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初中数学华东师大版（2024）九年级下册26.1 二次函数综合训练题
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这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级下册26.1 二次函数综合训练题，共12页。试卷主要包含了二次函数y＝x2+1的对称轴是等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数y＝x2+2x+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）
2．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
3．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小
4．抛物线y＝x2+14x+54的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
5．二次函数y＝x2+2x+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，4）D．（﹣1，4）
6．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1） D．当x＜2时，y随x的增大而减小
7．关于二次函数y＝x2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为（0，2）
C．抛物线的对称轴为y轴 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
8．二次函数y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．y轴B．x轴C．直线x＝1D．直线y＝1
9．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点在第几象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
10．对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与y轴的交点为（0，2）
11．二次函数y＝2x2+8x﹣6的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，18）B．（﹣2，﹣14）C．（4，58）D．（﹣4，﹣6）
12．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下B．顶点坐标是（﹣1，4）C．对称轴是直线x＝﹣1D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
13．抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝3C．x＝﹣3D．x＝﹣4
14．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若y＞5，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．x＜﹣1或x＞3C．﹣2＜x＜4D．﹣1＜x＜3
15．已知二次函数y＝x2﹣5x﹣4，当y＞2时，则x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜6B．﹣6＜x＜1C．x＜﹣1或x＞6D．x＜﹣6或x＞1
16．抛物线y＝x2﹣4x﹣4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣8）
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点是（2，﹣8）D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
17．已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣6，则下列结论错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下 B．该抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）
C．该抛物线的对称轴为直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而增大
18．以下对二次函数y＝x2+4x﹣5的图象和性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上 B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x＝2 D．与y轴的交点是（0，﹣5）
19．关于二次函数y＝2x2+4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．图象不经过第四象限
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．图象的对称轴在y轴的右侧
20．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大D．顶点坐标为（﹣1，﹣2）
二．填空题（共15小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣2x+6，当x 时，y随x的增大而减小．
22．二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为 ．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ．
24．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c的值为 ．
25．抛物线y＝2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b＝ ．
26．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴负半轴上，那么m的值为 ．
27．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ．
28．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线 ．
29．二次函数y＝x2+2x+3图象的开口方向为 ，顶点坐标为 ．
30．函数y＝2﹣3x2的图象，开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
31．抛物线y＝﹣4x2+8x﹣3的开口方向向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
32．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为 ，对称轴方程为 ．
33．若二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2的图象经过原点，则b＝ ．
34．抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，图象不经过第 象限．
35．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当y≥5时，自变量x的取值范围是 ．
三．解答题（共1小题）
36．已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
初三数学 第六课时 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．二次函数y＝x2+2x+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
二次函数顶点坐标为（﹣1，0），
故选：A．
2．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
【解答】解：
∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为（2，﹣3），
故选：D．
3．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．抛物线y＝x2+14x+54的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+14x+54＝（x+7）2+5，
∴顶点为（﹣7，5）．
故选：C．
5．二次函数y＝x2+2x+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，4）D．（﹣1，4）
【解答】解：∵y＝x2+2x+3
＝（x2+2x+1）+2
＝（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）．
故选：B．
6．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而减小
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，正确，不合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x＝2，正确，不合题意；
