专题11.7 与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）（人教版）

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专题11.7 与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）【人教版】【题型1 与三角形的角有关的挖空题】1．（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC=110°，∠BAC=80°，∠B=∠BAD．求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴ + ＝∠ADC=110°（ ）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B= （等量代换）．（2）∵∠B+∠BAC+ =180°（ ），∴∠C=180°-∠BAC-∠B（等式的性质），=180°-80°-∠B，＝ ．2．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））∵∠B=35°，∠ACB=85°（已知）∠BAC+∠B+∠ACB= （ ）∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB（等式的性质）=180°-35°-85°（等量代换）=60°∵AD平分∠BAC（ ）∴∠BAD=∠ =12∠BAC=12 = （角平分线的定义）∴∠ADC=∠B+ =35°+ = （ ）∵PE⊥AD（已知）∴∠DPE=90°（ ）在直角三角形DPE中，∵∠PDE+∠E=90°（ ）∴∠E=90°-∠PDE（等式的性质）=90°- （等量代换）= ．（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=ββ>α，求∠E的大小．（用含α，β的代数式表示）（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由）3．（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，求：（1）∠EBC的度数；（2）∠A的度数．  对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB=______，∵∠EBC=∠CDB+∠BCD（___ ____），∴∠EBC=_____+35°=______（等量代换），（2）∵∠EBC=∠A+∠ACB（_______），∴∠A=∠EBC-∠ACB（等式的性质），∵∠ACB=90°（已知），∴∠A=_____-90°=______（等量代换）．你还能用其他方法解决这一问题吗？4．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，∠CDE=35°，求∠ADC及∠A的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵DE∥AC（已知），∴① （两直线平行，内错角相等）．又∵∠CDE=35°（已知），∴∠ACD=35°（等量代换），∵CD平分∠ACB（已知），∴②　 　 （角平分线的定义）．∴∠BCD=35°（等量代换）．∵∠ADC是△BDC的外角（已知），∴∠ADC=③　 　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．又∵∠B=40°（已知），∴∠ADC=40°+35°=75°．∴∠A+∠ADC+∠ACD=180°（④　 　），∴∠A=⑤　 　（等式的性质）=180°-75°-35°=70°．  5．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°．D、E分别是AC、BC边上一点，连接AE、BD，AE与BD相交于点F．若∠CBD=∠CAE，∠BAE=45°，请说明∠ADF=90°．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠EFD是△BEF的外角（已知），∴∠EFD=______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．同理可得：∠EFD=______+∠DAF．又∵∠CBD=∠CAE（已知），∴∠ADF=______（等式性质）．∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=______（三角形内角和等于180°），∠ABC=45°，∠BAE=45°（已知），∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE（等式的性质），=180°-45°-45°=90°，∴∠ADF=______°（等量代换）．6．（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，已知∠B=60°，∠C=40°，∠1=50°，且∠3=∠4，求∠2的度数．对于上述问题，在以下解答过程中的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．  解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（____ ______），∠B=60°，∠C=40°（已知），∴∠BAC=180°-∠B+∠C=180°-60°+40°=___ ___（等量代换），∵∠1=50°（已知），∴∠DAC=∠BAC-∠1=80°-50°=30°（等量代换），在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°（三角形内角和等于180°），又∵∠3=∠4（______ ____），∴∠4=180°-∠DAE÷2=75°（等式的性质），∵∠4=∠C+∠2（______ ____），∴∠2=∠4-∠C=75°-40°=35°（等量代换）7．（23-24八年级·吉林长春·期末）【问题】如图①，在△ABC中，∠A=80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（_______________），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等式性质）．∵∠A=80°（已知），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC=12∠ABC（角平分线的定义）．同理，∠DCB=__________．∴∠DBC+∠DCB=12(∠ABC+∠ACB)=__________（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°-∠DBC+∠DCB=__________（等式性质）．【拓展】如图②，在△ABC中，∠A=α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．则∠D=（__________）．【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E=145°，则∠A=（__________）．8．（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．(1)已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点P，试探究∠BPC和∠A的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．解：延长BP交AC于点D．∵ ∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A（__________），∴ ∠BPC=∠2+∠1+∠A．∵ ∠B和∠C的平分线相交于点P，∴ ∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB（角平分线定义），∴ ∠BPC=12∠ACB+12∠ABC+∠A=12∠ABC+∠ACB+∠A．∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°（__________），∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A（等式的性质），∴ ∠BPC=12180°-∠A+∠A=__________．(2)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于点P，试探究∠P和∠A的关系，并说明理由．(3)如图，△ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P，若∠A=50°，则∠P的度数为__________．【题型2 与三角形的角有关的计算】9．（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为边BC上一点．(1)若AE平分∠BAC，∠DAE=15°，∠B=60°，求∠C的度数．(2)在（1）条件下，直接写出∠AEC=______．10．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，已知∠BCD=120°，EF∥DC，∠BAC=80°，∠EFA=25°，求∠B的度数．11．（23-24八年级·河南鹤壁·期末）如图所示，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平分线，若∠CBF=30°，∠AFB=70°．