初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程优秀精练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程优秀精练，文件包含专题216一元二次方程的七大解法专项训练60题人教版原卷版docx、专题216一元二次方程的七大解法专项训练60题人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

【解法1 直接开平方法解一元二次方程】
1．（23-24九年级·广东东莞·阶段练习）解方程：4x2-25=0．
【答案】x=±52
【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用开平方法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：4x2-25=0，
∴4x2=25，
∴x2=254，
∴x=±52．
2．（23-24九年级·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)x2-9=0
(2)3x2-54=0．
【答案】(1)x1=3,x2=-3
(2)x1=32,x2=-32
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；
（1）根据直接开平方法可进行求解方程；
（2）根据直接开平方法可进行求解方程
【详解】（1）解：移项，得x2=9，
根据平方根的意义，得x=±3，
即x1=3,x2=-3．
（2）解：移项，得3x2=54，
两边同除以3，得x2=18，
根据平方根的意义，得x=±32，
即x1=32,x2=-32．
3．（23-24九年级·上海·假期作业）解方程：
(1)3x2-27=0
(2)(x-5)2-36=0
(3)12(x-2)2=6
(4)y+4y-4-9=0
【答案】(1)x1=3,x2=-3
(2)x1=11,x2=-1
(3)x1=23+2,x2=-23+2
(4)y1=5,y2=-5
【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程．
（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；
（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；
（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；
（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．
【详解】（1）解：3x2-27=0，
3x2=27，
x2=9，
∴x1=3,x2=-3；
（2）(x-5)2-36=0，
(x-5)2=36，
x-5=6或x-5=-6，
∴x1=11,x2=-1；
（3）12(x-2)2=6，
(x-2)2=12，
x-2=23或x-2=-23，
x=23+2或x=-23+2，
即：x1=23+2,x2=-23+2；
（4）(y+4)(y-4)-9=0，
y2-16-9=0，
y2=25，
y=±5，
即y1=5,y2=-5．
4．（23-24九年级·全国·课后作业）求x的值：4x-12=16．
【答案】x=3或x=-1
【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，
方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；
【详解】解：∵4(x-1)2=16
∴(x-1)2=4
∴x-1=2或x-1=-2，
解得x=3或x=-1．
5．（23-24九年级·浙江·专题练习）求下列方程中x的值：
(1)x2-1009=0；
(2)x-12=49．
【答案】(1)x1=103,x2=-103
(2)x1=8，x2=-6
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）先移项，再开平方即可得到答案；
（2）直接开平方即可得到答案．
【详解】（1）解：∵x2-1009=0，
∴x2=1009，
则x1=103,x2=-103；
（2）解：∵x-12=49，
x-1=7或x-1=-7，
解得x1=8，x2=-6．
6．（23-24九年级·上海松江·期中）解关于的x方程：ax2=2a≠0
【答案】x=±2a2a>0
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵ax2=2a≠0，
∴x2=2a，
∴x=±2a2a>0．
7．（23-24九年级·上海青浦·期末）解关于x的方程：m-22x2-4=0m≥2．
【答案】当m=2时，原方程无解，当m>2时，x=2m-2或x=-2m-2
【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出x2=4m-22，再分情况：当m=2时，当m>2时，分别求解即可得出答案．
【详解】解：∵m-22x2-4=0，
∴m-22x2=4，
∴x2=4m-22，
∵m≥2，
∴当m=2时，原方程无解，
当m>2时，x=2m-2或x=-2m-2．
【解法2 配方法解一元二次方程】
8．（23-24九年级·上海青浦·期中）用配方法解方程：x2-22x-4=0
【答案】x1=2+6，x2=2-6
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成x+m2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．
【详解】解：移项得，x2-22x=4，
配方得，x2-22x+2=4+2，
即x-22=6，
x-2=±6，
x1=2+6，x2=2-6．
∴方程的解为x1=2+6，x2=2-6．
