2024-2025学年八年级上册专题13.2 三角形全等的判定（基础篇）【十大题型】同步讲义（举一反三）（华东师大版）

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专题13.2 三角形全等的判定（基础篇）【十大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16661" 【题型1 利用SSS证明三角形全等】  PAGEREF _Toc16661 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc3575" 【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】  PAGEREF _Toc3575 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc18828" 【题型3 利用SAS证明三角形全等】  PAGEREF _Toc18828 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc14863" 【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】  PAGEREF _Toc14863 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc8431" 【题型5 利用ASA证明三角形全等】  PAGEREF _Toc8431 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc7303" 【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】  PAGEREF _Toc7303 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc19653" 【题型7 利用AAS证明三角形全等】  PAGEREF _Toc19653 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc30702" 【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】  PAGEREF _Toc30702 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc5114" 【题型9 利用HL证明三角形全等】  PAGEREF _Toc5114 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc13230" 【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】  PAGEREF _Toc13230 \h 29知识点1：由边边边（SSS）证明两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．【题型1 利用SSS证明三角形全等】【例1】（23-24八年级·山西晋中·期末）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB=AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED=FD，那么△AED≌△AFD的依据是（    ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】本题考查全等三角形的应用，由点E，F分别是AB，AC的三等分点，AB=AC，得出AE=AF，根据三边对应相等，证明△AED≌△AFD．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的三等分点，∴AE=13AB，AF=13AC，∵AB=AC，∴AE=AF，在△AED与△AFD中，AE=AFED=FDAD=AD，∴△AED≌△AFDSSS．故选：D．【变式1-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，AD=BC，AC=BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明△ACD≌ 或△ABD≌ ．  【答案】 △BDC △BAC【分析】由AD=BC、AC=BD、DC=CD可证出△ACD≌△BDC(SSS)；由AD=BC、BD=AC、AB=BA可证出△ABD≌△BAC(SSS)．综上即可得出结论．【详解】解：在△ACD和△BDC中，AD=BCAC=BDDC=CD，∴△ACD≌△BDC(SSS)；在△ABD和△BAC中，AD=BCBD=ACAB=BA，∴△ABD≌△BAC(SSS)．故答案为：△BDC；△BAC．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求证：△ABD≌△FCE．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了三角形全等的判定，由BC=DE，则BC+CD=DE+CD，即BD=CE，再根据SSS即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键．【详解】证明：∵BC=DE，∴BC+CD=DE+CD，即BD=CE，在△ABD和△FCE中，AB=FCAD=FEBD=CE，∴△ABD≌△FCESSS．【变式1-3】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图，点D在△ABC内部，AB=AC，∠CBD=∠BCD．求证：△ABD≌△ACD．  【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由∠CBD=∠BCD，可知BD=CD，再利用SSS即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．【详解】证明：∵∠CBD=∠BCD，∴BD=CD，在△ABD与△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD，∴△ABD≌△ACDSSS．【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】【例2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：已知：AE=DE，EB=EC，AB=CD，∠ACB=30°．求：∠DBC的度数．解：因为AE=DE，EC=EB（已知）所以AE+EC=______＋______（等式的性质）即CA=BD在△ABC和△DCB中：&&AB=______已知______=BD已证BC=______    所以△______≌△______（    ）所以∠ACB=∠ ______（全等三角形的______相等）因为∠ACB=30°所以∠DBC= ______°．