高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教学课件ppt

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知识梳理两条直线的交点坐标设这两条直线的交点为P, 则点P 既在 直线1₁ 上，也 在 直线1₂ 上.所以点P 的坐标既满足直线l₁ 的方程 A₁x+B₁y+C₁=0,也满足直线1₂ 的方程A₂x+B₂y+C₂=0,即点P的坐标是方程： 的解.解这个方程组就可 以得到这两条直线的 交点坐标
[问题] 如何判定方程 解的个数?答案：①×B₂-②×B₁,得(A₁B₂-A₂B₁)x+B₂C₁-B₁C₂=0. 若A₁B₂-A₂B₁=0,B₂C₁-B₁C₂=0, 则方程组有无穷多解.若A₁B₂-A₂B₁=0,B₂C₁-B₁C₂≠0,则方程组无解.若A₁B₂-A₂B₁≠0, 方程组有唯一一组解.
预习自测1.直 线x-2y+3=0 与2x-y+3=0 的交点坐标为( A )A.(-1,1) B.(1,-1)C.(1,1) D.(-1,-1)
解析：由 得
解析：由两直线互相垂直， ,解得m=10.又垂足坐 标为(1,p), 代入直线10x+4y-2=0,得 p=-2.将(1,-2)代入直 线2x-5y+n=0,得n=-12,所以m-n+p=20.
2.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p),则m-n+p等于( D )A.24 B.-20 C.0 D.20
3. (多选题)已知直线1₁ :3x-y-1=0,1₂:x+2y-5=0,1₃:x-ay -3=0不能围成三角形，则实数a的取值可能为( BCD )A.1 C.-2 D.-1
解析：因为直线I₁ 的斜率为3,直线I₂ 的斜率为 所以直线I₁ ,I₂ 一定相交，
解方程得交点坐标为(1,2).
当 a=0 时，直线I₃与 x 轴垂直，方程为x=3 不经过点(1,2),所以三条直线能构成三角形； 当 a≠0 时，直线I₃的斜率为 当直线I₁ 与直线I₃ 的斜率相等，即 时，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线I₂ 与直线 I₃的 斜率相等，即 时，此时这两条直线平行，因此这三 条直线不能构成三角形；当直线I₃ 过直线I₁,I₂ 交点(1,2)时，三条直线不能构成三角形，即有1-2a-3=0=a=-1.
探 究 点 一，两条直线相交的判定和求交点问题[例1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交 点的坐标.(1)1₁:5x+4y-2=0,1₂:2x+y+2=0;
解 ：(1)解方程组 得所以直线I₁ 与 I₂ 相交，且交点坐标为
解：(2)联立直线I₁ 与I₂ 的方程得方程组 ②×6,整理得2x-6y+3=0,即方程②可以化为方程①,所以I₁ 与 I₂重合.
[例1]判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.( 2)l₁:2x-6y+3=0,1₂: ■
解：(3)联立直线I₁ 与 I₂的方程得方程组由①×2-②,得1=0,则方程组无解.所以I₁ 与 I₂ 无公共点，即l₁//l₂ .
[例1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.(3)l₁:x+y+2=0,1₂:2x+2y+3=0.
方 法 总 结用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直 线的方程，然后联立求解.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐 标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 平行；若方程组有无数解，则两条直线重合.
[针对训练] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.(1)l₁:x-y+1=0,1₂:2x-2y+1=0;
解：(1)将I₁ 与 I₂ 的方程分别化为斜截式可知l₁:y=x+1,因此I₁ 与 I₂ 的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行.
[针对训练] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.(2)l₁:x-2y+1=0,1₂:x+2y+5=0.
解方程组 得点P(0,2).因为直线I₃ 的斜率为 所以直线|的斜率为 所以直线I 的方程为 即4x+3y-6=0.
[例2]求经过两条直线1₁:x-2y+4=0 和1₂:x+y-2=0 的交点P,且与直线l₃ :3x-4y+5=0 垂直的直线1的方程.
因为直线|过直线I₁ 与 I₂的交点P(0,2),所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6,所以直线|的方程为4x+3y-6=0.
法二(待定系数法)设直线|的方程为4x+3y+m=0.