9．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：
(1)x2+4x=2；
(2)x2-3x-74=0；
(3)4x2-8x=-3；
(4)4x2+4x+10=1-8x
【答案】(1)x1=-2+6，x2=-2-6
(2)x1=-12，x2=72
(3)x1=12，x2=32
(4)x1=x2=-32
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2+4x=2，
x+22=6，
x1=-2+6，x2=-2-6；
（2）解：x2-3x-74=0，
x-322=74+94=4，
x1=-12，x2=72；
（3）解：4x2-8x=-3，
2x-22=-3+4=1，
x1=12，x2=32；
（4）解：4x2+4x+10=1-8x，
4x2+12x+9=0，
2x+32=0，
x1=x2=-32．
10．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1)x2+4x+4=0；
(2)2x2-3x+2=0．
【答案】(1)x1=x2=-2
(2)原方程无实数根
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；
（1）由题意易得x2+4x=-4，然后进行配方即可求解；
（2）由题意易得2x2-3x=-2，则有x2-32x=-1，然后进行配方即可求解
【详解】（1）解：移项，得x2+4x=-4，
配方，得x2+4x+22=-4+22，
即(x+2)2=0，
∴x1=x2=-2．
（2）解：移项，得2x2-3x=-2．
二次项系数化为1，得x2-32x=-1．
配方，得x2-32x+-342=-1+-342，
即x-342=-716．
因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．
11．（23-24九年级·全国·专题练习）用配方法解方程x2-4x-5=0．
【答案】x1=5，x2=-1
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可．
【详解】解：方程移项得：x2-4x=5，
配方得：x2-4x+4=9，
即x-22=9，
开方得：x-2=3或x-2=-3，
解得：x1=5,x2=-1．
12．（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：2x2+4x+1=0．
【答案】x1=-2+22，x2=-2-22
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解．
【详解】解：2x2+4x+1=0，
原方程化为x2+2x=-12，
配方得x2+2x+1=1-12，
即(x+1)2=12，
开方得x+1=±22，
x=-1±22=-2±22，
∴x1=-2+22，x2=-2-22．
13．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：x2-14x+21=0
【答案】x1=7+27，x2=7-27．
【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解．
【详解】解：x2-14x+21=0，
移项得x2-14x=-21，
配方得x2-14x+49=-21+49，即x-72=28，
∴x-7=27，
∴x1=7+27，x2=7-27．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．
14．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1)x2-x-6=0；
(2)3y2+1=23y．
【答案】(1)x1=3，x2=-2；
(2)y1=y2=33．
【详解】解：（1）移项，得x2-x=6．
配方，得x2-x+122=6+122，
即x-122=254．
直接开平方，得x-12=52或x-12=-52，
解得x1=3，x2=-2．
（2）移项，得3y2-23y+1=0．
二次项系数化为1，得y2-233y+13=0，即y-332=0．
直接开平方，得y-33=0，
解得y1=y2=33．
15．（23-24九年级·全国·课后作业）用配方法解方程：
(1)(2x-1)2=4x+9；
(2)5y2+(2y-3)2=14．
【答案】(1)x1=1+3,x2=1-3
(2)y1=53,y2=-13
【分析】（1）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解；
（2）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解．
【详解】（1）解：(2x-1)2=4x+9，
x2-2x-2=0，
x2-2x+1=3，
(x-1)2=3，
∴x-1=3或x-1=-3．
∴x1=1+3,x2=1-3．
（2）解：5y2+(2y-3)2=14，
9y2-12y-5=0，
y2-43y+49=59+49，
∴(y-23)2=1．
∴y-23=1或y-23=-1．
∴y1=53,y2=-13．
【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键．
【解法3 因式分解法解一元二次方程】
16．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）解方程：
(1)x2-7x+10=0．
(2)x-32=2x-6
【答案】(1)x1=5，x2=2
(2)x1=3，x2=5
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)形式的式子，分解因式为px+qmx+n的方法．其中p、q、m、n是常数，且pm=a，qn=c，pn+qm=b．通过寻找合适的数对来实现因式分解．