【答案】DE；EB；CD；CA；CB；ACB；DBC；DBC；对应角；30【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要考查了学生的逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；根据AE=DE，EB=EC，得出CA=BD，再利用SSS证明△ABC≌ △DCB，即可得出结论．【详解】解：因为AE=DE，EC=EB（已知）所以AE+EC=DE+EB（等式的性质）即CA=BD在△ABC和△DCB中：AB=DC已知CA=BD已证BC=CB公共边所以△ACB≌△DBCSSS所以∠ACB=∠DBC（全等三角形的对应角相等）因为∠ACB=30°所以∠DBC=30°．故答案为：DE；EB；CD；CA；CB；ACB；DBC；DBC；对应角；30．【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【详解】试题分析：（1）由SSS证明△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，由内错角相等即可得出结论；（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，得出∠CBE=∠FEB，由内错角相等即可得出结论．试题解析：（1）∵AE=DB，∴AE-BE=DB-BE，即AB=DE，在△ABC和△DEF中，AB＝DE&&AC＝DFBC＝EF ，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，∴AC∥DF；（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，∴∠CBE=∠FEB，∴CB∥EF.【变式2-2】（23-24八年级·广东肇庆·阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，试猜想：(1)∠BAD与∠CAD的大小关系；(2)AD与BC的位置关系．并证明你的结论．【答案】(1)∠BAD=∠CAD(2)AD⊥BC，证明见解析【分析】（1）本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质，灵活利用三角形全等判定，即可解题．（2）本题考查利用三角形全等的性质，再结合邻补角互补即可证明该题．【详解】（1）解：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD与△ACD中，AB=ACAD=ADBD=CD∴△ABD≌△ACDSSS，∴∠BAD=∠CAD．（2）AD⊥BC，理由如下：证明：∵△ABD≌△ACD（已证），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC．【变式2-3】（23-24八年级·吉林·期末）如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，AC=EF，BC=DF，AB=ED．  (1)求证：△ABC≌△EDF；(2)判断△HDB的形状，并说明理由．【答案】(1)详见解析(2)△HDB是等腰三角形【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识．（1）根据SSS即可证明△ABC≌△EDF；（2）由（1）可知∠HDB=∠HBD，即可得到HD=HB，即可得出结论．【详解】（1）证明：在△ABC与△EDF中，AC=EFBC=DFAB=ED，∴△ABC≌△EDF；（2）解：△HDB是等腰三角形．理由：∵△ABC≌△EDF，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，即△HDB是等腰三角形．知识点2：由边角边（SAS）证明两个三角形全等两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．【题型3 利用SAS证明三角形全等】【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，小明要测量水池的宽AB，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，则DE的长度就是AB的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到△ABC≌△DEC，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．  【答案】SAS（或边角边）【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知CD=CA，CE=CB，∠DCE=∠ACB，可用SAS证明两三角形全等．【详解】由题意知CD=CA，CE=CB，在△DCE和△ABC中，CD=CA∠DCE=∠ACBCE=CB，∴△DCE≌△ABCSAS．故答案为：SAS．【变式3-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要用SAS证△ADF≌△CBE，则需添加的条件为 ．【答案】∠D=∠B/∠B=∠D【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据AD=BC，DF=BE且SAS证△ADF≌△CBE，则添加条件为∠D=∠B，即可作答．【详解】解：∵运用SAS证△ADF≌△CBE，且AD=BC，DF=BE ∴添加条件为∠D=∠B即△ADF和△CBE中AD=BC∠D=∠BDF=BE∴△ADF≌△CBESAS故答案为：∠D=∠B【变式3-2】（23-24·云南昆明·八年级·期末）如图，AD=AE，AC=AB．求证：△ACD≌△ABE．  【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据SAS直接证明两三角形全等，即可得证．【详解】证明：在△ACD和△ABE中，∵AD=AE∠A=∠AAC=AB，∴△ACD≌△ABESAS【变式3-3】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE，求证：△ACD≌△BCE．【答案】见解析【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定．先根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而可得∠ACD=∠BCE，，再利用SAS即可得证．