广东省湛江市博雅学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省湛江市博雅学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．菱形B．等边三角形
C．平行四边形D．等腰梯形
2．（3分）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝2，那么AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝﹣13B．（x+3）2＝5
C．（x+3）2＝13D．（x﹣3）2＝5
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠BOD＝44°，则∠C的度数是（ ）
A．44°B．22°C．46°D．36°
5．（3分）如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，则∠AB1B＝（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
6．（3分）对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
7．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O切线，BD交⊙O于点C，∠CAD＝50°，则∠B＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞B．k＜C．k＜﹣D．k＜
10．（3分）如果a＜0，b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2021+a﹣b的值是 ．
12．（3分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．
13．（3分）若点（﹣m，n+3）与点（2，﹣2m）关于原点对称，则m+n＝ ．
14．（3分）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D，则阴影部分面积为 ．
15．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣b＜m（ma+b）（m≠﹣1的实数）；其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分）
16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，按要求完成下列步骤：
（1）画出将△ABC向上平移3个单位后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°后所得到的△A2B2C1．
（3）求出第（2）问中B1点经过的路径长．
17．（8分）两年前生产1吨甲种药品的成本是9000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是7290元，求甲种药品成本的年平均下降率．
18．（8分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）求这个二次函数图象的顶点坐标．
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标．
（3）直接写出这个二次函数图象与y轴的交点坐标 ．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分）
19．（9分）某种特色小吃产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现；若每箱产品盈利10元．每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱；
（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要让顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最多？
20．（9分）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E，且点F为BE的中点，CD＝1cm，BC＝cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：FD与⊙O相切．
21．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分）
22．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为，点E是对角线AC上一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CDE；
（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？请说明理由．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省湛江市博雅学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．【解答】解：A、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；
B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．【解答】解：连接OA，在Rt△ODA中，OD2＝AD2+OD2，即52＝（5﹣2）2+AD2，解得：AD＝4．
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AD＝8．
故选：C．
3．【解答】解：∵x2+6x+4＝0，
∴x2+6x＝﹣4，
则x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，
故选：B．
4．【解答】解，∵∠BOD＝44°，
∴∠C＝∠BOD＝22°，
故选：B．
5．【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝50°，
∴∠AB1B＝（180°﹣50°）＝65°．
故选：D．
6．【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下，
对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），
x≤﹣3时y随x增大而增大，
x＞﹣3时y随x增大而减小．
故选：B．
7．【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，开口向下，且关于y轴对称，
∴当x＝8时和x＝﹣8时对应的y值是相等的，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣8＜﹣2＜﹣1，
∴y，3＜y1＜y2．
故选：C．
8．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵AD是⊙O切线，
∴DA⊥AB，
∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠B＝50°．
故选：C．
9．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，
解得k＜．
故选：B．
10．【解答】解：∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，顶点在y轴右侧，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2021+a﹣b＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
12．【解答】解：令y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，
∴0＝﹣（x﹣4）2+3，
∴x1＝10，x2＝﹣2（舍去）．
∴铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
13．【解答】解：∵点（﹣m，n+3）与点（2，﹣2m）关于原点对称，
∴﹣m＝﹣2，n+3＝2m，
解得：m＝2，n＝1．
∴m+n＝2+1＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：连接OD，则OD＝OA＝2，
由折叠得DA＝OA，△OAC≌△DAC，∴OD＝OA＝DA，
∴∠OAD＝60°，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴＝tan30°＝，
∴OC＝OA＝×2＝2，
∴S△OAC＝S△DAC＝×2×2＝2，
∵S扇形AOB＝＝3π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△OAC﹣S△DAC＝3π﹣2﹣2＝3π﹣4，
故答案为：3π﹣4．
15．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c经过（1，0），
∴a+b+c＝0，①正确；
∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，②错误；
∵y＝ax2+bx+c经过（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵m≠﹣1，
∴（m+1）2＞0，
∵a＞0，
∴a（m+1）2＞0，
∴am2+2am+a＞0，
∵b＝2a，
∴a﹣b＝﹣a
∴am2+bm＞a﹣b，
∴a﹣b＜m（am+b），④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分）
16．【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示；
（3）点C1所经过的路径长为：．
17．【解答】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
依题意得：9000（1﹣x）2＝7290，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．
答：甲种药品成本的年平均下降率为10%．
18．【解答】解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，4）．
（2）∵令y＝0，即﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为：（﹣3，0），（1，0）．
（3）∵当x＝0时，y＝3，
∴这个二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，3），
故答案为（0，3）．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分）
19．【解答】解：（1）设每箱应涨价x元，
则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，
依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）＝600，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10，
∵要使顾客得到实惠，∴应取x＝5，
答：每箱产品应涨价5元．
（2）设利润为y元，则y＝（50﹣2x）（10+x），
整理得：y＝﹣2x2+30x+500，
配方得：y＝﹣2（x﹣7.5）2+612.5，
当x＝7.5元，y可以取得最大值，
∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．
20．【解答】解：（1）设⊙O的半径为r cm，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，∵OC2＝OB2+CB2，
∴（r+1）2＝r2+（）2，
解得r＝1（cm），
∴⊙O的半径为1cm；
（2）证明：连接OF，
∵OA＝OB，BF＝EF，
∴OF是△BAE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠A＝∠BOF，
又∵∠BOD＝2∠A，
∴∠DOF＝∠BOF，
在△OBF和△ODF中，
，
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠ODF＝∠OBF＝90°，
即OD⊥DF，
∴FD与⊙O相切．
21．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB•tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
＝
＝．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分）
22．【解答】解：（1）∵DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
在正方形ABCD中，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
∴∠EDF﹣∠EDA＝∠ADE﹣∠EDA，
即∠ADF＝∠CDE，
在△ADF与△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
由（1）知△ADF≌△CDE，
∴∠ECD＝∠DAF＝∠CAD＝45°，AF＝CE，
∴∠EAF＝90°
设AE＝x，正方形ABCD的边长为，
故，
∴AF＝CE＝2﹣x，
∴S△AEF＝•AE•AF＝x（2﹣x）＝，
∴当x＝1，
即当AE＝1时，△AEF的面积最大．
23．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．
（3）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．