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：因式分解，得x-5x-2=0，
则有x-5=0或x-2=0，
解得x1=5，x2=2．
（2）解：x-32=2x-6
x-32=2x-3
x-32-2x-3=0
则x-3x-5=0，
∴ x-3=0或x-5=0，
解得：x1=3，x2=5．
17．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：
(1)(x-3)2x+1=x-32．
(2)(x+1)(x-2)+2(2-x)=0
(3)3x(x-1)=2-2x
【答案】(1)x=3或x=-4
(2)x=2或x=1
(3)x=1或x=-23
【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：(x-3)2x+1=x-32，
移项得，(x-3)2x+1-x-32=0，
因式分解得，x-32x+1-x+3=0，即x-3x+4=0，
∴x-3=0或x+4=0，
∴x=3或x=-4．
（2）解：(x+1)(x-2)+2(2-x)=0，
因式分解得，x-2x+1-2=0，即x-2x-1=0，
∴x-2=0或x-1=0，
∴x=2或x=1．
（3）解：3x(x-1)=2-2x，
移项得，3xx-1+2x-1=0，
因式分解得，x-13x+2=0，
∴x-1=0或3x+2=0，
∴x=1或x=-23．
18．（23-24九年级·山东滨州·期末）解方程：
(1)x2-6x+5=0；
(2)y+12=2y-12．
【答案】(1)x1=5，x2=1
(2)y1=0，y2=2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二方程的常用方法和步骤．
（1）运用因式分解法解该一元二次方程即可；
（2）运用因式分解法解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2-6x+5=0，
∴x-5x-1=0，
∴x1=5，x2=1；
（2）解：y+12=2y-12，
∴y+12-2y-12=0，
∴y+1+2y-1y+1-2y+1=0，
∴3y2-y=0，
∴y1=0，y2=2．
19．（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程：
(1)x2-4x-5=0；
(2)3x(x-1)=2(x-1)．
【答案】(1)x1=-1,x2=5
(2)x1=1,x2=23
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．
（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）整理后根据因式分解法解方程即可；
【详解】（1）解：x2-4x-5=0，
因式分解得(x+1)(x-5)=0，
∴x+1=0或x-5=0，
解得x1=-1,x2=5．
（2）解：原方程可变形为：3x(x-1)-2(x-1)=0，
因式分解得(x-1)(3x-2)=0，
∴x-1=0或3x-2=0，
解得x1=1,x2=23．
20．（23-24九年级·山东泰安·期末）解方程：
(1)5x2-2=3x
(2)3x+32=xx+3
【答案】(1)x1=1，x2=-25
(2)x1=-3，x2=-92
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x-1=0或5x+2=0，然后解一次方程即可；
（2）先移项得到3x+32-xx+3=0，再利用因式分解法把方程转化为x+3=0或2x+9=0，然后解一次方程即可．
【详解】（1）5x2-2=3x，
5x2-3x-2=0，
(x-1)(5x+2)=0，
x-1=0或5x+2=0，
所以x1=1，x2=-25；
（2）3x+32=xx+3，
3x+32-xx+3=0，
(x+3)3(x+3)-x=0，
(x+3)(2x+9)=0，
x+3=0或2x+9=0，
所以x1=-3，x2=-92；
21．（23-24九年级·浙江宁波·期末）解方程：
(1)2x2-3x=0；
(2)3x2-5x-2=0．
【答案】(1)x1=0，x2=32
(2)x1=-13，x2=2
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵2x2-3x=0，
∴x2x-3=0，
∴x=0或2x-3=0，
解得：x1=0，x2=32；
（2）解：∵3x2-5x-2=0，
∴3x+1x-2=0，
∴3x+1=0或x-2=0，
解得：x1=-13，x2=2．
22．（23-24九年级·浙江金华·期末）解方程：
(1)2x2-x=0；
(2)5x2+2x-3=0．
【答案】(1)x1=0，x2=12；
(2)x1=35，x2=-1．
【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；
（2）利用因式分解法解答即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵2x2-x=0，
∴x2x-1=0，
∴x=0或2x-1=0，
∴x1=0，x2=12；
（2）解：∵5x2+2x-3=0，
∴5x-3x+1=0，
∴5x-3=0或x+1=0，
∴x1=35，x2=-1．
23．（23-24九年级·浙江杭州·期中）解方程：
(1)x2-2x=15.
(2)x-1x+5=-2x+5；
【答案】(1)x=5或x=-3
(2)x=-1或x=-5
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答.
（1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.
（2）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.