【详解】证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形，∴AB=BC，CD=CE，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】【例4】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作DE∥BC，且AD=AE，求证：CD=BE．【答案】见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠EAB=∠DAC，利用SAS证明△ABE≌△ACD，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证．【详解】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC=∠EAB，∠ACB=∠DAC，∴∠EAB=∠DAC，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，∴△ABE≌△ACDSAS，∴BE=CD，即CD=BE．【变式4-1】（23-24八年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=ED，BF=CD，∠FDE=∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？解：因为∠FDC=∠B+∠DFB ，即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB．又因为∠FDE=∠B（已知），所以∠ =∠ ．      已知              已知在△DFB和△EDC中，所以△DFB≌△EDC ．因此∠B=∠C．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．根据三角形外角的性质可得∠FDC=∠B+∠DFB，再根据∠FDE=∠B，证明∠DFB=∠EDC，然后证明△DFB≌△EDC(SAS)，得到∠B=∠C．【详解】解：因为∠FDC=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB．又因为∠FDE=∠B（已知），所以∠DFB=∠EDC．FB=ED已知∠DFB=∠EDCBF=CD已知，在△DFB和△EDC中，所以△DFB≌△EDC(SAS)．因此∠B=∠C．【变式4-2】（23-24八年级·内蒙古通辽·期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF．(1)求∠EAF的度数．(2)求证：EF=BC．【答案】(1)115°(2)见解析【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质；（1）根据AD⊥BC得出∠ADC=90°，进而根据三角形外角的性质可得出答案；（2）证明△EAF≌△CAB(SAS)，根据全等三角形的性质即可得出EF=CB．【详解】（1）解：∵AD⊥BC．∴∠ADC=90°．∵∠C=25°，∴∠EAF=∠ADC+∠C=115°；（2）证明：在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=115°．∴∠EAF=∠CAB．在△EAF和△CAB中，AE=AC∠EAF=∠CABAF=AB，∴△EAF≌△CAB(SAS)，∴EF=CB．【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：  (1)AE=CG；(2)AE⊥CG．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据三角形全等的判定方法，证明△ADE≌△CDG．（1）利用正方形的性质得AD=CD， GD=ED，再利用SAS得△ADE≌△CDG，即可证明AE=CG；（2）由（1）知∠CGD=∠AED，再结合条件证得∠GNM=90°，即AE⊥CG．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD=CD， GD=ED，∵∠CDG=90°+∠ADG， ∠ADE=90°+∠ADG，∴∠CDG=∠ADE，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDGDE=GD，∴△ADE≌△CDGSAS，∴AE=CG；（2）解：设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于点N，∵△ADE≌△CDG，∴∠CGD=∠AED，又∵∠GMN=∠DME，∴∠GNM=∠MDE=90°，∴AE⊥CG．  知识点3：由角边角（ASA）证明两个三角形全等两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．【题型5 利用ASA证明三角形全等】【例5】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，∠A=∠B,P为AB的中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N．试说明：△APM≌△BPN．【答案】见解析【分析】本题主要考查了利用ASA证明三角形全等，由P为AB的中点，可得PA=PB，再由对顶角相等可得出∠MPA=∠NPB，结合已知条件∠A=∠B可得出△APM≌△BPN．【详解】解∵P为AB的中点，∴PA=PB．又∵∠A=∠B, ∠MPA=∠NPB，∴△APM≌△BPNASA【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（    ）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键．①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等来说理．【详解】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等，故本选项符合题意；B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．故选：A．【变式5-2】（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE=BF，∠A=∠B，∠CEB=∠DFA，试说明：△AFD≌△BEC．  【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明AF=BE，再利用ASA证明△AFD≌△BEC即可证明结论．【详解】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，在△AFD和△BEC中，∠DFA=∠CEBAF=BE∠A=∠B，∴△AFD≌△BEC(ASA) ．【变式5-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．  