四川省成都市石室中学2024-2025学年高一上学期第6周周考数学试题（Word版附答案）

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（时间：90分钟 满分：120分）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】化简集合，再求子集的个数.
【详解】，则集合A的子集个数为.
故选：B
2．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式不等式化为整式不等式求解即可.
【详解】原不等式可化为，即，解得．
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D.
【详解】对于A，当时，则，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，，则，所以，故C错误；
对于D，若，，则，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
4．给出下列四个结论：
①“”是“”的充分不必要条件；
②若命题，则；
③若，则是的充分不必要条件；
④若命题q：对于任意为真命题，则
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解.
【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误；
对于②，，②错误；
对于③，若，则且，反之，，， 成立，
因此是的充分不必要条件，③正确；
对于④，，而，则，④正确，
所以正确结论的个数为2.
故选：B
5．已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解.
【详解】因为，，所以在上恒成立，
只需在上的最大值小于，
因为在上单调递减，故在上的最大值为1，
所以.
A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误；
B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确；
C：是的充要条件，故C错误；
D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误.
故选：B.
6．已知实数x，y满足：且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，得出，结合不等式的性质，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，设，整理得，
可得，解得，即，
又由且，则，
所以，即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中得出，再结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
7．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意问题等价于恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围．
【详解】关于x的不等式的解集为，
即恒成立．
当时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件．
当时，应满足且，解得．
综上知，实数a的取值范围是．
故选：C．
8．设正实数x，y满足，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是8
C．的最小值为D．的最小值为2
【答案】C
【分析】A基本不等式求积最大值；B应用基本不等式“1”的代换求最小值；C、D应用基本不等式求和最值；
【详解】A：，则，当且仅当，时等号成立，错误；
B：，当且仅当时等号成立，错误；
C：，当且仅当，时等号成立，正确；
D：，则，当且仅当，时等号成立，若有最小值不可能为2，错误.
故选：C
9．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
10．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案.
【详解】
A选项：，则，故A正确；
B选项：，则，故B错；
C选项：，故C正确；
D选项：，故D错.
故选：AC.
11．若为正实，且，则的值可能为（ ）
A．B．1C． D．
【答案】CD
【解析】由，整理得，结合基本不等式，得到不等式，进而求得的值，得到答案.
【详解】由，可得，整理得，
从而有，
又由，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的值可能为，.
故选：CD
【点睛】应用基本不等式处理问题时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．当时，的最小值为
【答案】BC
【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D.
【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中），
所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，
又关于一元二次不等式的解集为，
即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，
又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，
又开口向下，对称轴为，
由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）：
所以，
则，所以，，所以，故A错误，B正确；
又，，所以，故C正确；
因为、为关于的方程的两根，
所以，，
又，所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
显然，所以，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．已知集合，或，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用可求解.
【详解】由题可知, ,因为,
所以，解得，
故答案为: .
14．命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】命题“，满足不等式”是假命题，
所以，不等式恒成立，
设，，
则有，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
15．已知集合，，若，则 ．或
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】研究直线的关系可知直线与平行，或直线过点即可求得答案．
【详解】集合 ，，
根据题意可得与直线平行，得；
或直线过点，得，
综上所述，或．
故选：D.
16．已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】
由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.
【详解】由题意知；
当时，，
故需同时满足以下两点：
①对时，
∴恒成立，
由于当时，为增函数，
∴；
②对时，，
∴恒成立，
由于，当且仅当，即时取得等号，
∴，
∴，
故答案为：
四、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题：，，命题：，．
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程无实根可得，解不等式即可得到的取值范围；
（2）根据恒成立的思想可求得命题为真命题时的取值范围；分别在真假和假真的情况下求得的取值范围，取并集即可得到结果.
【详解】（1）若命题为假命题，则方程无实根，，
解得：，即实数的取值范围为..………………4分
（2）若命题为真命题，则，又时，，，即；
由（1）知：若命题为真命题，则；
若真假，则；若假真，则；
即若命题和命题有且仅有一个真命题，则..………………10分
18．已知函数，若的解集为．
(1)求；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）把不等式变形，利用韦达定理，求得的值．
（2）把不等式变形为一元二次不等式，分类讨论的值，求得它的解集．
【详解】（1）因为函数，
所以不等式，即为，
由于不等式的解集为可得，
，且 ，求得．.………………4分
（2）关于的不等式，即 ，
即．
当时，不等式即，它的解集为；
当时，不等式 的解集为；
当c＞2时，不等式的解集为．.………………10分
19．设，集合，．
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
【详解】（1）由得，得或，，.………………1分
由，∴，则，整理得，得或，….2分
当时，，满足，.………………3分
当时，，满足，.………………4分
综上，为或．.…………………………….………5分
（2）由（1）知：，由，得，.…………………………….………6分
当时，关于的方程没有实数根，
∴，即，解得，.…………………………….………7分
当时，若集合中只有一个元素，则，即，解得，
此时，符合题意；.…………………………….………8分
若集合中有两个元素，则，则，无解，.…………………………….………9分
综上，实数的取值范围为．.…………………………….………10分
20．已知为一个数集，集合．
(1)设，证明：若，则
(2)设，，，且，，若，求的最小值．
(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）设，则只需能写成形如的形式即可得证；
（2）求出，设,整理后利用均值不等式及判别式法求最值得解.
【详解】（1）证明：，，
，
．
．.………………5分
（2），
设，，
，
设，整理得，
判别式法，，得，
即．
的最小值为．.………………10分