湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练11试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练11试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设为正项等比数列的前n项积，若的公比，则（ ）
A．B．32C．D．512
3．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小D．解释变量与预报变量相关性变弱
4．已知点是△ABC的重心，点是线段的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ）
A．2B．C．D．4
6．已知，且，则（ ）
A．-1B．C．D．
7．如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列．已知数列的前项和，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的图象关于原点对称
B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D．曲线C上有且仅有3个点P满足
11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点对称B．
C．D．
三、填空题
12．已知直线与曲线相切，则 ．
13．宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为 m.（，，结果取整数）
14．已知数列，令为，，…，中的最大值，则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”.例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为 .
1．A
【分析】先求出复数，再进行判断即可.
【详解】由题意：，
所以复数对应的点的坐标为：，在第一象限.
故选：A
2．D
【分析】运用等比数列下标性质计算即可.
【详解】正项等比数列an，，则，则，
.
故选：D.
3．B
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4．C
【分析】根据向量的线性运算化简，求得，进而求得正确答案.
【详解】，
所以.
故选：C
5．C
【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得的值，从而求得右焦点到直线的距离即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以，解得，所以双曲线的右焦点坐标为，
所以的右焦点到直线的距离为.
故选：C.
6．D
【分析】根据题意可得，，再利用正切两角和公式求得，再结合，从而结合正切两角差公式即可求解.
【详解】由题意得，则，
又因为，所以，同号，
又因为，
则，同正，
所以，则，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
7．A
【分析】根据题意，先求平面与交点的位置，再设长方体的长、宽、高分别为，最后利用三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】取的中点，连接， 易知，所以平面与交点为.

设长方体的长、宽、高分别为，则.
平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为
.
故选：A.
8．D
【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点12,1中心对称；通过求导判断导函数为正得在R上单调递增；再利用对称性将进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得.
【详解】因为，
所以，
所以，即的图像关于点12,1中心对称．
（当且仅当时等号成立）．
因为，所以，所以在R上单调递增．
由，得．
由可得，即，
所以，解得．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据函数式判断出函数图象的中心对称特点，利用导数判断函数的单调性；此外，还得会利用对称性将不等式进行简化.
9．BC
【分析】根据分组求和，利用等差数列、等比数列求和公式用、、、表示出，再结合，由系数对应相等分别求出、、、，选出答案.
【详解】当时，，不合题意；
当时，，
，，，，，，
所以，
故选：BC．
10．AC
【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断；令，，得的范围可判断；由曲线的方程可得，根据可判断；由题意得，设，结合题意计算可判断.
【详解】对于选项A：
化简得到：，
将代入可得，
所以曲线.
把代入得，
所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确；
对于选项B：令解得，即：曲线经过，
结合图象，得.
今，得，
令，得，
因此，结合图象曲线只能经过3个整点.
故B错误；
对于选项C：可得，
所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，
即：都不超过3，故C正确；
对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则，
设，则，
，
故只有原点满足，故D错误.
故选：.
【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法：
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系.
（1）求谁设谁，设所求点的坐标为；
（2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等；
（3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入；
（4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值；
（5）代入方程，消去参数值.
11．ABD
【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假.
【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得gx+1的图象，
又gx+1为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点1,0对称，故A正确；
对于B：由gx+1为奇函数，则，
又为的导函数，所以，即，则，
又为奇函数，所以，即，
由上得fx−2=−fx，故，故f−x=−fx，
即，即是奇函数，故B正确；
对于C：由于，
故，即f4+x=fx，故4是的一个周期，
又，即gx=g4−x，所以为周期为4的周期函数，
因为，令可得，即，
所以，故C错误；
对于D：因为是上的奇函数，故，结合得，
，
故，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：（1）若函数为奇函数，则f−x=−fx，两边求导，可得，所以f′x为偶函数.即奇函数的导函数为偶函数；
（2）若函数为偶函数，则f−x=fx，两边求导，可得，所以f′x为奇函数.即偶函数的导函数为奇函数.
12．
【分析】利用导数的几何意义以及切线过点求切线的斜率.
【详解】设直线（）与函数相切，切点为：，
因为，所以切线斜率为：.
所以切线方程为：.
由切线过点，得：
所以，解得：或.
所以（舍去）或.
故答案为：
13．44
【分析】根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果.
【详解】因为，，，
所以，
所以，所以，
因为，
所以，
，
在中，由正弦定理得，
，
所以
所以，
故答案为：44.
14．50
【分析】根据新定义，利用分类加法计数原理和排列求出满足条件的数列的个数．
【详解】当由1，5构成时，则，为的一个排列，
故满足条件的数列有个；
当由2，5构成时，则，为的一个排列，
或，为的一个排列，
故满足条件的数列有个；
当由3，5构成时，则，为的一个排列，
且数字4排在5的后面，
故满足条件的数列有个；
当由4，5构成时，则，为的一个排列，
故满足条件的数列有个.
由分类加法计数原理可得满足条件的数列共有50个.
故答案为：50.