【答案】见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，由线段之间的关系得到BC=EF，即可证明△ABC≌△DEFASA．【详解】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEFASA．【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】【例6】（23-24八年级·云南昭通·阶段练习）如图，AB∥CD，DF=EF，AB=12，CD=9，则AE等于 ．【答案】3；【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据AB∥CD得到∠D=∠FEB，结合角边角判定即可得到答案；【详解】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠FEB，在△DFC与△EFB中，∵∠D=∠FEBDF=EF∠DFC=∠EFB，∴△DFC≌△EFB(ASA)，∴CD=BE，∵AB=12，CD=9，∴AE=AB-BE=12-9=3，故答案为：3．【变式6-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行20m到达树C，继续前行20m到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时DE的长度即为河岸AB的宽度．小开这样判断的依据是（    ）  A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA，ASA，SSS，SAS，HL．根据∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC=20m，再根据对顶角相等，利用ASA证明△ABC≌△EDC即可．【详解】解：由题意，得∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC=20m，在△ABC与△EDC中，∠ABC=∠EDCBC=DC∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDCASA，∴AB=DE，∴小开这样判断的依据是ASA．故选：D．【变式6-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在△ABC和△ADE中，点C在边DE上，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．(1)求证：△ABC≌△ADE．(2)若∠ACB=65°，求∠BCD的度数．【答案】(1)见详解(2)50°【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用“ASA”证明△ABC≌△ADE是解题关键．（1）首先证明∠BAC=∠DAE，然后利用“ASA”证明△ABC≌△ADE即可；（2）首先根据全等三角形的性质可得∠E=∠ACB=65°，AC=AE，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠ACE=∠E=65°，然后由∠BCD=180°-∠ACE-∠ACB求解即可．【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE(ASA)；（2）∵△ABC≌△ADE，∠ACB=65°，∴∠E=∠ACB=65°，AC=AE，∴∠ACE=∠E=65°，∴∠BCD=180°-∠ACE-∠ACB=180°-65°-65°=50°．【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠ABC,∠BCD的平分线恰好交于AD上一点E，已知AB=2，CD=5，则BC= ．              【答案】7【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．延长BE交CD的延长线于点H，根据等腰三角形的性质得到BE=HE，利用ASA定理证明ΔABE≌ΔDHE，根据全等三角形的性质得到DH=AB=2，进而求出BC．【详解】解：延长BE交CD的延长线于点H，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CHB，∴∠CHB=∠CBE，∴BC=HC，∵CE平分∠BCD，∴BE=HE，在ΔABE和ΔDHE中，∠ABE=∠DHEBE=HE∠AEB=∠DEH，∴ΔABE≌ΔDHE(ASA)，∴DH=AB=2，∴BC=CH=CD+DH=7，故答案为：7．知识点4：由角角边（AAS）证明两个三角形全等两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．【题型7 利用AAS证明三角形全等】【例7】（23-24·陕西西安·八年级·期末）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD=AC，∠AED=∠B．求证：△ABC≌△DEA【答案】见详解【分析】先根据平行线的性质得到∠C=∠DAE，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DEA．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．【详解】解：∵BC∥AD，∴∠C=∠DAE，在△ABC和△DEA中，∠B=∠AED∠C=∠DAEAC=AD，∴△ABC≌△DEA(AAS)．【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线AC和A'C'是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△A'B'C'的依据是 ．【答案】AAS【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．根据平行线的性质可得∠ACB=∠A'C'B'，根据题意可得AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'=90°，然后利用AAS判定△ABC≌△A'B'C'．【详解】解：∵ AC∥A'C'，∴ ∠ACB=∠A'C'B'，∵两根高度相同的木杆竖直插在地面上，∴AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'=90°，在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'∠ABC=∠A'B'C'AB=A'B'，∴△ABC≌△A'B'C'AAS．故答案为：AAS．【变式7-2】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图， 点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F， ∠1=∠2=∠3，AB=AD．