2025届山东省聊城市莘县数学九上开学达标测试试题【含答案】

这是一份2025届山东省聊城市莘县数学九上开学达标测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，最大值是2B．对称轴是直线，最小值是2
C．对称轴是直线，最大值是2D．对称轴是直线，最小值是2
2、（4分）将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，则CD的长为（ ）
A．4B．12﹣4C．12﹣6D．6
3、（4分）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
4、（4分）已知多项式是一个关于的完全平方式，则的值为（ ）
A．3B．6C．3或-3D．6或-6
5、（4分）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
6、（4分）△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如果直角三角形的边长为3，4，a，则a的值是( )
A．5B．6C．D．5或
8、（4分）已知一组数据1，2，3，，它们的平均数是2，则这一组数据的方差为（ ）
A．1B．2C．3D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O.若BO=3，则菱形ABCD的面积为______.
10、（4分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB=AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC，∠CDN的度数分别为，，则关于的函数解析式是_______________________________．
11、（4分）若α是锐角且sinα=，则α的度数是 ．
12、（4分）若一组数据的平均数，方差，则数据，，的方差是_________.
13、（4分）以正方形ABCD一边AB为边作等边三角形ABE，则∠CED＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？
15、（8分）在同一坐标系中，画出函数与的图像，观察图像写出当时，的取值范围.
16、（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
17、（10分）如图，平行四边形中，点分别是的中点.求证.
18、（10分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）要使分式的值为1，则x应满足的条件是_____
20、（4分）已知一元二次方程，则根的判别式△=____________．
21、（4分）通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位．某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增长3 cm.假设这棵数生长x年其树围才能超过2.4 m．列满足x的不等关系：__________________.
22、（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则点B的坐标是_____．
23、（4分）如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点、分别在边、上，为的中点，连接，则的长为_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：（+）×﹣4
25、（10分）如图，在边长为正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接.

（1）如图1，过点作交于点，连接交于点.
①求证：;
②设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.
26、（12分）计算： （1）（+）（﹣）﹣（+3）2； （2）.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据抛物线的图象与性质即可判断．
【详解】
解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选：A．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
2、B
【解析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案．
【详解】
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12．
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣．
故选B．
本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
3、D
【解析】
根据矩形的判定定理即可选出答案.
【详解】
解：A.对角线是否相互平分，能判定平行四边形，而不能判定矩形；
B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，而不能判定矩形；
C.一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D.四边形其中的三个角是否都为直角，能判定矩形.
故选D.
本题考查了矩形的判定定理.解题的关键是牢记这些定理.
矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
4、D
【解析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】
∵x2+mx+9是关于x的完全平方式，
∴x2+mx+9= x2±2×3×x+9
∴m=±6，
故选：D．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5、B
【解析】
试题分析：根据多边形的内角和公式可得六边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°，故答案选B．
考点：多边形的内角和公式.
6、D
【解析】
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比=（）2=1：16，
故答案为：D
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
7、D
【解析】
分两种情况分析：a是斜边或直角边，根据勾股定理可得．
【详解】
解：当a是斜边时，a=；
当a是直角边时，a=
所以，a的值是5或
故选：D．
本题考核知识点：勾股定理，解题关键点：分两种情况分析．
8、D
【解析】
先根据平均数的定义确定出n的值，再根据方差的计算公式计算即可．
【详解】
解：∵数据 1，2，3，n的平均数是2，
∴（1+2+3+n）÷4=2，
∴n=2，
∴这组数据的方差是：
故选择：D.
此题考查了平均数和方差的定义，平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、24
【解析】
由菱形的性质可得AB=5，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，由勾股定理可求AO=4，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
解：∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB=5，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∴AO==4
∴AC=8，BD=6
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=24，
故答案为：24
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
10、
【解析】
首先根据菱形的性质得出∠ABC=∠ADC=，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，进而得出∠BAM，然后根据对称性得出∠AND=∠AND==180°-，分情况求解即可.
【详解】
∵菱形ABCD中，AB=AM，
∴∠ABC=∠ADC=，AB=BC=CD=AD，AD∥BC
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°-
∵AB=AM，
∴∠AMB=∠ABC=
∴∠BAM=180°-∠ABC-∠AMB=180°-2
连接BN、AN，如图：
∵点B关于直线AM对称的点是N，
∴AN=AB，∠MAN=∠BAM=180°-2，即∠BAN=2∠BAM=360°-4
∴AN=AD，∠DAN=∠BAD-∠BAN=180°--（360°-4）=3-180°
∴∠AND=∠AND==180°-
∵M是BC边上的点（不与B，C两点重合），
∴
∴
若，即时，
∠CDN=∠ADC-∠AND=，即；
若即时，
∠CDN=∠AND-∠ADC =，即
∴关于的函数解析式是
故答案为：.
