河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，下列各组对象能构成集合的有等内容，欢迎下载使用。


注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.
1.下列关系式正确的是
A.3∈Q B.—1∈N C. Z⊆N D. Q⊆R
2.关于命题q:∀a A. q是存在量词命题，是真命题 B. q是存在量词命题，是假命题
C. q是全称量词命题，是假命题 D. q是全称量词命题，是真命题
3.已知集合 A=x∈Z|3x-1∈Z,则用列举法表示A=
A.{—2,0,2,4} B.{—2,0,1,2,4}
C.{0,2,4} D.{2,4}
4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知正数a，b满足 1a+2b=1,则a+2b的最小值为
A.9 B.6 C.4 D.3
6.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=
A.2 B.6 C.2或6 D.—2或6
7.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为
A.25元 B.20元 C.15元 D.10元
【高一数学 第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有
A.5名 B.4名 C.3名 D.2名
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列各组对象能构成集合的有
A.郑州大学 2024 级大一新生 B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员
C.体型庞大的海洋生物 D.唐宋八大家
10.已知a>b>0,则使得 a+ca>b+cb成立的充分条件可以是
A. c=-2 B. c=-1 C. c=1 D. c=2
11.已知二次函数 y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则
A. a+b>0
B. abc>0
C.13a+b+2c>0
D.不等式 bx²-ax-c>0的解集为{x|-2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 a=10-6,b=6-2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)
13.已知a∈R,b∈R,集合{,则 a-b³=.
14.已知m四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知全集U=R,集合A={x|-2(1)若a=2,求A∪B,C∪B;
(2)若B⊆A,求a 的取值范围.
【高一数学 第2页(共4页)】 A116.(15分)19
给出下列两个结论：
①关于x的方程. x²+mx-m+3=0无实数根；
②存在 0≤x≤2,使 m+1x-3=0.
(1)若结论①正确，求m 的取值范围；
(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.
17.(15分)
已知正数a,b,c 满足 abc=1.
(1)若c=1,求 2a+3b的最小值；
(2)求 a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.
A118.(17分)
已知 a∈R,函数 y=ax²+3a+2x+2a+3.
(1)当a=1时,函数 y=ax²+3a+2x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求 x13+x23;
(2)求关于x的不等式y≥1的解集.
19.(17分)
设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.
(1)若集合 A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
(2)若集合. A=1,m,m²-1是“等差集”，求m的值；
(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.
【高一数学 第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案
1. D 3₃∉Q,-1∉N,N⊆Z,Q⊆R
2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q是全称量词命题.
3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.
4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+cc.故“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.
5. A 因为 1a+2b=1,所以 a+2b=1a+2ba+2b=5+2ba+2ab.又a>0,b>0,所以 2ba+ 2ab≥22ba⋅2ab=4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b的最小值为9.
6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 y=x2+ax+1,y=2x-3,整理得 x²+a-2x+4=0,则 a-2²-16=0,解得a=-2或6.
7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.
8. B 如图，由题可知 a+b+9m+x-20,a+c+m+z-21,b+c+m+s-21,a+b+c+1>22,a+b+z-12,x+9z+z=24,则 3m=63-2(a+b+c)-
(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.
9. ABD 由题可知，A，B，D中的对象具有确定性，可以构成集合，C中的对象不具有确定性，不能构成集合.
10. AB 由 a+ca>b+cb,得 a+ca-b+cb=ba+c-ab+cab=cb-aab>0.因为a>b>0,所以c<0.
11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y=ax²+bx+c的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 a-b+c=0,4a+2b+c=0,整理得 b=-a,c=-2a,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由
【高一数学·参考答案 第 1页(共4 页)】 ·A1· 4a-2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为 b=-a,c=-2a,所以 bx²-ax-c=-ax²-ax
+2a>0,即 x²+x-2<0,,解得-2 12. 10+22<262,则 10+2<26,从而a13.8 由 a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或 a=a².若a=0,则 a²=0,，不符合集合元素的互
异性.若 a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而( a-b³=8.
14.-18nm+n-2mm-n-4m+n-4m-nm+n-m+n+m-nm-n=3-4m-nm+n+m+nm-n.
因为m0,m+nm-n>0,则 4m-nm+n+m+nm-n≥24m-nm+n⋅m+nm-n=
综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}.
18.解:(1)当a=1时, y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程 x²+5x+5=0的两个实数根，
由 x12+5x1+5=0,x22+5x2+5=0,得 x13=-5x12-5x1,x23=-5x22-5x2, 4分
则x i+x23=-5x12+x22-5x1+x2=-5x1+x22-2x1x2+25=-75+25=-50.
6分
(2)由y≥1,得 ax²+3a+2x+2a+2≥0.
当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=
当--2 【高一数学·参考答案 第3页(共4页)】 ·A1·4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为
-
（1）由a=2,得B={x|1…………………………………………………………………
1
则或x≥4}. … 3分
…………………………………………………………………
3
因为A={x|-2…………………………………………
5分
（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A
………………………………………
7
若B≠∅,则由B⊆A,得分
……………………………………………………………
9
解得
…………………………………………………………………………………
11
综上所述，a的取值范围为
…………………………………………………………
13
16.解:（1）由结论①正确,得分
………………………………………………………………………
3
解得-6…………………………………………………………………………
5
故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6………………………………
6分
（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. … 7分
………………………………
7
若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分
…………………………………………………
8
从而解得
…………………………………………………………………………
10
当结论①正确，结论②不正确时，
…………………………………………………
12
当结论②正确,结论①不正确时,m≥2
………………………………………………
14
………
15
17.解分
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1
则
…………………………………………………………………………………………………
4
当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆
…………………………………………………………
6
（2）因为,
…………………………………………………………………………………………
8
当且仅当a=b=c=1时,等号成立,… 9分
……………………………………………………………
9
所以分
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10
…………………………………………………………………………………………………
12
当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, … 14分
………………………………………
14
所以的最小值为8
………………………………………………………………………………
15分
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2
当a=0时，不等式整理为
…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
7分
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9分
当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1}
…………………………………………………………
11
当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；
………………………………………………………
15分
当a<-2时,则原不等式的解集为
…………………………………………………………………
17
故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}.……………………………………4分
则 2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分
【高一数学·参考答案 第 4 页(共4页)】 1,3,5或1,5,9,
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1
（2）解:由A 是“等差集”,得, … 5 分
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5
且m≥2,则
…………………………………………………………………………………………
6
（舍去）或m=2.
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8
当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2
…………………………………………………………
9
（3）证明:假设{x,x²,x³,
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10
则存在 1≤i………………………………………………………
11
即则分
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12
因为1≤ij-i,从而k-i≥j-i+1,… 13分
………………………………………
13
则分
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15
因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2,
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16
不是“等差集”
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17