求证： △ABC≌△ADE．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，可得∠E=∠C，即可通过AAS证明△ABC≌△ADE．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF，即∠BAC=∠DAE，∵∠AFE=∠CFD，∠2=∠3∴∠C=180°-∠3-∠DFC，∠E=180°-∠2-∠AFE，即∠C=∠E，在△ABC与△ADE中， ∠BAC=∠DAE∠C=∠EAB=AD∴△ABC≌△ADEAAS．【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥期末）如图，在四边形ABCD中，点E在边BC上，∠BAC=∠BCD=∠DAE=90°，AD=AE．求证：△ABE≌△ACD．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用等角的余角相等求得∠BAE=∠CAD和∠B=∠ACD，再利用AAS即可证明△ABE≌△ACD．【详解】证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE=90°-∠CAE=∠CAD，∵∠BAC=∠BCD=90°，∴∠B=90°-∠BCA=∠ACD，∵AD=AE，∴△ABE≌△ACDAAS．【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】【例8】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE交于点F，若BF=AC,CD=4,BD=10，则线段AF的长为 ．【答案】6【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△BDF≌△ADC，得DF=CD=4，AD=BD=10，即可得出答案．【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADB=∠AEB=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠DBF，在△BDF和△ADC中，∠BDF=∠ADC∠DBF=∠DACBF=AC，∴△BDF≌△ADCAAS，∴DF=CD=4,AD=BD=10，∴AF=AD-DF=10-4=6．故答案为：6．【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE=AC，过点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．(1)求证：△ACB≌△DEF；(2)若∠FCE=50°，∠CEF=70°，求∠FCA的度数．【答案】(1)见解析(2)∠FCA=30°【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．（1）根据“AAS”证明△ACB≌△DEF即可；（2）根据三角形内角和定理得出∠EFD=180°-70°-50°=60°，根据∠ABC=∠EFD=60°，求出∠FCA=90°-60°=30°即可．【详解】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CBA=∠EFD，∵AD⊥CB，∠BAC=90°，∴∠EDF=∠BAC=90°，∵DE=AC，∴△ACB≌△DEFAAS．（2）解：∵∠FCE=50°，∠CEF=70°，∴∠EFD=180°-70°-50°=60°，∴∠ABC=∠EFD=60°，∴∠FCA=90°-60°=30°．【变式8-2】（23-24八年级·上海普陀·期末）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠1=∠2．试说明AD⊥BC的理由．  解：因为AB⊥BD（已知），所以∠ABD=90°（垂直的意义）．同理 ．所以∠ABD=∠ACD（等量代换）．在△ABD和△ACD中，∠ABD=∠ACD，∠1=∠2已知，______，所以△ABD≌△ACD（ ）．得 （全等三角形的对应边相等）．又因为∠1=∠2（已知），所以AD⊥BC（ ）．【答案】见详解【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线的意义，根据垂线得意义可得出∠ABD=∠ACD=90°，再利用AAS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质可得出AB=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明．【详解】解：因为AB⊥BD（已知），所以∠ABD=90°（垂直的意义）．同理∠ACD=90°．所以∠ABD=∠ACD（等量代换）．在△ABD和△ACD中，∠ABD=∠ACD，∠1=∠2已知，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（AAS）．得AB=AC（全等三角形的对应边相等）．又因为∠1=∠2（已知），所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）【变式8-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，其中AB⊥BE于点B，FE⊥BE于点E，点P在BE上，已知AP=PF，AB=PE．  (1)求证：△ABP≌△PEF；(2)求BE的长．【答案】(1)见解析(2)BE的长为15m【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出∠BAP=∠EPF，再由全等三角形的判定即可证明；（2）由题意得：AB=1.5×3=4.5(m)，EF=1.5×7=10.5(m)，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：AB⊥BE,EF⊥BE，∴∠ABP=∠PEF=90°．∴∠BAP+∠BPA=90°．∵∠APF=90°，∴∠EPF+∠BPA=90°．∴∠BAP=∠EPF在△ABP和△PEF中∠ABP=∠PEF∠BAP=∠EPFAP=PF，∴△ABP≌△PEF(AAS)；（2）解：由题意得：AB=1.5×3=4.5(m)，EF=1.5×7=10.5(m)，由（1）得△ABP≌△PEF，∴PE=AB=4.5(m)，BP=EF=10.5(m)．∴BE=BP+PE=10.5+4.5=15(m)．答：BE的长为15m．知识点5：由斜边、直角边（HL）证明两个三角形全等斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．