方 法 总 结涉及两直线交点的问题，通常是先求交点坐标，再进一步 解决问题.[易错警示] 垂直线系方程的设法容易搞错系数.
[ 针 对 训 练 ] 将本 例 中 的“垂 直” 改 为“ 平 行”, 其 他 条件不变，求直线1的方程.解 ：法一(直接法)由本例可知P(0,2), 直线|的斜率为故直线丨的方程为 即 3x-4y+8=0.法二(待定系数法)设直线丨的方程为3x-4y+n=0(n≠5).由3×0-4×2+n=0,得n=8,所以直线|的方程为3x-4y+8=0.
证明：法一 当 m=1 时，直线方程为y=-4;当 =1 时，直线方程为x=9.两直线的交点为P(9,-4),将点P 的坐标代入原方程，左边=(m-1)×9+(2m-1)×(-4)=m-5= 右边. 故不论m取何实数，点P(9,-4) 总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上，即直线恒过定点P(9,-4).
探究点三， 直线过定点问题[例3]求证：不论m为何实数，直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.
法 二 原方程可化为(x+2y-1)m+ (-x-y+5)=0.若对任意m 都成立，则解得所以不论m为何实数，直线都过定点(9,-4).
方 法 总 结解含有参数的直线恒过定点的问题的两种方法(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后 验证这两条直线的交点就是题目中含参数的直线所过的定点，从而问题得解.(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A₁x+B₁y+C₁+λ(A₂x+B₂y+C₂)=0A, 就,说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组
A₂x+B₂y+C₂=0直线必过定点(x,y₀).
解得.若整理成y-y=k(x-x₀)的形式，则表示的所有
[针对训练]若a+b+c=0,且a,b 不同时为0,求证：直线ax+by+c=0必过 一个定点 .证明：法一(观察法)因为a+b+c=0,所以当x=y=1 时，ax+by+c=0 恒成立， 故直线ax+by+c=0 必过定点(1,1).法二 由 a+b+c=0,可得c=-(a+b),故直线ax+by+c=0 可化为ax+by-a-b=0,即 a(x-1)+b(y-1)=0,则 ax+by+c=0
点为(1,1).故直线ax+by+c=0 必过定点(1,1).
过直线x-1=0 与y-1=0 的交点，解方程组
探究点四 对称问题[例4] 光线通过点A(2,3)在直线1:x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程 .
解 ：设点A(2,3) 关于直线|的对称点为A'(x₀ ,y),
由于反射光线经过点A′(-4,-3)和 B(1,1),
解得A'(-4,-3).
所以入射光线所在直线的方程为即5x-4y+2=0.
所以反射光线所在直线的方程为
,即4x-5y+1=0.
方 法 总 结点关于直线的对称点的求法：点P(x,y) 关于直线 Ax+By+C=0的
可得P₀坐标，其中x≠x,A≠0,B≠0.
对称点P₀(x₀,y), 满足关系
[针对训练] 光线自点M(2,3)射 到N(1,0) 后 被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )A.y=3x-3 B.y=-3x+3C.y=-3x-3 D.y=3x+3解析：如图所示，点M关 于x 轴的对称点为M′(2,-3).
所以反射光线所在的直线方程为化为y=-3x+3.故选B.
课堂达标1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是( B )A.(-9,-10) B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10)
解析：解方程组 得 即交点坐标是(-9,10).
2.两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( C )A. B. 口D.(2,+○)
由交点在第二象限，得 解得
解析：解出两直线的交点为
3 . 三 条 直 线mx+2y+7=0,y=14-4x 和 2x-3y=14 相 交 于 一 点 ，-3则 m的 值 为 _解析：解方程组 得 所以这两条直线的交点坐标为(4,-2).由题意知点(4,-2)在直线mx+2y+7=0上，将点(4,-2)代入，
得4m+2×(-2)+7=0, 解得
3y+1=0,I₂:2x+2y-4=0,由 得以两条直线的交点坐标为
4. 已知直线l₁:mx+3y+1=0 与直线1₂ :2x+(m+5)y-4=0 垂直，则m= -3 , 这两条直线的交点坐标为 解析：因 为I₁ ⊥I₂,所以2m+3(m+5)=0,解得 m=-3,则 I₁ :-3x+