(1)求∠DAE的度数；(2)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．12．（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图①，∠MON=80∘，点A,B在∠MON的两条边上运动，∠OAB和∠OBA的平分线交于点C．(1)点A,B在运动过程中，则∠ACB的度数为______；(2)如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A,B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．(3)若∠MON=n，请直接写出∠ACB= _______；∠E= _______．13．（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，点F是从点A沿AE向点E运动的一动点，过点F作FD⊥BC于点D．(1)如图1，当点F与点A重合时，求∠DFE的度数；(2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求∠DFE的度数．14．（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，已知∠AOB=72°，点C、N分别在∠AOB的两边OA，OB上运动（点C、N与点O不重合），CE平分∠ACN．(1)若∠ACN=125°，试求出∠ONC的度数；(2)已知FN平分∠ONC交CE的反向延长线于点F．在点C、N的运动过程中，∠F的度数是否发生改变？若不变，试求出∠F的度数；若发生改变，请说明理由．15．（23-24八年级·河南洛阳·期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合．(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，AI交BI于I，则∠AIB=______°．(2)如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．①直接写出，则∠ADB=______°．②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由．16．（23-24八年级·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：【问题改编】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A=50°．则∠P=______；【问题推广】（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度数；（3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F=n°，则∠A的度数为______．（结果用含n的代数式表示）【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】17．（23-24八年级·吉林长春·期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A'处．【感知】如果点A'落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A'与∠2之间的关系是 ;【探究】如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A'与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A'与∠1、∠2之间存在数量关系 .                  18．（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论．(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．19．（23-24八年级·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A=60°，则∠ABX+∠ACX=___________°；②如图3，∠ABE，∠ACE的二等分线（即角平分线）BF，CF相交于点F，若∠BAC=60°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数．20．（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠A=80°，点D、E是△ABC边AC、AB上的点，点P是平面内一动点．令∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若点P在线段BC上，如图1所示，∠α=50°，求∠1+∠2的值；(2)若点P在边BC上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系________；(3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；(4)若点P运动到△ABC外，如图4所示，则请表示∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．21．（23-24八年级·湖南株洲·期末）AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．  (1)写出∠EPG，∠BEP，∠PGD之间的关系，并说明理由．(2)如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE=110°，∠PGD=12∠EFD，∠PGD=30°．求∠BEP的度数；(3)如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由．22．（23-24八年级·广东清远·期末）（1）如图①，在四边形ABOC中，∠BOC=130°，∠B=29°，∠C=28°．直接写出∠BOC与∠B，∠C，∠A之间的关系．（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算∠A+∠ABC+∠D+∠DEF的度数．（3）如图③，在△ABC中，设∠A=β，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE交于点O，过B作EC的平行线BG交AC的延长线于点G，试用含β的代数式表示∠OBG的度数．  23．（23-24八年级·山东青岛·期末）△ABC中，∠C=70°，点D，E分别是△ABC边AC,BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2,∠DPE=∠α． 初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=________°；(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为__________；(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为__________．再探：(4)如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系，并说明理由．(5)若点P运动到△ABC的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系，并说明理由．24．（23-24八年级·四川内江·期末）△ABC中， ∠C=70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点Р是平面内一动点，记∠PDA=∠1，∠PEB=∠2,∠DPE=∠α．初探:（1）如图1，若点P在线段AB上运动，①当∠α=60°时，则∠1+∠2=________°；②∠α、∠1、∠2之间的关系为:___________________________.再探:（2）若点Р运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系?并说明理拓展:（3）如图3，写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．【题型4 探究与三角形有关的线段之间的关系】25．（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．(1)若∠A=40°，∠F=25°，求证：DF∥BE．(2)若DF∥BE，探究∠F=30°，则∠A=________；（直接写答案，不用证明）26．（23-24八年级·河南周口·期末）如图，MN∥PQ，将两块三角尺（一块含30°角，一块含 45°角）按如下方式放置，使 ∠MAE=∠CBQ，∠AED=∠ABC=90°．试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．27．（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE,∠EAD=∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．(1)说明：DE∥AC；(2)若∠DEF=40°,∠B=36°，求∠BAC的度数．28．（23-24八年级·重庆黔江·期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α0°