初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程精品学案设计

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\l "_Tc22281" 【题型1 辨别一元二次方程】 PAGEREF _Tc22281 \h 1
\l "_Tc30427" 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc30427 \h 2
\l "_Tc12392" 【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】 PAGEREF _Tc12392 \h 2
\l "_Tc15267" 【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】 PAGEREF _Tc15267 \h 2
\l "_Tc10614" 【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】 PAGEREF _Tc10614 \h 3
\l "_Tc19426" 【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】 PAGEREF _Tc19426 \h 3
\l "_Tc4514" 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc4514 \h 4
\l "_Tc10057" 【题型8 根据实际问题列一元二次方程】 PAGEREF _Tc10057 \h 4
\l "_Tc10188" 【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】 PAGEREF _Tc10188 \h 5
\l "_Tc16203" 【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】 PAGEREF _Tc16203 \h 5
知识点1：一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【题型1 辨别一元二次方程】
【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y=1B．ax2+bx+c=0C．3x+1x=0D．x2-2=0
【变式1-1】（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．1x2-1=0B．x=5x2C．ax2+x-6=0 D．x(x+1)=5x-1
【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x-2x-3=0B．x+3x=4
C．ax2+bx+c=0D．-3x2+2x3=1
【变式1-3】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1x=4，④x2=0．
A．①②B．①②④C．①③④D．①④
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程k-3xk-1+2k-3x+4=0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3B．3C．-3D．不能确定
【变式2-1】（23-24九年级下·河北保定·期末）关于x的方程xa2-7-3x-2=0是一元二次方程，则a= ．
【变式2-2】（23-24九年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程m+1xm2+1+5x-4=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．1B．-1C．0D．±1
【变式2-3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）mx|m-2|+3x-7=0是一元二次方程，则m= ．
【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）关于x的方程ax2-x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a≠0 C．a<0D．a为任意实数
【变式3-1】（23-24九年级上·北京大兴·期末）若(a-3)x2-3x-4=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【变式3-2】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若方程(a-2)x2+ax=3是关于x的一元二次方程，则a的范围是（ ）
A．a≠2B．a≥0C．a≥0且a≠ 2D．a为任意实数
【变式3-3】（23-24九年级下·重庆·期末）如果关于x的不等式组m-4x>4x<3x+7有且仅有三个整数解，且关于y的方程m-2y2+my+1=0是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 ．
知识点2：一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。
【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】
【例4】（23-24九年级下·山东烟台·期中）一元二次方程3x2-4x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，-4，-1B．3，4，1C．3，4，-1D．3，-1，-4
【变式4-1】（23-24九年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ）
A．x-12=4B．3x-22=27C．5x2-3x=0D．2x2+2x=8
【变式4-2】（23-24九年级上·甘肃天水·期中）将一元二次方程2(x+3)(x-4)=x2-10化成它的一般形式为 ．
【变式4-3】（23-24九年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程3x2+x-2=axx-2化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为-2，则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5B．3C．-5D．-3
【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】
【例5】（23-24九年级·上海·假期作业）已知关于x方程-x2+mx-3m=5x的各项系数与常数项之和为2，求m的值．
【变式5-1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程m+3x2+m2-5x-3=0的一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3B．0C．3或－3D．0或3
【变式5-2】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．-3
【变式5-3】（23-24九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程(2ax+1)(x-a)=a-2的二次项系数是-4，则a的值为 ．
知识点3：一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】
【例6】（23-24九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程x2+2x-1=0的一个根，则代数式a+12+aa+2的值= ．
【变式6-1】（23-24九年级上·黑龙江·期中）已知一元二次方程x2-4x+m=0有一个根为2，则m值为 ．
【变式6-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个根，则am2+bm-7的值为( )
A．-2B．1C．12D．-12
【变式6-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知a是方程x2-2022x+1=0的一个根，则a2-2021a+2022a2+1的值为 ．
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】
【例7】（23-24九年级上·山西长治·期中）将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，也可以将x3表示为x⋅x2=xpx-q=…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若x2+x-1=0，则x3+2x2+2023的值为（ ）
A．2025B．2024C．2023D．2022
【变式7-1】（23-24九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【变式7-2】（23-24·重庆·一模）已知m为方程x2+x-3=0的一个根，则代数式m3+2m2-2m+6的值为 ．
【变式7-3】（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2-x-11=0的一个根，则a2-112a3-3a2+11的值等于 ．
【题型8 根据实际问题列一元二次方程】
【例8】（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ）
A．5+5x+52=20B．51+x2=20
C．51+x3=20D．5+51+x+51+x2=20
【变式8-1】（23-24·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每件获利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件．商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为（ ）
A．30+x100-10x=3640B．30+x100+10x=3640
C．30-x100+10x=3640D．30-x100-10x=3640
【变式8-2】（23-24·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．12n(n+1)=6B．12n(n-1)=6
C．n(n+1)=6D．n(n-1)=6
【变式8-3】（23-24九年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+x-42=10x-4+x-4B．x2+x+42=10x+x-4-4
C．x2+x+42=10x+4+x-4D．x2+x+42=10x+x-4-4
【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】
【例9】（23-24九年级下·山东淄博·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为2022，则方程ax+12+bx+1=-5必有根为（ ）
A．2022B．2020C．2019D．2021
【变式9-1】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2021，则一元二次方程ax-12+bx-b=-2必有一根为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【变式9-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是
【变式9-3】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程m(x-h)2-k=0（m,h,k均为常数，且m≠0）的解是x1=2，x2=5，则关于x的一元二次方程m(x-h+3)2=k的解是 ．
【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】
【例10】（23-24九年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程m2-4x2+m-2x+3m-1=0．
(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？
【变式10-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）关于x的方程ax2+bx+c=0，有下列说法：①若a≠0，则方程必是一元二次方程；②若a=0，则方程必是一元一次方程，那么上述说法（ ）
A．①②均正确 B．①②均错 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【变式10-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于x的方程m+1xm+1+m-2x-1=0提出了下列问题：
(1)是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
(2)是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值．
【变式10-3】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2k+1x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．