2024年吉林省长春市净月高新技术产业开发区华岳学校、明泽学校九年级中考数学第一次模拟试题

这是一份2024年吉林省长春市净月高新技术产业开发区华岳学校、明泽学校九年级中考数学第一次模拟试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若数轴上表示的点到原点的距离是1，则数轴上表示的点到原点的距离是（ ）
A．B．C．D．
2．2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列立体图形中，不能被一张矩形纸板恰好围成侧面的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若满足不等式，则不可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有人共买货，人出八，盈六；人出七，不足三．问人数货价各几何？译文：今有人合伙买货，每人出8钱，会多出6钱；每人出7钱，又差3钱．问人数、买货的钱数各是多少？设人数为，买货的钱数为．可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ）

A．2B．3C．4D．5
7．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．分解因式：= ．
10．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．

11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
12．请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是 ．（写出一个值即可）
13．如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线共线，其对边与量角器交于点，且点在量角器上对应读数为．若将量角器看做是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为
14．设二次函数（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，的取值范围是
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．

现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．
17．某商场在节目期间将单价200元的某商品经过连续两次降价后，现在的价格为128元．求平均每次降价的百分率．
18．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹．
(1)在图①中画边上的高线．
(2)在图②中的线段上画出点，使得．
(3)在图③中，画出，使得，且E、A、B三点不共线．
19．如图，矩形与矩形的重叠部分为四边形，其中．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)当时，四边形的面积为______．
20．跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
(3)某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
21．甲、乙两地相距330千米，一辆货车和一辆轿车同时从甲、乙两地出发，沿同一条公路相向而行，货车先以75千米时的速度匀速行驶了150千米后与轿车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4个小时到达乙地，轿车匀速行驶至甲地，两车到达各自的目的地后停止．如图是货车和轿车两车各自距甲地的路程与行驶时间之间的函数图象（或部分图象）．
(1)补全货车的函数图象．
(2)求两车相遇后，货车距甲地的路程与行驶时间之间的函数关系式．
(3)直接写出当轿车到达甲地时货车距乙地的路程．
22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
请根据教材内容．结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】
（1）如图②，已知是半圆的直径．点在半圆上，点为的直角顶点，若平分，则______．
（2）如图③，在中，，，，点为边上的定点，点为射线上的动点，连结．当线段的长度最短时，若，则点到射线的距离为______．
23．已知在中，，，点在边上，满足．动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿折线向终点运动，且不与的顶点重合．把沿翻折，得到．设点的运动时间为．
(1)的长为______．
(2)求点到的距离（用含的代数式表示）．
(3)当与等腰的腰垂直时，求的值．
(4)当与拼成的图形为三角形时，直接写出的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，且经过点．点、均在抛物线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，将抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）记为图象．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当所在直线与轴平行时，求的值．
(3)以为对角线构造矩形，使矩形的边与轴垂直，当矩形与抛物线的另一个交点与点或点的连线将该矩形的面积分成两部分时，求的值．
(4)在平面内构造，其中点，，，当图象与的边有2个公共点时，直接写出的取值范围．
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…
平均数
众数
中位数
145
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．
求证：．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上的有理数的表示是解题的关键；由题意易得a所表示的数为，则有表示的数也为，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可知a所表示的数为，则有表示的数也为，所以数轴上表示的点到原点的距离是1；
故选B．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为；
故选B
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查几何图形的侧面展开图，根据长方体，圆柱，三棱锥，三棱柱的侧面展开图，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、长方体的侧面展开图是矩形，则能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项不符合题意；
B、圆柱的侧面展开图是矩形，则能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项不符合题意；
C、三棱锥的侧面展开图是三角形，则不能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项符合题意；
D、三棱柱的侧面展开图是矩形，则能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，首先利用不等式的基本性质解不等式，求得的取值范围，在范围内取值即可．熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
【详解】解：解不等式，得，
∴不可能是0，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设人数为，买鸡的钱数为，根据每人出8钱，会多出6钱可得方程，根据每人出7钱，又差3钱可得方程，由此建立方程组即可．
【详解】解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：
故选：B．
6．A
【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解．
【详解】解：由作图过程可知平分，
，
，
，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分．
7．C
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形．
根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，画出图形，如下：
由题意可得，，
设，则，
由勾股定理可得：，即
解得，
即，他升高了，
故选：C．
8．D
【分析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
【详解】∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
10．/度
【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案．
【详解】解：如图，先标注点与角，

