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华东师大版（2024）九年级上册第23章 图形的相似23.5 位似图形精品学案及答案
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这是一份华东师大版（2024）九年级上册第23章 图形的相似23.5 位似图形精品学案及答案，文件包含专题236位似图形十大题型举一反三华东师大版原卷版docx、专题236位似图形十大题型举一反三华东师大版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共51页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9216" 【题型1 辨别位似图形】 PAGEREF _Tc9216 \h 2
\l "_Tc28031" 【题型2 确定位似中心】 PAGEREF _Tc28031 \h 3
\l "_Tc12171" 【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc12171 \h 4
\l "_Tc25089" 【题型4 求位似图形的相似比】 PAGEREF _Tc25089 \h 5
\l "_Tc9279" 【题型5 画位似图形】 PAGEREF _Tc9279 \h 6
\l "_Tc18002" 【题型6 求位似图形的线段长度】 PAGEREF _Tc18002 \h 8
\l "_Tc1192" 【题型7 求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc1192 \h 9
\l "_Tc32552" 【题型8 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc32552 \h 10
\l "_Tc17808" 【题型9 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc17808 \h 11
\l "_Tc3408" 【题型10 与位似图形相关的规律】 PAGEREF _Tc3408 \h 13
知识点：图形的位似变换
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。
注意：
a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
b．两个位似图形的位似中心只有一个；
c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
【题型1 辨别位似图形】
【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．嘉嘉对，淇淇不对D．嘉嘉不对，淇淇对
【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知：△ABC∽△A'B'C'，下列图形中，△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是（ ）
A．B．C．D．
【题型2 确定位似中心】
【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'位似，则位似中心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置
【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．
【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（ ）
A．B．C．D．
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】
【例3】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1
【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．③④C．②③⑤D．②③④
【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32
C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)
【题型4 求位似图形的相似比】
【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，正方形A'B'C'D'与正方形ABCD是以AC的中点O'为中心的位似图形，已知AC=32，若点A'的坐标为(1,2)，则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是（ ）
A．16B．13C．12D．23
【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是 （用图中字母表示），△ABC与该三角形的位似比为 ．
【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1,2)，B'2,23，C'23,-13，则△A'B'C'与△ABC的位似比是 ．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分别是OP，OQ，OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形．此时，△P'Q'R'与△PQR的位似比为 ．
【题型5 画位似图形】
【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别为A(-2,2)，B(-4,0)，C(-4,-4)，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比是1:2．
(1)请画出△A'B'C'；
(2)请直接写出△A'B'C'各顶点的坐标；
(3)若△ABC内部一点M的坐标为（a,b），则点M的对应点M'的坐标是___________．
【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的△A1B1C1．
(2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得AMBM=32．
(3)在图3中，利用格点在AC边上作－个点D，使得△ABD∽ACB．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和点A1在格点上，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上）．
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为______．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A,B,C都是格点，点P在BC上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将线段AB沿BC的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段CD，再将PC绕AC的中点顺时针旋转180°，得到GA，画出线段GA；
(2)在图2中，将△APC以点C为位似中心缩小为原来的12得到△EFC，画出△EFC；
(3)在图3中，在AC上画一点M，在AB上画一点N，使得PM+MN最小．
【题型6 求位似图形的线段长度】
【例6】（2024·浙江温州·三模）如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，则AO:AA'的值为（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．3:2
【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，DE是△ABC的中位线，D'E'是△A'B'C'的中位线，连结AA'、BB'、CC'．已知BC=4，2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'．则D'E'的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为 ．
【题型7 求位似图形的周长】
【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【变式7-1】（2024·重庆·三模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OCOF=2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．18
【变式7-3】（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，已知OAA'A=25，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A'B'C'D'的周长为 ．
【题型8 求位似图形的面积】
【例8】（23-24九年级·浙江·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若OEEA=23，四边形ABCD的面积是25，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．4B．10C．1009D．503
【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2:3，连接BP，DP，若平行四边形ABCD的面积为20，则△PBE与△PDF的面积之和为
【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A'B'C'D'，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【题型9 求位似图形的坐标】
【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）如图， Rt△ABC与Rt△EFG是关于y轴上一点的位似图形，若B-4,4，F2,1则位似中心的坐标为（ ）
A．0,1B．0,2C．0,3D．0,32
【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点 E 4, 2, F 2, 2 ，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把EFO 缩小为EF O ，则点 E 的对应点 E 的坐标为 .