C、顶点坐标为（2，﹣1），错误，符合题意；
D、当x＜2时，y随x的增大而减小，正确，不合题意．
故选：C．
7．关于二次函数y＝x2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点坐标为（0，2）
C．抛物线的对称轴为y轴
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，﹣2），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴A、C、D说法正确，不合题意，B说法错误，符合题意．
故选：B．
8．二次函数y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．y轴B．x轴C．直线x＝1D．直线y＝1
【解答】解：由题意得：抛物线y＝x2+1的对称轴是：直线，
即对称轴是y轴，
故选：A．
9．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点在第几象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为：（1，﹣4），
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点在第四象限．
故选：D．
10．对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与y轴的交点为（0，2）
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B错误，不符合题意；
顶点坐标为（1，2），故选项C正确，符合题意；
与y轴的交点为（0，3），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
11．二次函数y＝2x2+8x﹣6的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，18）B．（﹣2，﹣14）C．（4，58）D．（﹣4，﹣6）
【解答】解：y＝2x2+8x﹣6＝2（x+2）2﹣14，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣14），
故选：B．
12．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标是（﹣1，4）
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
【解答】解：A．∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，正确，不符合题意；
B．顶点是（﹣1，4），正确，不符合题意；
C．对称轴是直线x＝﹣1，正确，不符合题意；
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而减少，原说法错误，符合题意．
故选：D．
13．抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝3C．x＝﹣3D．x＝﹣4
【解答】解：由题意，抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴为：直线，
故选：B．
14．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若y＞5，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．x＜﹣1或x＞3C．﹣2＜x＜4D．﹣1＜x＜3
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴当y＞5时，自变量x的取值范围是x＞4或x＜﹣2，
故选：A．
15．已知二次函数y＝x2﹣5x﹣4，当y＞2时，则x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜6B．﹣6＜x＜1C．x＜﹣1或x＞6D．x＜﹣6或x＞1
【解答】解：令y＝2，则x2﹣5x﹣4＝2，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
∵抛物线开口向上，
∴当y＞2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞6．
故答案为：C．
16．抛物线y＝x2﹣4x﹣4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣8）
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点是（2，﹣8）
D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴a＝1＞0，开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣8），
故选：B．
17．已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣6，则下列结论错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下
B．该抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）
C．该抛物线的对称轴为直线x＝2
D．当x＞2时，y随x的增大而增大
【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣2）2﹣2中a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而减小．
故选：D．
18．以下对二次函数y＝x2+4x﹣5的图象和性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x＝2
D．与y轴的交点是（0，﹣5）
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9），
∴x＞﹣2时，y随x增大而增大，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴与y轴的交点是（0，﹣5），
故选项C不正确，
故选：C．
19．关于二次函数y＝2x2+4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．图象不经过第四象限
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．图象的对称轴在y轴的右侧
【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x2+2x+1﹣1）+1＝2（x+1）2﹣1，
A、∵a＝2，∴抛物线开口向上，原说法错误，不符合题意；
B、由函数解析式可知，抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣1），当x＝0时，y＝1，
∴图象不经过第四象限，正确，符合题意；
C、∵抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴方程为直线x＝﹣1，
∴图象的对称轴在y轴的左侧，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
20．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．顶点坐标为（﹣1，﹣2）
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣2，
∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B正确；
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误；
顶点坐标是（﹣1，﹣2），故选项D正确；
故选：C．
二．填空题（共15小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣2x+6，当x ＜1 时，y随x的增大而减小．
【解答】解：在y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为直线x＝1，
当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜1
22．二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为 （2，﹣12） ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣8
＝x2﹣4x+4﹣12
＝（x﹣2）2﹣12，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为（2，﹣12）．
故答案为：（2，﹣12）．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 k＝﹣4 ．
【解答】解：由题意，∵y＝﹣x2﹣4x+k＝﹣（x+2）2+4+k，
∴顶点为（﹣2，4+k）．
又顶点在x轴上时，
∴4+k＝0．
∴k＝﹣4．
故答案为：k＝﹣4．