由对折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键．
11．4
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴且，即且，
解得，，
故答案为：4．
12．0（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【详解】解：当时，，
∴“对于任意实数，一定大于”是假命题．
故答案为：0（答案不唯一）．
13．
【分析】本题考查弧长公式，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，结合题意可知为等边三角形，进而可得，利用弧长公式可得，，即可求解．
【详解】解：如图，由题意可知，，，，，
则，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，则，
∴，
则矩形与量角器重叠部分的周长为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，求解即可．
【详解】解：∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，和关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
∵，
，
∴二次函数为，
，
．
故答案为：．
15．，．
【分析】原式利用除法法则变形，利用分式乘法得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于分式的加减运算是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：共有张卡片，
第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为
故答案为：．
（2）树状图如图所示：

由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
17．平均每次降价的百分率为
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列出方程是解题的关键．设平均每次降价的百分率为，列出方程求解即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率为．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图①，取格点、、，连接、、、、，与、的交点分别为、，于的交点为，利用全等三角形的性质证明垂直，线段即为所求作；
（2）如图②，取格点、，连接交于点，则四边形是矩形，利用全等三角形的性质，可得点在的垂直平分线上，连接并延长，交于点，则垂直平分，则，可得；
（3）如图③，取格点、、，连接、、、、、，利用全等三角形的性质，可得、、三点共线，将线段向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到线段，再根据平移的性质即可证明．
【详解】（1）解：如图①，取格点、、，连接、、、、，与、的交点分别为、，于的交点为，
，，，
，
，
，
，
，
即是边上的高线；
（2）解：如图②，取格点、，连接交于点，则四边形是矩形，
，即点是中点，
取格点、、，连接、、、、，
，，，
，
，
点在的垂直平分线上，
连接并延长，交于点，则垂直平分，
，
，
即点为所求作；
（3）解：如图③，取格点、、，连接、、、、、，
，，，
，
，，
，
，
，即、、三点共线，
，
，
将线段向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到线段，
则，
，
．
【点睛】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，平移的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．
19．(1)见解析
(2)80
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到四边形为菱形；
（2）连接交于，根据菱形的性质得到，，，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：在矩形与矩形中，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积．
故答案为：80．
20．(1)，
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据众数与中位数的定义进行计算即可求解；
（2）根据样本估计总体，用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数，即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解；
【详解】（1）解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多
∴，
这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【点睛】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了一次函数、正比例函数的实际应用，解答此题的关键是理解题意，从函数的图象中提取正确的相关的解题信息，熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
（1）由已知货车从甲地先以75千米时的速度匀速行驶了150千米后，以另一速度匀速行驶到达乙地，故货车图象开始-是正比例函数，即过，，又行驶至乙地，走完全程，过，描点连线即得货车图象；轿车全程速度不变，过，描点连线即得轿车图象；
（2）先依题意求出点，的坐标，然后利用待定系数法可分别求出甲、乙两车各自距地的路程与行驶时间之间的函数关系
式；
（3）先根据（2）的函数关系式求出轿车到达甲地的时间，进而可求出货车车距甲地的路程，用总路程减去货车行驶的路程即可．
【详解】（1）解：图象如图所示：
；
（2）解：货车车先以75千米时的速度匀速行驶150千米后与轿车相遇，
货车行驶150千米与轿车相遇，此时的时间，
点的坐标为，
又货车在与轿车车相遇后以另一速度继续匀速行驶4小时到达乙地；
点的坐标为，
设货车行驶段函数关系式为：，
将点，代入，
，
解得：．
两车相遇后，货车距甲地的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；
（3）解：设轿车距离甲地的路程与行驶时间之间的函数关系为：，
将点，代入，可得
，
解得：，
则轿车满足的函数关系为：，
轿车到达甲地时用的时间即时，，
解得：，
此时货车满足；
货车距甲地路程，
当轿车到达甲地时货车距乙地的路程为．
22．教材呈现：证明见解析；结论应用：（1）；（2）
【分析】教材呈现：过点作于点，于点，根据平行线分线段成比例定理，得出，，再结合垂直平分线的性质，即可证明结论；
结论应用：（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到点在圆上，，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数；
（2）由题意可知，当时，线段的长度最短，如图所示，过点作于点，证明，进而推出，得到，由勾股定理可得，再证明，得到，即可求出的长．
【详解】解：教材呈现：证明如下：如图①，过点作于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，
，，
是斜边上的中线，
，
，，
垂直平分，垂直平分，
，，
，
即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
结论应用：（1）如图，补全圆，
是半圆的直径，且点为的直角顶点，
点在圆上，
是半圆的直径．点在半圆上，
，
平分，
，
，
；
（2）由题意可知，当时，线段的长度最短，如图所示，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
即点到射线的距离为．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，圆周角，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关知识，灵活运用相似三角形是解题关键．
23．(1)8
(2)当时，点到的距离为，当时，点到的距离为；
(3)当与等腰的腰垂直时，的值为0.6或1.2
(4)当与拼成的图形为三角形时，的值为或或
【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的性质，根据，求得，，即可求解；
（2）分两种情况：当在上运动时，即：时，当在上运动时，即：时，分别求解即可；
（3）分两种情况：当于点时，当于点时，结合（2），根据折叠的性质即可求解；
（4）分三种情况：当点在上且时，当点在上且时，当点在上且时，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：过点作，
∵，，
∴，
设，，则由勾股定理可知，，
∴，则，，
∴，
故答案为：8；
（2）由（1）可知，，
当在上运动时，即：时，，
过点作，则；
当在上运动时，即：时，，，
过点作，
∵，
∴，则，
∴，
综上，当时，点到的距离为，当时，点到的距离为；
（3）∵，，
∴，，
当于点时，过点作，由（2）可知，，，
由折叠可知，，，，则，
∴，
∴，，，
则，
∴；
当于点时，过点作，由（2）可知，，，，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴；
综上，当与等腰的腰垂直时，的值为0.6或1.2；
（4）由折叠可知，，，
当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形，
此时，，则，
∴，解得：；
当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形，
过点作，由上可知，，，
则，，，
∵，则
∴，
∴，
∴，即：，解得：；
当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形，