【详解】（1）解：x²-2x=15,
(x-5)(x+3)=0,
即:x-5=0或x+3=0,
∴x=5或x=-3；
（2）解：(x-1)(x+5)=-2(x+5),
(x-1)(x+5)+2(x+5)=0,
(x-1+2)(x+5)=0,
即: x+1=0或x+5=0,
∴x=-1或x=-5．
【解法4 公式法解一元二次方程】
24．（23-24九年级·全国·单元测试）用公式法解下列方程：
(1)x2-x-12=0；
(2)2x2+5x-3=0；
(3)2x2-7x+7=0；
(4)x2-23x-1=0．
【答案】(1)x1=4,x2=-3
(2)x1=12，x2=-3
(3)方程无解
(4)x1=3+2，x2=3-2
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键．
（1）由题意易得a=1,b=-1,c=-12，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得a=2,b=5,c=-3，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得a=2,b=-7,c=7，然后根据公式法可进行求解；
（4）由题意易得a=1,b=-23,c=-1，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：∵x2-x-12=0
∴a=1,b=-1,c=-12，
∴△=b2-4ac=1+4×1×12=49>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=1±492=1±72，
∴x1=4，x2=-3．
（2）解：∵2x2+5x-3=0
∴a=2,b=5,c=-3，
∴Δ=b2-4ac=25+4×2×3=49>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=-5±494=-5±74，
∴x1=12，x2=-3．
（3）解：∵2x2-7x+7=0
∴a=2,b=-7,c=7，
∴Δ=b2-4ac=49-4×2×7=-70，
x=-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1，
∴x=1±132，
∴x1=1+132，x2=1-132．
26．（23-24九年级·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：2x2-6x-3=0．
【答案】x1=3+152,x2=3-152
【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键
【详解】解：∵a=2,b=-6,c=-3
∴Δ=b2-4ac=-62-4×2×-3=60，
∴x=6±2152×2=3±152，
∴x1=3+152,x2=3-152
27．（23-24九年级·安徽滁州·期末）解方程：x(3x-5)=9-7x．
【答案】x1=-1+273，x2=-1-273
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．
原方程化为3x2+2x-9=0，得根的判别式Δ=112，得到x=-1±273，即得x1=-1+273，x2=-1-273．
【详解】解：方程化为3x2+2x-9=0，
a=3，b=2，c=-9．
Δ=b2-4ac=22-4×3×(-9)=112>0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴x=-b±b2-4ac2a=-2±1122×3=-1±273，
即x1=-1+273，x2=-1-273．
28．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：2x2-x+2=3x+1．
【答案】x1=2+22，x2=2-22
【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．
【详解】解：2x2-x+2=3x+1，
2x2-4x+1=0，
a=2，b=-4，c=1，
Δ=b2-4ac=-42-4×2×1=8>0．
方程有两个不等的实数根，
x=-b±b2-4ac2a=--4±82×2=4±224=2±22，
即x1=2+22，x2=2-22．
29．（23-24九年级·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1)x2-x-12=0；
(2)2x2+5x-3=0；
(3)2x2-7x+7=0．
【答案】(1)x1=4,x2=-3
(2)x1=12，x2=-3
(3)方程无解
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；
（1）由题意易得a=1,b=-1,c=-12，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得a=2,b=5,c=-3，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得a=2,b=-7,c=7，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：x2-x-12=0
∴a=1,b=-1,c=-12，
∴Δ=b2-4ac=1+4×1×12=49>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=1±492=1±72，
∴x1=4，x2=-3；
（2）解：2x2+5x-3=0
∴a=2,b=5,c=-3，
∴Δ=b2-4ac=25+4×2×3=49>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=-5±494=-5±74，