24．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c的值为 9 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+c，
∴y＝（x﹣3）2+c﹣9，
∵抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，
∴c﹣9＝0，
∴c＝9．
故答案为：9．
25．抛物线y＝2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b＝ ±8 ．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+8的顶点在x轴上，
∴Δ＝0，即b2﹣64＝0，解得b＝±8．
故答案为：±8．
26．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴负半轴上，那么m的值为 6 ．
【解答】解：由题意得：，
解得m＝6，
故答案为：6．
27．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ﹣2 ．
【解答】解：由题意得，
解得m＝﹣2．
故答案为：m＝﹣2．
28．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线 x＝﹣ ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，
∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．
即对称轴是直线x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
29．二次函数y＝x2+2x+3图象的开口方向为 向上 ，顶点坐标为 （﹣1，2） ．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线的开口向上，顶点为（﹣1，2）．
故答案为：向上；（﹣1，2）．
30．函数y＝2﹣3x2的图象，开口方向是 下 ，对称轴是 x＝0 ，顶点坐标是 （0，2） ．
【解答】解：∵二次函数y＝2﹣3x2中，a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下；
对称轴为直线x＝﹣＝0，即对称轴为y轴；
顶点坐标为（0，﹣1）．
故答案为：下；y轴；（0，2）．
31．抛物线y＝﹣4x2+8x﹣3的开口方向向 下 ，对称轴是 直线x＝1 ，顶点坐标是 （1，1） ．
【解答】解：∵y＝﹣4x2+8x﹣3＝﹣4（x2﹣2x+1）+1＝﹣4（x﹣1）2+1，
∴开口方向向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，1）．
故答案为：下，直线x＝1，（1，1）．
32．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为 （1，﹣4） ，对称轴方程为 x＝1 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1．
故答案为：（1，﹣4），x＝1．
33．若二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2的图象经过原点，则b＝ 2 ．
【解答】解：把（0，0）代入y＝x2﹣bx+b﹣2得b﹣2＝0，
解得b＝2，
即b的值为2．
故答案为：2．
34．抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是直线 x＝1 ，顶点坐标是 （1，1） ，图象不经过第 二 象限．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），
∵y＝﹣x2+2x＝﹣x（x﹣2），
∴抛物线开口向下，与x轴的解得为（0，0），（2，0），
∴图象不经过第二象限．
故答案为：x＝1，（1，1），二．
35．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当y≥5时，自变量x的取值范围是 x≥4或x≤﹣2 ．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴当y≥5时，自变量x的取值范围是x≥4或x≤﹣2，
故答案为：x≥4或x≤﹣2．
三．解答题（共1小题）
36．已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
【解答】解：（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），
∴x＝1时，y最小值为﹣4，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1，
∴x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5为最大值，
∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9．
1．二次函数y＝x2+2x+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）
2．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
3．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小
4．抛物线y＝x2+14x+54的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
5．二次函数y＝x2+2x+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，4）D．（﹣1，4）
6．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1） D．当x＜2时，y随x的增大而减小
7．关于二次函数y＝x2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为（0，2）
C．抛物线的对称轴为y轴 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
8．二次函数y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．y轴B．x轴C．直线x＝1D．直线y＝1
9．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点在第几象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
10．对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与y轴的交点为（0，2）
11．二次函数y＝2x2+8x﹣6的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，18）B．（﹣2，﹣14）C．（4，58）D．（﹣4，﹣6）
12．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下B．顶点坐标是（﹣1，4）C．对称轴是直线x＝﹣1D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
13．抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝3C．x＝﹣3D．x＝﹣4
14．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若y＞5，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．x＜﹣1或x＞3C．﹣2＜x＜4D．﹣1＜x＜3
15．已知二次函数y＝x2﹣5x﹣4，当y＞2时，则x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜6B．﹣6＜x＜1C．x＜﹣1或x＞6D．x＜﹣6或x＞1
16．抛物线y＝x2﹣4x﹣4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣8）
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点是（2，﹣8）D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
17．已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣6，则下列结论错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下 B．该抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）
C．该抛物线的对称轴为直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而增大
18．以下对二次函数y＝x2+4x﹣5的图象和性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上 B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x＝2 D．与y轴的交点是（0，﹣5）
19．关于二次函数y＝2x2+4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．图象不经过第四象限
