人教版（2024）九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀导学案

这是一份人教版（2024）九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀导学案，文件包含专题225实际问题与二次函数十大题型举一反三人教版原卷版docx、专题225实际问题与二次函数十大题型举一反三人教版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共88页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13313" 【题型1 销售问题】 PAGEREF _Tc13313 \h 1
\l "_Tc18470" 【题型2 行程问题】 PAGEREF _Tc18470 \h 2
\l "_Tc18823" 【题型3 拱桥问题】 PAGEREF _Tc18823 \h 5
\l "_Tc30819" 【题型4 喷水问题】 PAGEREF _Tc30819 \h 7
\l "_Tc19843" 【题型5 增长率问题】 PAGEREF _Tc19843 \h 9
\l "_Tc30971" 【题型6 投球问题】 PAGEREF _Tc30971 \h 11
\l "_Tc17983" 【题型7 隧道问题】 PAGEREF _Tc17983 \h 13
\l "_Tc16092" 【题型8 实物模型问题】 PAGEREF _Tc16092 \h 15
\l "_Tc1402" 【题型9 图形问题】 PAGEREF _Tc1402 \h 18
\l "_Tc27438" 【题型10 动点问题】 PAGEREF _Tc27438 \h 20
【题型1 销售问题】
【例1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）2022年秋，奥密克戎病毒肆虐，许多人被封控在家不能外出，网店速度发展起来，杰达网店销售的消毒液很畅销，已知消毒液成本为每瓶20元，调查发现，每天的销售量ykg是销售单价x（元）（其中20≤x≤30）的一次函数，部分数据整理如下表：
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价x为多少元时，每天的销售利润W最大？最大利润是多少元？
(3)疫情期间，杰达网店老板决定每买一瓶消毒液就捐赠m元(m>1)后，每天的最大利润为1120元，求m的值．
【变式1-1】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为10元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系：当x=12时，y=96；当x=20时，y=80．
(1)若该公司获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的函数解析式；
(2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【变式1-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？
【题型2 行程问题】
【例2】（23-24·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v=10t，高度h与时间t满足关系：h=12gt2（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
(1)当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
(2)小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：g=-12aT2+vT（a≠0，a是常数），当v=20（厘米/秒）时，s=50（厘米），T=5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间T=4秒时，小车在水平地面BE上滑行的距离为多少？
【变式2-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表．
经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．
(1)直接写出s关于x的函数解析式和y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？
(3)小明出发多久后与无人机相遇？
【变式2-2】（23-24·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s=kt2(k≠0)；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=k(t-70)2+h(k≠0)．

(1)求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围；
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s，当t=90s时，求该龙舟划行的总路程；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间．
【变式2-3】（23-24·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离=平均速度v×时间t，v=v0+vt2，其中v0是初始速度，vt是t秒时的速度．
(1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)求飞机滑行的最远距离；
(3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，求此时飞机的滑行速度；
(4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方300m有一辆通勤车正以54km/h的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？
【题型3 拱桥问题】
【例3】（23-24九年级·云南昆明·期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，水面CD的宽是10m

(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？
(3)现有一艘以每小时5km的速度向此桥径直驶来，当船距此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,当水位在CD处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？
【变式3-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）根据以下素材，探索完成任务：
【变式3-3】（23-24·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为320，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系?
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（-70，-21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上?
【题型4 喷水问题】
【例4】（23-24九年级·河北邢台·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为0.35m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE（如图3），其中高CD为0.5m．宽CB为0.8m．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高hm，使水柱落在花坛的上方DE边上，求h的取值范围．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为y=-2(x-h)2+k0≤x≤h，水柱的最大高度为8dm．
(1)当射水鱼在原点O处时，求水柱的解析式；
(2)如图2，昆虫在A2,6处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发．
①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以2dm/s的速度水平向右逃离，同时射水鱼以2.5dm / s的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？
【变式4-2】（23-24九年级·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为x轴，以喷枪所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为ym，水流的最高点与喷枪的水平距离为xm，且满足y=12x+2.5x≥0．

请解答下列问题：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
(2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为7m时，求水流的最高点到地面的距离；
(3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到1m，参考数据21≈4.58）．
【变式4-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：
(1)根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象：
(2)求y与x的函数表达式；
(3)公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，己知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
【题型5 增长率问题】
【例5】（23-24九年级·江苏无锡·期中）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50．
（1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？
（2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）．
（参考数据：51=7.14，52=7.21，53=7.28，54=7.35）
【变式5-1】（23-24九年级·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为200元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为128元，求每次降价的百分率．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【变式5-3】（23-24·重庆沙坪坝·一模）我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了52a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【题型6 投球问题】
【例6】（23-24·浙江嘉兴·一模）小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足二次函数关系C1：y=-0.4x-a2+3.2；若选择扣球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足一次函数关系C2：y=-0.4x+b，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m．
(1)求a，b的值．
(2)小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网．
(3)通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
【变式6-1】（23-24九年级·北京海淀·开学考试）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表：
(1)根据表中数据可得，当s= m时，h达到最大值 m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，s=27m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·阶段练习）校园篮球赛中，小磊跳起投篮，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为6米，篮圈中心距离地面3米．当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线．