∴x1=12，x2=-3；
（3）解：2x2-7x+7=0
∴a=2,b=-7,c=7，
∴Δ=b2-4ac=49-4×2×7=-70)，则原等式可化为：
x(x+2)-15=0，
解得：x1=3,x2=-5，
∵x>0，
∴x=3，即a2+b2=3．
a2+b2的值为3．
【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．
42．（23-24九年级·全国·专题练习）解下列方程：
(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；
(2)2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0．
【答案】(1)x1＝7+512，x2＝7-512，x3＝7+892，x4＝7-892
(2)x1＝﹣2.5，x2＝1，x3＝﹣0.5，x4＝﹣1
【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解
【详解】（1）解：2x2-7x2-21x2﹣7x+10＝0
设x2-7x=a，
则2a2-21a+10=0
2a-1a-10=0
∴2a-1=0或a-10=0，
解得，a1=0.5，a2=10，
∴x2-7x=0.5或x2-7x=10，
∴2x2-14x-1=0或x2-7x-10=0，
解得，x1＝7+512，x2＝7-512，x3＝7+892，x4＝7-892；
（2）解：2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0
设2x2+3x＝a，
则a2-4a-5＝0
a-5a+1＝0，
∴a-5=0或a+1=0，
解得，a1=5，a2=﹣1，
∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，
∴2x2+3x-5=0或2x2+3x+1=0，
解得，x1=-2.5，x2=1，x3=-0.5，x4=-1
【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．
【解法6 适当方法解一元二次方程】
43．（23-24九年级·甘肃天水·阶段练习）运用适当的方法解方程
(1)x-32=25；
(2)x2-x-1=0；
(3)x2-6x+8=0；
(4)x2-x2-5x2-x+6=0
【答案】(1)x1=8，x2=-2
(2)x1=1+52，x2=1-52
(3)x1=4，x2=2
(4)x1=-1，x2=2，x3=1+132，x4=1-132
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）利用换元法解方程即可；
【详解】（1）解：x-32=25
x-3=5或x-3=-5，
解得：x1=8，x2=-2；
（2）解：x2-x-1=0
a=1，b=-1，c=-1，
b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x=-b±b2-4ac2a=-(-1)±52×1=1±52，
解得：x1=1+52，x2=1-52；
（3）x2-6x+8=0
x2-6x=-8
x2-6x+9=-8+9
(x-3)2=1
x-3=1或x-3=-1，
解得：x1=4，x2=2；
（4）x2-x2-5x2-x+6=0
解：设y=x2-x，则原方程为：y2-5y+6=0，
(y-2)(y-3)=0,
解得y1=2，y2=3，
当y=2时，x2-x=2，解得：x1=-1，x2=2；
当y=3时，x2-x=3，解得：x3=1+132，x4=1-132；
∴x1=-1，x2=2，x3=1+132，x4=1-132
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
44．（23-24九年级·北京东城·期末）选择适当方法解下列方程：
(1)x2-5x+1=0；
(2)x2x+1=2x+1．
【答案】(1)x1=5+212，x2=5-212
(2)x1=1，x2=-12
【分析】本题考查了公式法，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2-5x+1=0，
Δ=-52-4×1×1=21，
∴x=--5±212=5±212，
解得，x1=5+212，x2=5-212；
（2）解：x2x+1=2x+1，
x-12x+1=0，
∴x-1=0，2x+1=0，
解得，x1=1，x2=-12．
45．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）用适当方法解方程
(1)3x(x-1)=2(x-1)
(2)x2+10x+16=0
(3)x2-2x-14=0
(4)x2+25x+10=0
【答案】(1)x1=1，x2=23
(2)x1=-2，x2=-8
(3)x1=2+32，x2=2-32
(4)无解
【分析】（1）先移项，再运用因式分解法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可；
（3）用公式法求解；
（4）计算Δ=b2-4ac=252-4×1×10=-200，
∴x=-b±b2-4ac2a=6±846，
∴x1=3+213,x2=3-213．
51．（23-24九年级·天津宁河·阶段练习）用适当的方法解方程
(1) x-12=36 (2) x2+8x+7=0
(3) x2+5=25x (4) x-42=5-2x2
【答案】（1）x1=7,x2=-5 ；（2）x1=-7,x2=-1；（3）x1=x2=5 ；（4）x1=3,x2=1
【详解】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.
