数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程教学课件ppt

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学习目标活动方案 检测反馈
学 习 目 标 XUE XI MU BIAC 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，会用定义推 导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征.2.能根据所给条件求圆的标准方程.3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.
【解析】圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 关键词：定点就是圆心，定长就是半径.几何要素：圆心，半径.
问题1:什么叫圆?概念中的关键词是什么?确定一个圆有几个几何要素?
活 动 一 圆 的 标 准 方 程 的 推 导
【解析】以定点C 为原点建立直角坐标系，设P(x,y)是圆上的任意 一点.依题意，CP=r, 将点P的坐标(x,y)代入，得√(x-0)²+(y-0)²= r,化简，得x²+y²=r².故所求圆的方程为x²+y²=r.
问题2:类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点C 为圆
心 ，r为半径的圆的方程.
【解析】一般地，设点 P(x,y) 是以C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆 上的任意一点，则CP=r.由两点间的距离公式，得(x-a)²+(y-b)²=r,即(x—a)²+(y—b)²=r.
问题3:当圆心C 为(a,b), 半径为r时，圆的方程又如何呢?
【解析】圆心为A(2,-3), 半径为5的圆的标准方程是(x—2)²+(y+3)²=25.将点M₁(5, 一7)的坐标代入方程(x—2)²+(y+3)²=25 的左边，得(5一2)²+(一7+3)²=25,左右两边相等，点M₁ 的坐标满足圆的方程，所以点M₁ 在这个圆上.将点M₂(一2,一1)的坐标代入方程(x—2)²+(y+3)²=25 的左边，得(一2-2)²+(一1+3)²=20,左右两边不相等，点M₂的坐标不满足圆的方 程，所以点M₂ 不在这个圆上.1 内容索引
例1 求圆心为A(2,—3), 半径为5的圆的标准方程，并判断点M₁(5, 一 7 ) ,M₂(-2, 一1)是否在这个圆上.
活 动 二 求 圆 的 标 准 方 程
思考2>D▶点M(x₀,y₀)与圆(x—a)²+(y—b)²=r²的位置关系有哪些?如何判断?【解析】点M(x₀,y₀)与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系的判断方①(x₀—a)²+(y₀-b)²>r²,点M 在圆外；②(x₀—a)²+(y₀—b)²=r²,点M 在圆上；③(x₀—a)²+(y₀—b)²DD确定一个圆的标准方程需要哪些独立的条件?
【解析】确定一个圆需要半径与圆心两个独立条件.
反思与感悟知道圆的圆心和半径，代入圆的标准方程即可.点与圆之间的位置关系，只要求出点与圆心之间的距离，然后与半径去比较，就能判断它 们之间的位置关系.
【解析】方法一：设点C 为圆心.因为点C 在直线x—2y-3=0 上，所以可设点C 的坐标为(2a+3,a).又因为该圆经过A,B 两点，所以CA=CB, 所以 √ (2a+3-2)²+(a+3)² =√(2a+3+2)²+(a+5)², 解得a=-2,所以圆心坐标为C(-1, 一2),半径 r=√ 10.故所求圆的标准方程为(x+1)²+(y+2)²=10.
坐跟踪训练求圆心在直线x—2y—3=0 上，且过点A(2,—3),B (一2,一5)的圆
方法二：设所求圆的标准方程为(x—a)²+(y—b)²= r²,圆心坐标为(a,由条件知 解得故所求圆的标准方程为(x+1)²+(y+2)²=10.
例2 已知△ABC 的三个顶点分别是A(5,1),B(7,—3),C(2, 一8),求△ABC 的外接圆的标准方程.【解析】设所求圆的方程是(x—a)²+(y—b)²=r².因为A(5,1),B(7,—3),C(2,—8) 三点都在圆上，
活动三 运用圆的几何性质求圆的标准方程
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去 a²,b²,r²,得到关于a,b 的二元一次方程组
代入(5—a)²+(1—b)²=r², 得r²=25,所以△ABC 的外接圆的标准方程是(x—2)²+(y+3)²=25.
反思与感悟圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半 径，从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组可以得到圆的标准方程中 三个参数，从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法， 一 般步骤是：①设 设所求圆的方程为(x—a)²+(y—b)²=r²;②列 由已知条件，建立关于a,b,r 的方程组；③解 解方程组，求出a,b,r;④代 将a,b,r 代入所设方程，得所求圆的方程.
必跟踪训练已知圆过点A(1, 一2),B(—1,4), 求：(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x—y-4=0 上的圆的方程.【解析】(1)当AB为直径时，过点A,B 的圆的半径最小，从而周
长最小，即AB的中点(0,1)为圆心，半径则圆的方程为x²+(y—1)²=10.
(2)方法一：因为AB的斜率为k=—3, 所 以AB的垂直平分线的方程是 即x—3y+3=0.由 即圆心坐标是C(3,2),则r=AC= √ (3-1)²+(2+2)²=25,所以圆的方程是(x—3)²+(y—2)²=20.
方法二(待定系数法):设圆的方程为(x—a)²+(y—b)²=r²,则所以圆的方程为(x—3)²+(y—2)²=20.
【解析】根据圆的标准方程，得(x—1)²+y²=3 的圆心坐标为(1,0), 半径为 √3.
是( )A.(—1,0),3 B.(1,0),3C.(—1,0),√3 D.(1,0),√3
1.(2022.阳江四校期中联考)圆(x—1)²+y²=3 的圆心坐标和半径分别
2.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4 B.5C.6 D.7
化简，得(x-3)² yckM3,4)
3. (多选)对于定点 P(1,1)和圆 C:x²+y²=4, 下列说法中正确的是( )A. 点 P 在圆内部B. 过点P 有两条圆的切线C. 过点P 被圆截得的弦长最大时的直线方程为x—y=0D. 过点P 被圆截得的弦长最小值为2√2
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【解析】由1²+1²