(1)按如图所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
(2)通过计算说明，小磊本次投球能否命中篮圈中心．
(3)如果出手的角度和力度均不变，通过计算说明小磊应向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
【变式6-3】（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）嘉嘉和淇淇在玩排球．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，嘉嘉站在点O处练习发球（球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线），将球从点O正上方的点B处发出．球出手后的运动路径为抛物线，抛物线的最高点C到y轴的距离为6m，竖直高度比出手点B高出1m．已知OB=m m，排球场的边界点A到点O的水平距离OA=18m，球网高度EF=2.4m，且OE=12OA．
(1)当m=2时，排球能否越过球网？请说明理由；
(2)若嘉嘉调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1m，球场外有一个吉祥物玩偶MN高89m．排球向右反弹后沿L2的路径运动，若在下落的过程中，正好砸中玩偶的头部点M，求玩偶所处的位置点N与点A的距离．
【题型7 隧道问题】
【例7】（23-24九年级·山东青岛·专题练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【变式7-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为6m，宽BC为4m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【变式7-2】（23-24·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA=10米，AB=1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
【变式7-3】（23-24·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m0（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【题型8 实物模型问题】
【例8】（23-24·浙江绍兴·一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线DCE和抛物线FCG的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为30mm，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留π)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差450πmm2，求杯中液体最深度为多少？
【变式8-1】（23-24·陕西榆林·三模）如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度AB为2m，长廊顶部的最高点与地面的距离CD为3m，两侧的柱子OA、BE均垂直于地面，且高度为2.5m，线段OE表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离A，B两端水平距离为0.5m处的抛物线型长廊顶部各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少2.6m的安全距离，现市面上有一款长度为0.2m的小灯笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．
【变式8-2】（23-24九年级·全国·专题练习）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB=CD=27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO=40米，斜坡高度12米（即 B、D 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：

(1)若以1米为一个单位长度，则D点坐标为
(2)求出下垂电缆的抛物线表达式
(3)若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 GH⊥x轴分别交直线 BD 和抛物线于点 H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
【变式8-3】（23-24九年级·山西·专题练习）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．

数学建模
（1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．
①点E的坐标为______，AE的长为______；
②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：17≈4.12）
【题型9 图形问题】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米．
(1)设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为xm，矩形苗圃ABCD面积为ym2，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏镇江·期中）用长为8米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形AEFB，矩形EDHG，矩形GHCF的面积均相等，设AB的长为x米．
(1)则ADAE= ；
(2)若不计铝合金条的厚度，窗框ABCD透光面积为158平方米，求x的值；
(3)窗框ABCD透光面积的最大值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·四川达州·阶段练习）如图，在一边长为36cm的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
(1)要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）根据素材回答问题：
【题型10 动点问题】
【例10】（23-24九年级·吉林白城·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cms的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BA方向以1cms的速度向终点A运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为xsx>0，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为ycm2．
(1)当点D落在QF上时，x的值为______．
(2)当点D落在BC上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【变式10-1】（23-24九年级·广东江门·期中）一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在边AB，BC，AC上．设CE=x
(1)求x=2时，平行四边形AGEF的周长．
(2)当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？
【变式10-2】（23-24九年级·重庆忠县·期末）如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠A=60°，动点P、Q均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→B→C方向运动，点Q沿折线A→D→C方向运动，当两动点相遇时停止运动，设运动时间为x秒，以线段PQ为边长的正方形面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y≥4时x的取值范围．
【变式10-3】（23-24九年级·辽宁大连·阶段练习）△ABC与△A'B'C'是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点．△ABC位置固定，△A'B'C'按如图叠放，使斜边A'B'在直线MN上，顶点B'与点M重合．等腰直角△A'B'C'以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点A'与点N重合．设x秒时，△A'B'C'与△ABC重叠部分面积为y平方厘米．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当△A'B'C'与△ABC重叠部分面积为232平方厘米时，求△A'B'C'移动的时间.销售单价x/元
20
25
销售量y/kg
200
180
滑行时间x/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m
0
6
14
24
36
滑行时间ts
0
1
2
3
4
滑行速度ym/s
60
57
54
51
48
探究步骤
素材
任务
确定拱桥形状
如图1是某市一抛物线型拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽8m，拱顶离水面4m；
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
应用知识解答
由于受暴雨天气影响，水位正以0.2米/时的速度持续上涨，一货船载货后高于水面部分的截面为长方形，宽为6m，顶部离水面1.5m，从距离拱桥120千米的码头出发，以 40千米/时的速度行驶经过拱桥；
请通过计算说明该货船不能通过该抛物线型拱桥；
拟定设计方案
为了能让货船通过拱桥，船长决定先在码头调整货物摆放(保持高于水面部分的截面面积不变)，但在码头调整物资需42分钟．
直接写出一种调整后能通过拱桥的截面宽＿m与高＿m．
x（米）
0
1
2
3
4
y（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
s/m
0
9
12
15
18
21
…
h/m
0
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…
素
材
内容
素
材
1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素
材
2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段AB,OC，抛物线DCE(实线部分)，线段DF，线段EG绕y轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)．
图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段AB,OC，抛物线FCG(虚线部分)绕y轴旋转形成的立体图形．
素
材
3
已知，图2坐标系中，OC=50mm，记为C0,50,D-25,75,E25,75,F-25,150，G25,150．
素材1
如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4米，AB∥OQ，AD∥OP，且AB与OQ的距离为10米，AD与OP的距离为8米．

素材2
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1
任务2
小明同学按如图2的设计，若EF=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．

若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．

项目反思
如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．