【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为2，3，点E的横坐标为-1，则点P的坐标为 ．
【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0,0，B2,0，已知△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B'的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A'的坐标为（ ）
A．12,32B．23,2或-23,-2
C．4,43D．2,23或-2,-23
【题型10 与位似图形相关的规律】
【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的12，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（128，0），则n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为P-3,0，A1-2,1，A2-1,0，A3-2,-1，则顶点A2024的坐标为（ ）
【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）如图，正方形A1B1C1D1可看成是分别以A、B、C、D为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形（正方形ABCD的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我们称之作了一次变换，再将正方形A1B1C1D1作一次变换就得到正方形A2B2C2D2，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形A2005B2005C2005D2005，若正方形ABCD的面积是1，那么正方形A2005B2005C2005D2005的面积是多少（ ）
A．32005B．32004C．34010D．34009
【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1=1，则正方形A2022B2022C2022A2023的面积为 ．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9216" 【题型1 辨别位似图形】 PAGEREF _Tc9216 \h 2
\l "_Tc28031" 【题型2 确定位似中心】 PAGEREF _Tc28031 \h 3
\l "_Tc12171" 【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc12171 \h 4
\l "_Tc25089" 【题型4 求位似图形的相似比】 PAGEREF _Tc25089 \h 5
\l "_Tc9279" 【题型5 画位似图形】 PAGEREF _Tc9279 \h 6
\l "_Tc18002" 【题型6 求位似图形的线段长度】 PAGEREF _Tc18002 \h 8
\l "_Tc1192" 【题型7 求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc1192 \h 9
\l "_Tc32552" 【题型8 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc32552 \h 10
\l "_Tc17808" 【题型9 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc17808 \h 11
\l "_Tc3408" 【题型10 与位似图形相关的规律】 PAGEREF _Tc3408 \h 13
知识点：图形的位似变换
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。
注意：
a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
b．两个位似图形的位似中心只有一个；
c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
【题型1 辨别位似图形】
【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．嘉嘉对，淇淇不对D．嘉嘉不对，淇淇对
【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知：△ABC∽△A'B'C'，下列图形中，△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是（ ）
A．B．C．D．
【题型2 确定位似中心】
【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'位似，则位似中心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置
【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．
【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（ ）
A．B．C．D．
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】
【例3】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1
【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．③④C．②③⑤D．②③④
【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32
C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)
【题型4 求位似图形的相似比】
【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，正方形A'B'C'D'与正方形ABCD是以AC的中点O'为中心的位似图形，已知AC=32，若点A'的坐标为(1,2)，则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是（ ）
A．16B．13C．12D．23
【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是 （用图中字母表示），△ABC与该三角形的位似比为 ．
【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1,2)，B'2,23，C'23,-13，则△A'B'C'与△ABC的位似比是 ．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分别是OP，OQ，OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形．此时，△P'Q'R'与△PQR的位似比为 ．
【题型5 画位似图形】
【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别为A(-2,2)，B(-4,0)，C(-4,-4)，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比是1:2．
(1)请画出△A'B'C'；
(2)请直接写出△A'B'C'各顶点的坐标；
(3)若△ABC内部一点M的坐标为（a,b），则点M的对应点M'的坐标是___________．
【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的△A1B1C1．
(2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得AMBM=32．
(3)在图3中，利用格点在AC边上作－个点D，使得△ABD∽ACB．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和点A1在格点上，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上）．
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为______．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A,B,C都是格点，点P在BC上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将线段AB沿BC的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段CD，再将PC绕AC的中点顺时针旋转180°，得到GA，画出线段GA；
(2)在图2中，将△APC以点C为位似中心缩小为原来的12得到△EFC，画出△EFC；
(3)在图3中，在AC上画一点M，在AB上画一点N，使得PM+MN最小．
【题型6 求位似图形的线段长度】
【例6】（2024·浙江温州·三模）如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，则AO:AA'的值为（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．3:2
【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，DE是△ABC的中位线，D'E'是△A'B'C'的中位线，连结AA'、BB'、CC'．已知BC=4，2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'．则D'E'的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为 ．
【题型7 求位似图形的周长】
【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【变式7-1】（2024·重庆·三模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OCOF=2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．18
【变式7-3】（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，已知OAA'A=25，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A'B'C'D'的周长为 ．
【题型8 求位似图形的面积】
【例8】（23-24九年级·浙江·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若OEEA=23，四边形ABCD的面积是25，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．4B．10C．1009D．503
【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2:3，连接BP，DP，若平行四边形ABCD的面积为20，则△PBE与△PDF的面积之和为
【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A'B'C'D'，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【题型9 求位似图形的坐标】
【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）如图， Rt△ABC与Rt△EFG是关于y轴上一点的位似图形，若B-4,4，F2,1则位似中心的坐标为（ ）
A．0,1B．0,2C．0,3D．0,32
【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点 E 4, 2, F 2, 2 ，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把EFO 缩小为EF O ，则点 E 的对应点 E 的坐标为 .
【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为2，3，点E的横坐标为-1，则点P的坐标为 ．
【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0,0，B2,0，已知△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B'的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A'的坐标为（ ）
A．12,32B．23,2或-23,-2
C．4,43D．2,23或-2,-23
【题型10 与位似图形相关的规律】
【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的12，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（128，0），则n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为P-3,0，A1-2,1，A2-1,0，A3-2,-1，则顶点A2024的坐标为（ ）
【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）如图，正方形A1B1C1D1可看成是分别以A、B、C、D为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形（正方形ABCD的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我们称之作了一次变换，再将正方形A1B1C1D1作一次变换就得到正方形A2B2C2D2，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形A2005B2005C2005D2005，若正方形ABCD的面积是1，那么正方形A2005B2005C2005D2005的面积是多少（ ）
A．32005B．32004C．34010D．34009
【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1=1，则正方形A2022B2022C2022A2023的面积为 ．
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