辽宁省点石联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份辽宁省点石联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了已知两直线，若，则与间的距离为，已知直线，则“”是“”的，已知直线，则等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法正确的是（ ）
A.零向量没有方向
B.在空间中，单位向量唯一
C.若两个向量不相等，则它们的长度不相等
D.若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底
2.已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知两直线，若，则与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ）
A. B.1 C.2 D.
7.如图所示，正方体的棱长为2，点分别为的中点，则（ ）
A.直线与直线垂直
B.直线与平面平行
C.三棱锥的体积为
D.直线与平面所成的角为
8.如图，在三棱锥中，平面是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知直线，则（ ）
A.若，则直线的倾斜角为
B.直线过定点
C.若，则直线在轴和轴上的截距相等
D.若直线不经过第二象限，则
10.如图，四边形为正方形，平面为的中点，则（ ）
A.四点共面 B.平面
C.平面 D.平面平面
11.在正方体中，为的中点，为正方体表面上的一个动点，则（ ）
A.当点在线段上运动时，与所成角的最大值是
B.若点在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是
C.当点在面上运动时，四面体的体积为定值
D.当点在棱上运动时，存在点使
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知直线过点，则当取得最小值时，直线的方程为__________.
13.如图，正三棱柱的各棱长均为1，点为棱上的中点，点为棱上的动点，则在上的投影向量的模的取值范围为__________.
14.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知直线与直线的交点为.
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程.
16.（15分）如图，是半圆的直径，是的中点，，平面垂直于半圆所在的平面，.
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）如图①，在边长为4的菱形中，分别是边的中点，，如图②，将菱形沿对角线折起.
（1）证明：；
（2）当点折叠到使二面角为直二面角时，求点到平面的距离.
18.（17分）如图，在斜四棱柱中，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19.（17分）定义：如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离.
（1）已知两点的坐标分别为，如果它们之间的曼哈顿距离不大于2，求的取值范围；
（2）已知两点的坐标分别为，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于1，求的取值范围；
（3）若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值.
参考答案及解析
一､单选题
1.D 【解析】对于A，零向量的方向是任意的，错误；对于B，单位向量的方向是任意的，B错误；对于C，若两个问量不相等，则它们的长度可能相等，如相反向量，C错误；对于D，因为空间中的四点不共面，所以向量不共面且不为零向量，所以是空间的一组基底，D正确.
2.C 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，故其一个方向向量为.
3.A 【解析】连接，因为为的中点，所以，所以
4.D 【解析】由，整理为一般式得，由题意，得，解得，故，所以与问的距离为.
5.A 【解析】因为，所以，所以，
解得或，故“”是“”
的充分不必要条件.
6.A 【解析】因为，所以存在
，即，解得，
所以.
7.B 【解析】対丁A，因为为正方体，所以，直线与直线不舁直，所以直线与直线不垂直，故A错误；如图，建立空间直角坐标系，则，对于B，，设平面的法向早为，则，令，取，因为，所以，所以，因为在平面外，所以直线与平面平行，故B正确；对于C，，所以三棱锥的体积为，故C错误，对于D，
，设直线与平面所成的角为，故D错误.
8.B 【解析】设分别为的中点，连按，如图，
易得，因为平面平面，所以平面，同理平面，又因为平面，所以平面平面.因为平面，所以为线段上的点.由平面平面，得，又，则，由平而，得平面，因为，所以平面.因为，所以.所以.
.
因为，
所以.
二､多选题
9.ABC 【解析】对于A，若，则直线：，直线的倾斜角为，A正确；对于
B，由，即，则，解得，所以直线过定点，B正确：对于C，若，则直线，则直线在轴和轴上的截距相等，C正确；对于D，由A可知当时，直线的方程为，此时直线不经过第二象限，故D错误.
10.BCD 【解析】由题意可知两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.取
则
对
于A，若四点共面，，，则存在，使，所以，方程组无解，故四点不共而，A错误；对于，，所以，故共面，又平面，所以平面，B正确；对于C，，易知，所以.又，可得.又平而，所以平面，故C正确；对于D，因为平面平面，所以平而平面，故D正确.
11.CD 【解析】对于A，如图一，在正方体中，易知，所以与所成的角等价于与所成的角，当为的中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.
对于B，如图二，因为棱垂直于.上底而，与所成角为，在中，，所以所在的轨迹是以为圆心，1为半径的弧，轨迹长度是，故B错误.对于，如图三，因为在面内，而到面的距离等于，而面积不变，故体积为定值，故C正确.
对于D，如图四，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，因为，由，得
，解得，故D正确.
三､填空题
12. 【解析】因为直线
过点，
所以，则，所以，
当且
仅当，且，即时，等号成立，此时直线的方程为，即.
13. 【解析】连接，则，又三棱柱为正三棱柱，则半而平而，所以，又平面，所以平面，建立如图所示的空间直分坐标系，则，，所以，因为点为校上的动点，设，则，所以，则在上的投影向量的模为，因为，所以，即
在上的投影向量的模的取值范围为
14. 【解析】由题意得，，如图，将平面展开且与平面在同一平面，当点共线时，此时最小，在展开图中作，交的延长线于，因为为等腰直角三角形，所以，由得，，则，解得，在正方休，过点作，垂足为，则，
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，因为.，所以，又因为平面，且
，所以平面，因为，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，则，因为，所以，解得，即，所以外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积.
四､解答题
15.解：由，解得，即点，
（1）设，由得，
则，
解得，故.
（2）过作任一直线，设为点到直线的距离，
则（当时等号成立），
所以，
直线的斜率为，所以直线的
斜率为.
此时直线的方程为，
即.
16.（1）证朋：因为点分别是的中点，
所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）解：因为足的中点，
所以.
又平面平面，平面平面，
所以平而.
因为，所以，
所以两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
知，
，
设平面的法向量为，则
取，得，
所以平面的一个法向量
设直线与平面所成的角为，则
即直线与平而所成分的正弦值为
17.解：（1）如图，取的中点，连接，
结合折叠后线段长度不变得到，
所以.
又平面，
所以平面，所以.
又分别是边的中点，
所以，所以.
（2）因为点折叠到使二面角为直二面角，
所以平面平面.
又因为平面平面，，
所以平面.
又平面，所以.
结合（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为辑，建立如图所示的空间直角坐标系.则
所以
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，取，
所以.
所以点到平面的距离为
18.（1）证明：由，四边形为平行四边形，
可知底面为菱形，故.
又
所以
又
则，
所以，即.
又平面，且，
故平面.
（2）解：过点分別作
于于，连接，
设与交于点，
因为平面平面，
所以.
底面，
所以底面，所以.
又，
所以平面平面，
所以.
在中，，
在中，，
在中，，
以为坐标原点，以过点且与平行的直线为轴，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
取，
次而的一个法向量为.
所以
即平面与平面夹角的余弦值为
19.解：（1）因为，
所以，
由受哈顷距离不大于2可得，即，
解得，故的取值范围是
（2）因为，所以
由题意可得恒成立，
因为，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为，
所以，则或，解
得或.
故的取值范围是.
（3）点任函数图象上：，点的坐标为，
收
当时，，
函数在上单调递增，
故，则.
当时，.
令，由于，
故，
当时，，
函数在上单调递减，故
则.
综上可知，的最小值为2.