湖北省宜昌市长阳土家族自治县第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月考试数学试题

这是一份湖北省宜昌市长阳土家族自治县第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0
3．已知空间单位向量两两垂直，则（ ）
A． B． C．3 D．6
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
5．已知如右图所示的电路中，每个开关闭合的概率都是，三个开关的闭合是相互独立的，则电路中灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生
7．在长方体中，，则（ ）
A． B． C．3 D．9
8．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列事件中，A，B是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币擦两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”
D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
10．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为
C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为
11．若向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．的最大值为
三、填空题
12．已知向量满足，则的夹角为_________．
13．先后两次抛掷同一个骰子（表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的小正方体），将得到的点数分别记作a，b，则为整数的概率是_________．
14．已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为___________．
四、解答题
15．长方体中，．点E为AB中点．
（1）求证：平面
（2）求证：平面．
16．袋中装着分别标有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的依次取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y．
（1）列举出所有基本事件：
（2）求是3的倍数的概率：
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，M为侧棱PD的中点．
（1）证明：平面平面PCD，
（2）求直线PB与平面PCD所成的角的大小．
18．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；
（2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，．M是棱SB的中点．
（1）求证：面SCD；
（2）求二面角的正弦值：
（3）在线段DC上是否存在一点N使得MN与平面SAB所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
选择题：
填空题：
12． 13． 14．
解答题：
15．（满分13分）【详解】
（1）第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y，
则一个基本事件记为，
所以所有基本事件为：，
．
（列表也可以）． 7分
（2）由（1）知，试验的所有基本事件数为25，
是3的倍数的事件为，共9个， 10分
所以是3的倍数的概率为 13分
16．（满分15分）（坐标运算酌情给分）【详解】
（1）因为是长方体，
所以平面，而平面，所以，
又因为，所以侧面是正方形，因此，
因为平面，所以平面﹔ 7分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
， 9分
设平面的法向量为，
则有 13分
因为， 14分
所以有平面 15分
17．（满分15分）（坐标运算的情给分）【详解】
（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又平面PAD，
所以平面PAD，又平面PAD，所以，
因为点M为PD中点，，
所以，又平面PCD，
所以平面PCD，因为平面MAC，
所以平面平面PCD； 7分
（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得
因为平面PCD，
所以，即为平面PCD的一个法向量， 10分
，
设直线PB与平面PCD所成角为，
则， 13分
又，所以，
即直线PB与平面PCD所成角的大小为 ．15分
18．（满分17分）【详解】
（1）由频率分布直方图有，
解得， 3分
因为，
所以中位数在区间内，设为x，
则有，得，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； 7分
（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，
所以有， 9分
（i）记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，
所以

所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； 13分
（ⅱ）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则，
所以
， 16分
解得：． 17分
19．（满分17分）（坐标运算的情给分）【详解】
解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
．
则．
设平面SCD的法向量是，则，即
令，则．于是． 4分
∵，∴．
又∵平面SCD，∴平面SCD． 5分
（2）设平面CDM的法向量为．则
即据此可得平面CDM的一个法向量， 8分
设二面角的平面角大小为，易知：
则
∴二面角的余弦值为． 10分
（3）假设存在满足题意的点N，且：，
设点N的坐标为，据此可得：，
由对应坐标相等可得， 13分
故，由于平面SAB的一个法向量，
由题意可得： 16分
解得：，
据此可得存在满足题意的点N，且的值为 17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
A
A
D
B
C
C
AC
ABC
AB