CH＝AC﹣ABsin15°，
∵乙山BE的坡比为1：1，
∴BD：ED＝1：1，
∴ED＝BD＝AC﹣ABsin15°，
∵∠AFC＝60°，
∴tan∠AFC＝＝tan60°，
∴CF＝，
∵AC＝600米，AB＝900米，
∴EF＝CD﹣CF﹣ED＝AB•cs15°﹣﹣（AC﹣ABsin15°）≈161（米），
∴河宽EF的长度为161米；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，
在Rt△ACF中，∠AFC＝60°，AC＝600米，
∴AF＝，∠CAF＝30°
∵∠ABH＝15°，∠AHB＝90°，
∴∠HAB＝75°，
∴∠FAB＝45°，
∵sin∠FAB＝，
∴FG＝AF•sin45°＝sin45°≈489.8（米），
∵信号站附近480米内有电流会影响信号接收，489.8＞480，
∵G点是距离信号接收站最近的点，
∴不会影响信号接收站正常工作．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，构造直角三角形是解题的关键．
22．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数y1＝﹣x+6（x＞0），当x取何值时，y1＞y2？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当y1＞y2时，x的取值范围是 1＜x＜5 ．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形M，如果存在另一个矩形N，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称N是M的“加倍矩形”，M是N的“双半矩形”．请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣x+7和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形N的面积为 20 ，周长为 28 ．
②是否存在矩形M的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：x+y＝（m+n）且yx＝mn，即可求解；
②假设存在矩形Q，其边长为s，t，同理可得：s+t＝（x+y）＝，st＝xy＝，则存在方程：2x2﹣7x+10＝0，而方程无解，即可求解；
（3）当CO为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当OD或OE为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）联立y1＝﹣x+6（x＞0）和得：﹣x+6＝，
解得：x＝1或5，
观察函数图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5；
（2）①设矩形N的边长分别为：m，n，
由题意得：x+y＝（m+n）且yx＝mn，
而x+y＝7，xy＝10，
则m+n＝14，mn＝20，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
②假设存在矩形Q，其边长为s，t，
同理可得：s+t＝（x+y）＝，st＝xy＝，
则存在方程：2x2﹣7x+10＝0，
∵Δ＝49﹣80＜0，
方程无解，
故不存在矩形Q；
（3）存在，理由：
联立两个函数表达式得：＝﹣x+7，
解得：x＝2或5，
即点C、D的坐标分别为：（2，5）、（5，2）；
设点E（x，y），
当CO为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得：，即点E（﹣3，3）；
当OD或OE为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点E（3，﹣3）或（7，7）；
综上，E（﹣3，3）或（3，﹣3）或（7，7）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
23．如图1，∠ABC+∠ADC＝90°，BD与AC交于点E．
（1）若△ABC为等边三角形，则CD2，AD2，BD2的数量关系为 CD2+AD2＝BD2 ．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AC＝AD，，请写出CD2，AD2，BD2的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）将AD绕点A逆时针选择60°得到AF，连接DF，CF，证明△ADF是等边三角形，得出DF＝AD，∠ADF＝60°，利用SAS证明△ABD≌△ACF，得出BD＝CF，证明∠CDF＝90°，利用勾股定理可得出CF2＝CD2+DF2，即可求解；
（2）过A作AF⊥AD，过D作DF⊥CD，两线相交于点F，连接CF，证明△ADF∽ABC，得出，证明△ACF∽△ABD得出，在Rt△CDF中，利用勾股定理得到CF2＝CD2+DF2，在Rt△ADF中，利用勾股定理得到DF2＝AF2+AD2，然后代入化简即可得出结论．
【解答】解：（1）CD2+AD2＝BD2，
理由：将AD绕点A逆时针旋转60°得到AF，连接DF，CF，
则AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴DF＝AD，∠ADF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝AC，DF＝AD，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD＝CF，
∵∠ABC+∠ADC＝90°，∠ABC＝60°，∠DAF＝60°，
∴∠DAF+∠ADC＝90°，即∠CDF＝90°，
∴CF2＝CD2+DF2，
∵BD＝CF，DF＝AD，
∴CD2+AD2＝BD2；
（2）
理由：过A作AF⊥AD，过D作DF⊥CD，两线相交于点F，连接CF，
∴∠ADF+∠ADC＝90°，
∵∠ABC+∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠BAC＝∠FAD＝90°，
∴△ADF∽ABC，∠BAD＝∠CAF，
∴，
∵，
∴，AB＝3AC，
∴，
∵AD＝AC，，∠BAD＝∠CAF
∴△ACF∽△ABD
∴，
∴，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，
∴，
∵，
∴，即．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．
相关试卷
山东省淄博市张店区第九中学2024-2025学年上学期七年级月考数学试卷(无答案)： 这是一份山东省淄博市张店区第九中学2024-2025学年上学期七年级月考数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市张店区第九中学2023—2024学年九年级下学期3月月考数学试题： 这是一份山东省淄博市张店区第九中学2023—2024学年九年级下学期3月月考数学试题，共8页。
山东省淄博市张店区实验中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题： 这是一份山东省淄博市张店区实验中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