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．图象的对称轴在y轴的右侧
20．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大D．顶点坐标为（﹣1，﹣2）
二．填空题（共15小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣2x+6，当x 时，y随x的增大而减小．
22．二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为 ．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ．
24．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c的值为 ．
25．抛物线y＝2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b＝ ．
26．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴负半轴上，那么m的值为 ．
27．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ．
28．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线 ．
29．二次函数y＝x2+2x+3图象的开口方向为 ，顶点坐标为 ．
30．函数y＝2﹣3x2的图象，开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
31．抛物线y＝﹣4x2+8x﹣3的开口方向向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
32．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为 ，对称轴方程为 ．
33．若二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2的图象经过原点，则b＝ ．
34．抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，图象不经过第 象限．
35．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当y≥5时，自变量x的取值范围是 ．
三．解答题（共1小题）
36．已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
初三数学 第六课时 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．二次函数y＝x2+2x+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
二次函数顶点坐标为（﹣1，0），
故选：A．
2．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
【解答】解：
∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为（2，﹣3），
故选：D．
3．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．抛物线y＝x2+14x+54的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+14x+54＝（x+7）2+5，
∴顶点为（﹣7，5）．
故选：C．
5．二次函数y＝x2+2x+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，4）D．（﹣1，4）
【解答】解：∵y＝x2+2x+3
＝（x2+2x+1）+2
＝（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）．
故选：B．
6．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而减小
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，正确，不合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x＝2，正确，不合题意；
C、顶点坐标为（2，﹣1），错误，符合题意；
D、当x＜2时，y随x的增大而减小，正确，不合题意．
故选：C．
7．关于二次函数y＝x2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点坐标为（0，2）
C．抛物线的对称轴为y轴
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，﹣2），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴A、C、D说法正确，不合题意，B说法错误，符合题意．
故选：B．
8．二次函数y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．y轴B．x轴C．直线x＝1D．直线y＝1
【解答】解：由题意得：抛物线y＝x2+1的对称轴是：直线，
即对称轴是y轴，
故选：A．
9．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点在第几象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为：（1，﹣4），
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点在第四象限．
故选：D．
10．对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与y轴的交点为（0，2）
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B错误，不符合题意；
顶点坐标为（1，2），故选项C正确，符合题意；
与y轴的交点为（0，3），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
11．二次函数y＝2x2+8x﹣6的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，18）B．（﹣2，﹣14）C．（4，58）D．（﹣4，﹣6）
【解答】解：y＝2x2+8x﹣6＝2（x+2）2﹣14，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣14），
故选：B．
12．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标是（﹣1，4）
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
【解答】解：A．∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，正确，不符合题意；
B．顶点是（﹣1，4），正确，不符合题意；
C．对称轴是直线x＝﹣1，正确，不符合题意；
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而减少，原说法错误，符合题意．
故选：D．
13．抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝3C．x＝﹣3D．x＝﹣4
【解答】解：由题意，抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴为：直线，
故选：B．
14．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若y＞5，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．x＜﹣1或x＞3C．﹣2＜x＜4D．﹣1＜x＜3
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴当y＞5时，自变量x的取值范围是x＞4或x＜﹣2，
故选：A．
15．已知二次函数y＝x2﹣5x﹣4，当y＞2时，则x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜6B．﹣6＜x＜1C．x＜﹣1或x＞6D．x＜﹣6或x＞1
【解答】解：令y＝2，则x2﹣5x﹣4＝2，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
∵抛物线开口向上，
∴当y＞2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞6．
故答案为：C．
16．抛物线y＝x2﹣4x﹣4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣8）
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点是（2，﹣8）
D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴a＝1＞0，开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣8），
故选：B．
