湖南省衡阳市衡阳县部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学测评卷（A卷）

这是一份湖南省衡阳市衡阳县部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学测评卷（A卷），共21页。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，，如果，则( )
A.B.0C.D.-1
2.已知直线与直线间的距离为，则( )
A.或B.-9C.-9或11D.6或-4
3.若椭圆满足，则该椭圆的离心率( )
A.B.C.D.
4.已知点，，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“相关点直线”，给出下列直线：
①；②；③；④，
其中为“相关点直线”的是( )
A.①③B.②④C.②③D.③④
5.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则( )
A.B.C.D.
6.如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A.B.1C.2D.
7.如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8.已知椭圆，离心率为.点为椭圆C上一动点（其中，），点，为椭圆C左右焦点，直线与直线在一象限交于点M，则线段长度为( )
A.2B.C.1D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.点P在圆上，点Q在圆上，则( )
A.的最小值为0
B.的最大值为7
C.两个圆心所在直线的斜率为
D.两个圆的公共弦所在直线的方程为
10.我们把离心率为的双曲线（，）称为黄金双曲线.如图所示，，是双曲线的实轴端点，是虚轴的一个端点，，是焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于M，N两点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线是黄金双曲线
B.若，则该双曲线是黄金双曲线
C.若，则该双曲线是黄金双曲线
D.若，则该双曲线是黄金双曲线
11.如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A.
B.存在点M，使平面SBC
C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为
D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.如图，已知圆，A，B是圆O上的两个动点，点，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是__________.
13.如图，在直三棱柱中，，，G，E，D分别是棱，，的中点，F是棱AB上的点.若，则线段DF的长度为__________.
14.抛物线与圆交于A，B两点，圆心，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则周长的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知圆，点.
（1）若，半径为1的圆N过点P，且与圆M相外切，求圆N的方程；
（2）若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为，且与y轴分别交于点S，T，，求t.
16.（15分）已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，M是SB的中点.
（1）证明：；
（2）若，，点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为，求.
17.（15分）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
（1）设直线，的斜率分别为，，证明：；
（2）设线段AB的中点为N，求的取值范围.
18.（17分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点.
（1）求证：存在点N，使得.
（2）求二面角的正弦值.
19.（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左、右顶点，点P在双曲线上，且位于第一象限.
（1）直线OP与椭圆相交于第一象限内的点M，设直线PA，PB，MA，MB的斜率分别为，，，，求的值；
（2）直线AP与椭圆相交于点N（异于点A），求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题设，存在，使，则可得所以.故选A.
2.答案：A
解析：直线可化为，所以，解得或.故选A.
3.答案：B
解析：因为，所以.
4.答案：B
解析：由题意可知，点P的轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，
其方程是.
解法一：①把代入并整理得，，
，直线与圆相离，
直线不是“相关点直线”，
同理，通过联立直线和圆的方程，
可得直线②，④与圆相交，
直线③与圆相离，所以②④符合题意.
故选：B.
解法二：①圆心到直线，
即的距离为，
直线与圆相离，直线不是“相关点直线”，
同理，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小，
可得直线②，④与圆相交，
直线③与圆相离，所以②④符合题意.
故选：B.
5.答案：B
解析：为等边三角形，，
，，，
中，由余弦定理有，
，，.
故选:B.
6.答案：B
解析：如图，设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径.抛物线上点到圆心距离的平方为.若小球触及凹槽的最底部，则的最小值在处取到，又，所以，即，所以，所以清洁钢球的最大半径为1.
7.答案：B
解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，
则，，，.
设平面AMN的法向量为，
由于，，则
即
令，解得，，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.
8.答案：A
解析：椭圆的离心率为，
，则，
椭圆，此时，则直线的方程为，
又点在椭圆C上，则有，
设，联立，解得，则
，
由得：，代入上式得：.
故选：A.
9.答案：BC
解析：由已知条件，得圆的圆心，半径.圆的一般方程化成标准方程，得，则圆的圆心，半径，，，，A错误，B正确.，C正确.又，两圆外离，不相交，D错误.故选BC.