【题型9 利用HL证明三角形全等】【例9】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B=∠DEF=90°，AB=DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（    ）A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．BA∥EF D．AC=DF【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据HL进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，添加的条件为AC=DF，∵AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL，故选：D．【变式9-1】（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，且AD=BE，连接DE、CE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，等角对等边，先由平行线的性质求出∠B=90°，再由等角对等边得到DE=EC，据此利用HL即可证明Rt△ADE≌Rt△BEC．【详解】证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=90°，∴∠B=90°，∵∠1=∠2，∴DE=EC，在Rt△ADE和Rt△BEC中，AD=BEDE=EC，∴Rt△ADE≌Rt△BECHL．【变式9-2】（23-24八年级·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即PM=PN，画射线OP，则OP平分∠AOB．作图过程用了△OMP≌△ONP，那么△OMP≌△ONP所用的判定定理是（　　）A．SSS B．AAS C．HL D．ASA【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出△OMP≌△ONP得出答案．【详解】解：∵OM⊥MP，ON⊥NP，∴∠OMP=∠ONP=90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ONOP=OP，∴△OMP≌△ONPHL．故选：C．【变式9-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且CD=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'．【答案】见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到CB=2CD，C'B'=2C'D'，由CD=C'D'，得到CB=C'B'，利用HL即可证明△ABC≌△A'B'C'．【详解】证明：∵AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，∴CB=2CD，C'B'=2C'D'，∵CD=C'D'，∴CB=C'B'，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB=A'B'BC=B'C'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'HL．【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】【例10】（23-24八年级·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到C位置时，过点C作CE⊥OA于点E，测得OC=20cm,BD=OE=9cm（图中的点A,B,O,C在同一平面内）．  (1)猜想此时OB与OC的位置关系，并说明理由；(2)求AE的长．【答案】(1)OB⊥OC；见解析(2)11cm【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．（1）证明△OBD≌△COE，得出∠B=∠COE，根据∠B+∠BOD=90°，求出∠BOC=90°，即可证明结论；（2）根据OC=20cm，得出OA=OB=OC=20cm，根据BD=OE=9cm，求出结果即可．【详解】（1）解：OB⊥OC，理由如下：∵BD⊥OA于D，CE⊥OA于E，∴∠BDO=∠OEC=90°，又∵根据题意得：OB=OC，BD=OE，∴△OBD≌△COE，∴∠B=∠COE，又∵∠B+∠BOD=90°，∴∠COE+∠BOD=90°，即∠BOC=90°，∴OB⊥OC；（2）解：∵OC=20cm，∴OA=OB=OC=20cm，又∵BD=OE=9cm，∴AE=OA-OE=20-9=11cm，答：AE的长为11cm．【变式10-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在∠O的两边上，分别取OA=OB，将两个直角三角板的直角顶点放在点A，B处作OA，OB的垂线，交点为P，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点Q，画射线 就得到∠AOB的平分线．【答案】OP【分析】本题考查作图之应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，证明Rt△OAP≌Rt△OBP，推出∠AOP=∠BOP，即可求得．【详解】解：如图，作射线OP，在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=OBOP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，∴∠AOP=∠BOP，∴射线OP平分∠AOB．故答案为：OP．【变式10-2】（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=DB．求证：AB=DC．【答案】见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB即可得到结论．【详解】证明：∵∠A=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=CBAC=DB，∴Rt△ABC≌Rt△DCBHL．∴AB=DC．【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF=AC,FD=CD，求∠DBA的度数．【答案】45°【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC得BD=AD，推出△ABD是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=ACDF=DC ，∴Rt△BDF≌Rt△ADCHL，∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴∠DBA=∠BAD=45°．