试题解析：（1）x-12=36
x-1=±6
x1=7,x2=-5 ；
（2）x2+8x+7=0
（x+7）（x+1）=0
x1=-7,x2=-1；
（3）x2+5=25x
移项得x2-25x+5=0
(x-5)2=0
x1=x2=5 ；
（4）x-42=5-2x2
移项得x-42-5-2x2=0
（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0
解得x1=3,x2=1
【解法7 指定方法解一元二次方程】
52．（23-24九年级·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．
(1)x2-36=0 (直接开平方法)
(2)x2-4x=2 (配方法)
(3)2x2-5x+1=0 (公式法)
(4)x+12+8x+1+16=0 (因式分解法)
【答案】(1)x1=6，x2=-6
(2)x1=2+6，x2=2-6
(3)x1=5+174,x2=5-174
(4)x1=x2=-5
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1）x2-36=0，
x2=36，
x=±6，
∴x1=6，x2=-6；
（2）x2-4x=2，
x2-4x+4=2+4，
x-22=6，
x-2=± 6，
∴x1=2+6，x2=2-6；
（3）2x2-5x+1=0，
a=2，b=-5，c=1，
b2-4ac=-52-4×2×1=17>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=--5±172×2=5±174，
即x1=5+174,x2=5-174；
（4）x+12+8x+1+16=0，
x+1+42=0，
x+52=0，
∴x1=x2=-5．
53．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：
(1)2x-12=9（用直接开平方法）
(2)2x2-9x+8=0（用配方法）
(3)x2-2x-4=0（用求根公式法）
(4)7x5x+2=65x+2（用因式分解法）
【答案】(1)x1=2,x2=-1
(2)x1=9+174,x2=9-174
(3)x1=1+5,x2=1-5
(4)x1=-25,x2=67
【分析】（1）开平方得到2x-1=±3，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成x-942=1716，再利用开平方法解方程即可；
（3）写出a=1，b=-2，c=-4，求出Δ=-22+16=20，代入x=-b±b2-4ac2a即可得到方程的解；
（4）移项后因式分解得到5x+27x-6=0，则5x+2=0或7x-6=0，即可得到方程的解．
【详解】（1）解：2x-12=9
开平方得，2x-1=±3，
∴2x-1=3或2x-1=-3，
解得x1=2,x2=-1；
（2）2x2-9x+8=0
解：原方程整理得2x2-9x=-8．
二次项系数化1，得：x2-92x=-4，
配方，得：x2-92x+942=-4+942，即x-942=1716，
两边开平方，得x-94=±174，
∴x1=9+174,x2=9-174．
（3）x2-2x-4=0
∵a=1，b=-2，c=-4，
∴Δ=-22+16=20，
∴x=-b±b2-4ac2a=2±202=1±5，
∴x1=1+5,x2=1-5；
（4）7x5x+2=65x+2
移项得，7x5x+2-65x+2=0，
因式分解得，5x+27x-6=0，
∴5x+2=0或7x-6=0，
解得x1=-25,x2=67
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
54．（23-24九年级·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程：
(1)3x2-4x+1=0（配方法）；
(2)2x2-22x+1=0（公式法）；
(3)3xx-2=2x-4．
【答案】(1)x1=1，x2=13；
(2)x1=x2=22
(3)x1=2，x2=23
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用分解因式法解方程即可．
【详解】（1）解：3x2-4x+1=0，
方程变形得：x2-43x=-13，
配方得：x2-43x+49=-13+49，即x-232=19，
开方得：x-23=±13，
解得：x1=1，x2=13；
（2）解：2x2-22x+1=0，
a=2，b=-22，c=1，
∵Δ=b24ac=-222-4×2×1=0，
∴x=-b±b2-4ac2a=224=22，
解得：x1=x2=22；
（3）解：3xx-2=2x-4
整理得：3xx-2-2x-2=0，
分解因式得：x-23x-2=0，
∴x-2=0或3x-2=0，
解得：x1=2，x2=23．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
55．（23-24九年级·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程：
(1)x2-x-34=0（配方法）；
(2)(x-3)2=2(x-3)（因式分解法）；
(3)x2-4x-1=0（公式法）．
【答案】(1)x1=32，x2=-12
(2)x1=3，x2=5
(3)x1=2+5，x2=2-5
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解即可．
【详解】（1）原方程可化为x2-x=34，
等式两边加14，得x2-x+14=1，
由完全平方公式得，(x-12)2=1，
∴x-12=1或x-12=-1，
所以原方程的解为x1=32，x2=-12．
（2）移项得，(x-3)2-2(x-3)=0，
提取公因式，得(x-3)(x-3-2)=0，
则x-3=0或x-3-2=0，
解得x1=3，x2=5．
（3）x2-4x-1=0，
∵Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20＞0，
由求根公式得x=4±202=2±5，
所以原方程的解为x1=2+5，x2=2-5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键．
56．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）按指定方法解方程：
(1)x2-4x-2=0(配方法)；
(2)2y2-3y-1=0(公式法)
(3)3x(x-1)=2-2x (适当方法)；
(4)2x2-x-1=0 (配方法)
【答案】(1)x1=2+6，x2=2-6；
(2)y1=3+174，y1=3-174；
(3)x1=1， x2=-23；
(4)x1=1,x2=-12
【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于6，可以解答；
（2）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出Δ的值，最后套用求根公式解得；
（3）根据因式分解法解一元二次方程；
（4）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：x2-4x-2=0，
移项得，x2-4x=2，
配方，得x2-4x+4=2+4，
即x-22=6，
所以x-2=±6，
解得x1=2+6，x2=2-6.