此时，，解得：；
综上，当与拼成的图形为三角形时，的值为或或．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，折叠的性质等知识点，作出图形，分类讨论是解决问题的关键．
24．(1)
(2)
(3)当矩形与抛物线的另一个交点与点或点的连线将该矩形的面积分成两部分时，或4
(4)当或时，图象与的边有2个公共点
【分析】（1）由抛物线的对称轴为，求出的值，再根据抛物线经过点，代入建立方程求出的值即可；
（2）根据所在直线与轴平行，可知，即：，求解即可；
（3）分当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，做出草图讨论即可求解；
（4）求出临界点、在抛物线上时，在上时，所对应的的值，再利用数形结合，根据图象判断交点，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线（、为常数）的对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，
抛物线对应的二次函数关系式为：；
（2）∵所在直线与轴平行，
∴，即：，
解得：，，
当时，，则，重合，不符合题意，舍去，
∴当所在直线与轴平行时，；
（3）当时，如图，点关于对称轴的点的横坐标为，，
即点在点关于对称轴的点的左侧，
∴在上方，则与抛物线相交，令交点为，
由轴对称可知：，
连接，由矩形的性质可知，，
∵将该矩形的面积分成两部分，
∴，
∴，即：，解得：，不符合题意；
当时，由（2）可知，轴，不存在满足题意的矩形，不符合题意；
当时，如图，点关于对称轴的点的横坐标为，，
即点在点关于对称轴的点的右侧，
∴在下方，则与抛物线相交，令交点为，
由轴对称可知：，
连接，由矩形的性质可知，，
∵将该矩形的面积分成两部分，
∴，
∴，即：，解得：，符合题意；
当时，，则在的左侧，且均在对称轴右侧，此时矩形的边与抛物线没有其他交点，不符合题意；
当时，由（2）可知，，重合，不符合题意；
当时，，则在的右侧，且均在对称轴右侧，此时矩形的边与抛物线没有其他交点，不符合题意；
当时，如图，点关于对称轴的点的横坐标为，，
即点在点关于对称轴的点的右侧，
∴在上方，则与抛物线相交，令交点为，
由轴对称可知：，
连接，由矩形的性质可知，，
∵将该矩形的面积分成两部分，
∴，
∴，即：，解得：，符合题意；
综上，当矩形与抛物线的另一个交点与点或点的连线将该矩形的面积分成两部分时，或4；
（4）∵，，，
设的解析式为，代入，，
得，解得：，
∴的解析式为，
当在上时，，解得：，
，
当时，，
则当时，点在上方，点在上方，则图象与没有公共点，
当时，
若在抛物线上且在对称轴左侧时，此时
则，解得：（正值舍去），图象与恰有1个公共点，
可知当时，在左侧，此时图象与无公共点，
若在上时，即时，，解得：（舍去），图象与恰有2个公共点，
由此可知，当时，图象与恰有2个公共点；
当时，
若在上时，即时，，解得：（舍去），图象与恰有2个公共点，
若在抛物线上且在对称轴右侧时，此时
则，解得：（舍去），图象与恰有1个公共点，
可知当时，在右侧，此时图象与无公共点，
由此可知，当时，图象与恰有2个公共点；
综上，当或时，图象与的边有2个公共点．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与三角形交点问题、抛物线与矩形面积问题等知识点，解题的关键是利用数形结合思想对问题进行分类讨论．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
B
C
D
B
A
C
D