选择性必修 第一册2.2 直线的方程教学课件ppt

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知识梳理1.直线的点斜式方程(1)方程y-y₀=k(x-x₀)由直线上一个定点 及该 直线的 斜 率 k 确定，把它叫做直线的点斜式方程， 简称点斜式。(2)当直线1的倾斜角为0°时(图①),tan 0°=0,即k=0, 这时直线1与x轴平行或重合，直线1的方程是 y-y₀ =0,
(3)当直线1的倾斜角为90°时(图②),由于tan 90° 无意义，直线没有斜率，这时直线1与y轴平行或重合，它的方程是X-X₀ =0,即x= X₀
[问题1] 与y-y=k(x-x₀)有什么不同?答案： 与y-y=k(x-x₀)是不同的，前者方程中x-x≠0, 所以表示的直线上缺少一个点P₀ (x,y),后者才表示整条直线. [问题2]过 点P₀(x₀,y₀) 的直线是否只有一条?答案：经过点P₀(x₀,y₀) 的直线有无数条，可分为两类：① 斜率存在的直线，方程为y-y₀=k(x-x₀);② 斜率不存在的直线，方程为x=x₀ .
2.斜截式方程(1)截距：把直线1与y轴的交点(0,b) 的 纵坐标b 叫做直线1在y轴上的截距.拓展：把直线1与x轴的交点(a,O) 的横坐标a 叫做直线1 在x轴上的截距.(2)斜截式方程：把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程， 简称斜截式.其中，k 和b均有明显的几何意义：k是直线的 斜率 ,b是直线在y轴上的 截距
预 习 自 测1.经过点(4,1),斜率为3的点斜式方程为( A )A.y-1=3(x-4) B.y-1=3(x+4)C.y+1=3(x+4) D.y-1=-3(x-4)
解析：根据直线的点斜式方程：过点(x₁,y₁), 且斜率为k的直线方程是y-y₁=k(x-x₁), 所以经过点(4,1),斜率为 3的点斜式方程为y-1=3(x-4).
2.直线y=√3(x- √3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( B )A.√3,√3 B.√3,-3C. √3,3 D.-√3,-3
解析：y=√3(x-√3)=√ 3x-3,所以直线的斜率k= √3,在y 轴上的 截距b=-3.
解析：当 x= √3时， √3× √3-y-1=0,所以y=2,所以直线不经过点 ( √3,-2),所以A选项错误；由题知y=√3x-1, 所以直线的斜率 为 √3,所以B 选项正确；由于直线的斜率为√3,所以直线的倾 斜角为60°,所以C 选项正确；当x=0 时，y=-1, 所以直线在y 轴上的截距不为1,所以D 选项错误.
3. (多选题)关于直线1:y=√3x-1, 下列说法正确的是(BC)A.过点( √3,-2) B.斜率为 √ 3C.倾斜角为60° D.在 y 轴上的截距为1
解析：由a=2-a,得a=1.
4.已知两条直线y=ax-2 和y=(2-a)x+1 互相平行，则a= 1
解析：直线I:x-y+2=0 的倾斜角为45°,所以直线I₁的倾斜角为45°+15°=60°,斜率为tan 60°=√3,所以直线I₁ 的 方程为y-3= √3(x-1),即 √3x-y+3- √3=0.
5.将直线1:x-y+2=0绕着点A(1,3) 按逆时针方向旋转15°,得到直线1₁,则1₁ 的倾斜角为 60° ,11的方程是 √3x-y+3-√3=0
解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y-5=4(x- 2),即4x-y-3=0.
解：(2 )因为直线的倾斜角为45°,所以此直线的斜率k=tan 45°=1,所以直线的点斜式方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0.
探 究 点 一，直线的点斜式方程[例1]根据下列条件，求直线的方程.(1)经过点A(2,5), 斜率是4;
(2)经过点B(2,3), 倾斜角是45°;
[例1] 根据下列条件，求直线的方程.(3)经过点C(-1,-1), 与x轴平行；解：( 3)因为直线与x轴平行，所以直线的倾斜角为0°,斜率k=0,所以直线方程为y=-1.(4)经过点D(1,1),与x轴垂直.
解：(4)因为直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是 1,故这条直线的方程为x=1.
方 法 总 结求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以已知 直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均 可求出直线的方程.特别注意：当斜率不存在时，可直接 写出过点(x₀,y₀)的直线方程x=x₀ .
(1)解析：因为直线 | 的倾斜角为60°,所以直线 | 的斜率k=√3,又直线过点A(√3,1),由直线的点斜式方程可得直线I 的方程为y-1=√3(x-√3), 即 √3x-y-2=0.故选B.
[针对训练](1)已知过点A(√3,1)的直线1的倾斜角为60°,则直线1的方程为( )A.√3x+y-4=0 B.√3x-y-2=0C.√3x+y+4=0 D.√3x-y+2=0
(2)求出经过点P(3,4), 且满足下列条件的直线方程，并画出图象.①斜率k=2;(2)解：①因为直线经过点P(3,4), 斜率k=2, 所以直线方程为y-4=2(x-3). 如图①.AY y-4=2(x-3)
(2)求出经过点P(3,4), 且满足下列条件的直线方程，并画 出图象.②与x轴平行；
即斜率k=0,所以直线方程为y=4. 如图② .