（2）2y2-3y-1=0，
a=2，b=-3，c=-1，
Δ=b2-4ac=-32-4×2×-1=17，
y=3±172×2，
所以y1=3+174，y2=3-174.
（3）解：∵3x(x-1)=2-2x，
∴3x(x-1)+2(x-1)=0，
则(x-1)(3x+2)=0，
∴x-1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=- 23．
（4）∵2x2-x-1=0，
∴x2-12x=12，
则x2-12x+116=12+116，即x-142=916
∴x-14=±34 ，
即 x1=1,x2=-12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．
57．（23-24九年级·山东泰安·期末）按照指定方法解下列方程：
（1）x(x-23)+3=0．（自选方法）
（2）3x2-6x-2=0．（配方法）
（3）x2-9=2x+6（因式分解法）
【答案】（1）x1=x2=3 ；（2）x1=1+153，x2=1-153；（3）x1=-3,x2=5．
【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；
（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；
（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．
【详解】（1）原方程整理得：x2-23x+3=0
即(x-3)2=0
∴x1=x2=3
（2）方程两边同除以3，得：x2-2x-23=0
配方，得：(x-1)2=53
根据平方根的定义，得：x-1=153或x-1=-153
解得：x1=1+153，x2=1-153
（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)
即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0
提取公因式得：(x+3)(x-5)=0
∴x+3=0或x-5=0
∴x1=-3,x2=5
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．
58．（23-24九年级·广西钦州·期末）用指定方法解下列方程：
（1）x2+4x-2=0（配方法）；
（2）(x-2)2=3(x-2)（因式分解法）；
（3）2x2-4x-1=0（公式法）．
【答案】（1）x1=-2+6, x2=-2-6；（2）x1=2, x2=5；（3）x1=1+62, x2=1-62．
【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解；
（2）先移项，再提取公因式x-2，即可求解；
（3）利用公式法x=-b±b2-4ac2a即可求解．
【详解】（1）等式两边加6，得x2+4x+4=6
由完全平方公式得，(x+2)2=6
∴x+2=6或x+2=-6
所以原方程的解为x1=-2+6, x2=-2-6；
（2）移项得，(x-2)2-3(x-2)=0
提取公因式，得(x-2)(x-5)=0
解得x1=2, x2=5
所以原方程的解为x1=2, x2=5；
（3）Δ=42+4×2×1=24>0
由求根公式得x=4±262×2
即x=1±62
所以原方程的解为x1=1+62, x2=1-62．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．
59．（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程：
（1）4x2+x-3=0（公式法）
（2）x2-6x-16=0（配方法）
（3）(x+1)(x+2)=2x+4（因式分解法）
【答案】（1）x1=34，x2=-1；（2）x1=8，x2=-2；（3）x1=-2，x2=1
【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：（1）4x2+x-3=0，
∴Δ=1-4×4×(-3)=49>0，
∴x=-1±78，
∴x1=34，x2=-1．
（2）方程变形得：x2-6x=16，
配方得：x2-6x+9=25，
即(x-3)2=25，
开方得：x-3=±5，
解得：x1=8，x2=-2；
（3）(x+1)(x+2)=2x+4
(x+1)(x+2)-2(x+2)=0
(x+2)(x-1)=0
解得：x1=-2，x2=1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．
60．（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程．
（1）x2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）x2﹣4x＝2（配方法）
（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）
（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）
【答案】（1）x1=6，x2=-6；（2）x1=2+6，x2=2-6；（3）x1=5+174,x2=5-174；（4）x1=x2=-5．
【分析】（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1）x2﹣36＝0，
x2=36，
x=±6，
∴x1=6，x2=-6；
（2）x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
（x-2）2=6，
x-2=±6，
∴x1=2+6，x2=2-6；
（3）2x2﹣5x+1＝0，
a=2，b=-5，c=1，
b2-4ac=（-5）2-4×2×1=17>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=--5±172×2=5±174，
x1=5+174,x2=5-174；
（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0，
[（x+1）+4]2=0，
（x+5）2=0，
∴x1=x2=-5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．