17．已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣6，则下列结论错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下
B．该抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）
C．该抛物线的对称轴为直线x＝2
D．当x＞2时，y随x的增大而增大
【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣2）2﹣2中a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而减小．
故选：D．
18．以下对二次函数y＝x2+4x﹣5的图象和性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x＝2
D．与y轴的交点是（0，﹣5）
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9），
∴x＞﹣2时，y随x增大而增大，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴与y轴的交点是（0，﹣5），
故选项C不正确，
故选：C．
19．关于二次函数y＝2x2+4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．图象不经过第四象限
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．图象的对称轴在y轴的右侧
【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x2+2x+1﹣1）+1＝2（x+1）2﹣1，
A、∵a＝2，∴抛物线开口向上，原说法错误，不符合题意；
B、由函数解析式可知，抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣1），当x＝0时，y＝1，
∴图象不经过第四象限，正确，符合题意；
C、∵抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴方程为直线x＝﹣1，
∴图象的对称轴在y轴的左侧，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
20．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．顶点坐标为（﹣1，﹣2）
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣2，
∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B正确；
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误；
顶点坐标是（﹣1，﹣2），故选项D正确；
故选：C．
二．填空题（共15小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣2x+6，当x ＜1 时，y随x的增大而减小．
【解答】解：在y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为直线x＝1，
当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜1
22．二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为 （2，﹣12） ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣8
＝x2﹣4x+4﹣12
＝（x﹣2）2﹣12，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为（2，﹣12）．
故答案为：（2，﹣12）．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 k＝﹣4 ．
【解答】解：由题意，∵y＝﹣x2﹣4x+k＝﹣（x+2）2+4+k，
∴顶点为（﹣2，4+k）．
又顶点在x轴上时，
∴4+k＝0．
∴k＝﹣4．
故答案为：k＝﹣4．
24．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c的值为 9 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+c，
∴y＝（x﹣3）2+c﹣9，
∵抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，
∴c﹣9＝0，
∴c＝9．
故答案为：9．
25．抛物线y＝2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b＝ ±8 ．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+8的顶点在x轴上，
∴Δ＝0，即b2﹣64＝0，解得b＝±8．
故答案为：±8．
26．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴负半轴上，那么m的值为 6 ．
【解答】解：由题意得：，
解得m＝6，
故答案为：6．
27．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ﹣2 ．
【解答】解：由题意得，
解得m＝﹣2．
故答案为：m＝﹣2．
28．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线 x＝﹣ ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，
∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．
即对称轴是直线x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
29．二次函数y＝x2+2x+3图象的开口方向为 向上 ，顶点坐标为 （﹣1，2） ．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线的开口向上，顶点为（﹣1，2）．
故答案为：向上；（﹣1，2）．
30．函数y＝2﹣3x2的图象，开口方向是 下 ，对称轴是 x＝0 ，顶点坐标是 （0，2） ．
【解答】解：∵二次函数y＝2﹣3x2中，a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下；
对称轴为直线x＝﹣＝0，即对称轴为y轴；
顶点坐标为（0，﹣1）．
故答案为：下；y轴；（0，2）．
31．抛物线y＝﹣4x2+8x﹣3的开口方向向 下 ，对称轴是 直线x＝1 ，顶点坐标是 （1，1） ．
【解答】解：∵y＝﹣4x2+8x﹣3＝﹣4（x2﹣2x+1）+1＝﹣4（x﹣1）2+1，
∴开口方向向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，1）．
故答案为：下，直线x＝1，（1，1）．
32．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为 （1，﹣4） ，对称轴方程为 x＝1 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1．
故答案为：（1，﹣4），x＝1．
33．若二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2的图象经过原点，则b＝ 2 ．
【解答】解：把（0，0）代入y＝x2﹣bx+b﹣2得b﹣2＝0，
解得b＝2，
即b的值为2．
故答案为：2．
34．抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是直线 x＝1 ，顶点坐标是 （1，1） ，图象不经过第 二 象限．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），
∵y＝﹣x2+2x＝﹣x（x﹣2），
∴抛物线开口向下，与x轴的解得为（0，0），（2，0），
∴图象不经过第二象限．
故答案为：x＝1，（1，1），二．
35．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当y≥5时，自变量x的取值范围是 x≥4或x≤﹣2 ．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴当y≥5时，自变量x的取值范围是x≥4或x≤﹣2，
故答案为：x≥4或x≤﹣2．
三．解答题（共1小题）
36．已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
【解答】解：（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），
∴x＝1时，y最小值为﹣4，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1，
∴x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5为最大值，
∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9．
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