解 ：②因为直线经过点P(3,4),且 与x轴平行，
(2)求出经过点P(3,4), 且满足下列条件的直线方程，并画 出图象.③与x轴垂直.
解 ：③因为直线经过点P(3,4), 且与x轴垂直，所以直线方程为x=3. 如图③ .
探 究 点 二，直线的斜截式方程[例2] 写出下列直线的斜截式方程.(1)直线斜率是3,在y轴上的截距是-3;
解 ：(1)直线的斜截式方程为y=3x-3.
解：( 3)因为直线在x 轴上的截距为4,在y 轴上的截距为-2,所以直线过点(4,0)和(0,-2).
[例2] 写出下列直线的斜截式方程.(3)直线在x轴上的截距为4,在y 轴上的截距为-2.
所以直线的斜截式方程为
斜截式方程的特点及应用(1)若能求得直线的斜率，且直线在y轴上的截距已知，可 选用直线的斜截式方程直接求解.(2)根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时，k>0→ 直线呈上升趋势，k<0⇔直线呈下降趋势，k=0⇔直线呈水 平状态，b>0⇔直 线 与y轴的交点在 x轴上方，b<0⇔直线与 y轴的交点在x轴下方，b=0⇔直线过坐标原点.
[针对训练] 直线1与直线l₁:y=2x+6 在y轴上有相同的截距，且1的斜率与1₁ 的斜率互为相反数，则直线1的斜截式方程为 y=-2x+6 解析：由直线I₁ 的方程可知它的斜率为2,它在y轴上的截 距为6,所以直线|的斜率为-2,在y轴上的截距为6.由直线斜截式方程可得直线|的方程为y=-2x+6.
由题意得ki ·kAB=-1,所以k₁=1.又点B在|上，由点斜式得直线方程为y-4=x+1, 即 y=x+5. 所以直线丨的方程为y=x+5.
探 究 点 三，两条直线的位置关系问题[例3] 若点A(1,2)在直线1上的射影为B(-1,4),求直线1 的方程.
解：因 为 9
方 法 总 结设直线l₁:y=k₁x+b₁ 与直线l₂:y=k₂x+b₂, 若l₁//l₂, 则若1₁ 与 l₂ 重合，则 若l₁⊥l₂, 则k₁k₂=-1.
[针对训练] ( 1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1 互相垂直，则a= -1
解析：(1)由题意可知a·(a+2) =-1,解得a=-1.
与直线l₂:y=3x-1 互相平行，则
解析：(2 )由题意可知
课 堂 达 标1. 过点M(-3,1), 斜率为2的直线方程是( A )A.y=2x+7 B.y=2x-7C.y=-2x+7 D.y=-2x-7
解析：由直线的点斜式方程得y-1=2(x+3),即y=2x+7.
2.直线1的方程y=kx+b的图象如图所示，则k,b 满足( B )A.k>0,b>0 yAB.k<0,b<00 XC.k<0,b>0D.k>0,b<0解析：由图象可知直线的倾斜角为钝角，且直线在y轴上的截距为负值，故k<0,b<0.
3. (多选题)(2022 · 江苏苏州高二期中)直线1经过点A(1,2), 在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的 可能的值是( ACD )A.一 π B.-1 D.e解析：设直线|的方程为y=k(x-1)+2,k≠0,令y=0, 得解 得k<-1 或 观察可得A,C,D符合.
4.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，则称点(x,y) 是整点.已知直线l:y=kx+b,下列命题正确的是 (填序号)①存在这样的直线1,既不与坐标轴平行又不经过任何 整点；②若k和b都是无理数，则直线1不经过任何整点；③存在只经过一个整点的直线1;④存在只经过两个不同整点的直线1.
解析：对于①,令 则该直线既不与坐标轴平行又不经过任 何整点，故①正确；对于②,取 k=√2,b=-√2, 直 线 y=kx+b 为 y= √2x- √2,经过整点(1,0),故②错误；对于③,比如直线方程为 y=√2x, 直线经过整点(0,0),当x 取不为0的整数时，y 都是无理 数，故该直线只经过整点(0,0),故③正确；对于④,设直线|过不 同的整点(x₁,y₁)和(x₂,y₂),把两点代入直线 I 方程得 y₁=kx₁+b , y₂=kx₂+b,两式相减得 y₁-y₂=k(x₁-x₂),则(x₁-X₂,y₁-y₂)为整点且在 直线y=kx+b 上，依次可得直线|经过无穷多个整点，故④错误. 所以正确的命题是①③.
[例1]经过点(-1,1),斜率是直线的直线方程是( )
A.x=-1 B.y=1C.y-1=√2(x+1)D.y-1=2√2(x+1)
的斜率为 所以所求直线的方程为
y-1=√2(x+1). 故 选C.