10.答案：BCD
解析：A中，，不是黄金双曲线.B中，，即，即.又，所以，是黄金双曲线.C中，因为，所以，所以，化简得，由B选项知是黄金双曲线.D中，因为，且轴，所以是等腰直角三角形，所以，即，由B选项知是黄金双曲线.故选BCD.
11.答案：ABD
解析：依题意可知AB，AD，AS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，设，，，，所以，所以，A选项正确.
点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，为定值，D选项正确.
易知，，，
设平面SBC的法向量为，则令，可得，又平面SBC，要使平面SBC，
则，
解得，所以存在点M，使平面SBC，B选项正确.
，
若直线OM与直线AB所成的角为，则
，
即，，无实数解，所以C选项错误.故选ABD.
12.答案：
解析：如图，设点，则矩形PACB的中心为，由，M为AB的中点，得，，即，即.
13.答案：
解析：在直三棱柱中，，故以点A为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，G，E，D分别是棱，，的中点，所以，，，则.又F是棱AB上的点，所以设，则.因为，所以，所以，所以，所以.
14.答案：
解析：圆，抛物线，圆心也是抛物线的焦点，抛物线的准线方程为.
如图所示，设直线PN与准线的交点为H，根据抛物线的定义可得，故的周长.
由可得，，又圆与y轴正半轴交于，，又，的取值范围为，的周长的取值范围为.
15.答案：（1）或
（2）
解析：（1）设圆心，圆M的圆心为，
由题意可得
解得或
因此，圆N的方程为或.
（2）若过点P的直线斜率不存在，
则该直线的方程为，
圆心M到直线的距离为3，不符合题意.
设过点P且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，
整理可得，
设直线PS，PT的斜率分别为，，
则，为关于k的二次方程的两根，，
，.
直线PS的方程为，令，可得，即点，
直线PT的方程为，令，可得，即点，
所以，
解得.
16.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取AB的中点N，连接MN，CN，
因为M，N分别为SB，AB的中点，所以.又，所以.
记直线CN与直线BD的交点为Q，
因为，所以，，
所以，则有，故.
设，则，，
所以，且，，
所以，所以.
又因为，平面CMN，所以平面CMN，
又平面CMN，故.
（2）因为，，，且平面ABCD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.
又，故以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，，
则，.
设平面AMC的法向量为，
则取，则.
设，其中，
.
因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为，
所以|，解得，故.
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意知，直线l的斜率存在，
设点，，直线l的方程为，
由得，
，，.
由，得切点，，
则切线的方程为，代入，得，
所以，解得，
同理，得切线的斜率，
所以.
（2）由（1）可得，
故，.
由（1）得，
可化为，①
同理得，②
由①②，得，，即，
则.
，
所以.
由，，得，故，
即的取值范围为.
18.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面ADM，
所以平面平面PBC.
又平面AMD，所以平面PBC，
所以平面MABN与PC必有交点，且该交点为N，使.
（2）以D为原点，DC，DM所在直线分别为y，z轴，过点D在平面ABCD内作垂直于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为四边形ABCD是菱形，，所以，
又，，平面ABCD，
所以，，，，.
设平面AMP的法向量为.
则有
即
取，则.
设平面MPC的法向量为，
则有
即取，则.
则，
所以二面角的正弦值为.
19.答案：（1）0
（2）
解析：（1）方法一：设直线，
由得，所以解得.
设（，），则所以.
由得，
设（，），则所以.
因为，，
所以，
，
所以.
方法二：设（，），（，），
因为，，所以，
.
因为点P在双曲线上，所以，所以，所以.
因为点M在椭圆上，所以，所以，所以.
因为O，P，M三点共线，所以，
所以.
（2）设直线AP的方程为，
由可得，
解得，，所以点P的坐标为，
因为点P位于第一象限，所以解得.
由可得，
解得，，
所以点N的坐标为，
所以，
设，则，所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，，所以，
所以，
即，故的取值范围为.