此题主要考查菱形的性质与一次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.
11、60°
【解析】
试题分析：由α是锐角且sinα=，可得∠α=60°．
考点：特殊角的三角函数值
12、
【解析】
根据题意，由平均数的公式和方差公式可知，新数据的平均数为6
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
；
故答案为：3.
本题考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握求平均数和方差的方法.
13、30°或150°．
【解析】
等边△ABE的顶点E可能在正方形外部，也可能在正方形内部，因此分两种情况画出图形进行求解即可.
【详解】
分两种情况：
①当点E在正方形ABCD外侧时，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形
∴∠ABC＝90°，BC＝BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°，
∴∠CBE＝∠CBA+∠ABE＝90°+60°＝150°，
∵BC＝BE，
∴∠BCE═∠BEC＝15°，
同理可得∠EDA═∠DEA＝15°，
∴∠CED＝∠AEB﹣∠CEB﹣∠DEA＝60°﹣15°﹣15°＝30°；
②当点E在正方形ABCD内侧时，如图2所示：
∵∠EAB＝∠AEB＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
同理∠DEB＝∠EDB＝75°，
∴∠CED＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°；
综上所述：∠CED为30°或150°；
故答案为：30°或150°．
本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，正确地进行分类，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；（2）每件商品售价为60或1元时，商场日盈利达到100元．
【解析】
（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；
（2）设商场日盈利达到100元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．
【详解】
（1）当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元，
即55﹣50=5（元），
则每天可销售商品450件，即500﹣5×10=450（件），
商场可获日盈利为（55﹣40）×450=6750（元）．
答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；
（2）设商场日盈利达到100元时，每件商品售价为x元．
则每件商品比50元高出（x﹣50）元，每件可盈利（x﹣40）元，
每日销售商品为500﹣10×（x﹣50）=1000﹣10x（件）．
依题意得方程（1000﹣10x）（x﹣40）=100，
整理，得x2﹣140x+410=0，
解得x=60或1．
答：每件商品售价为60或1元时，商场日盈利达到100元．
15、画图见解析，当时，的取值范围为 .
【解析】
分析：（1）利用两点法作出一次函数的图象，根据图象直接确定自变量的取值范围即可．
详解：建立平面直角坐标系
过画该直线 （如图）过画该直线.（如图）
∵ 解得
∴两直线的交点为 （如图）
根据图象当时，的取值范围为.
点睛：本题考查了一次函数的图象，作一次函数的图象时，可以利用两点法作图．
16、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）450
【解析】
（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；
（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．
【详解】
（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；
（2）如图2的三角形的边长分别为2，、；
（3）如图3，连接AC，
因为AB2=22+42=20，AC2=32+12=10,BC2=32+12=10,
所以AB2= AC2+ BC2，AC=BC
∴三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．
17、见解析
【解析】
根据平行四边形的性质和已知可证AE=CF，∠BAE=∠DCF，AB=CD，故根据SAS可证△ABE≌△DCF．
【详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
点分别是的中点，
，
，
在和中，，
.
本题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
18、第一次买了11本资料．
【解析】
设第一次买了x本资料，根据“比上次多买了21本”表示出另外一个未知数，再根据等量关系“第一次用121元买了若干本资料，第二次又用241元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元”列出方程，即可求解.
【详解】
设第一次买了x本资料，
根据题意，得：-=4
整理，得：x2+51x﹣611＝1．
解得：x1＝﹣61，x2＝11，
经检验：它们都是方程的根，但x1＝﹣61不符合题意，舍去，
答：第一次买了11本资料．
该题主要考查了列分式方程解应用题，解题的关键是正确分析已知设出未知数，找准等量关系列出方程，然后解方程即可求解.另外该题解完之后要尝试其他的解法，以求一题多解,举一反三.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x=－1.
【解析】
根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】
由题意可知：=1，
∴x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解.
故答案为：x=-1．
本题考查解分式方程，注意，别忘记检验，本题属于基础题型．
20、0
【解析】
根据一元二次方程根的判别式，将本题中的a、b、c带入即可求出答案.
【详解】
解：∵一元二次方程，
整理得：，
可得：，
∴根的判别式；
故答案为0.
本题考查一元二次方程根的判别式，首先把方程化成一般形式，得出一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，再根据根的判别式公式求解，解题中需注意符号问题.
21、5＋3x＞240
【解析】
因为树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增长约3cm，x年后树围将达到（5+3x）cm．
不等关系：x年其树围才能超过2.4m．
【详解】
根据题意，得5+3x>240.
故答案为：5+3x>240.
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
22、（﹣1，0）．
【解析】
根据点B与点A关于直线x＝1对称确定点B的坐标即可．
【详解】
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，
∴点A与点B关于直线x＝1对称，
而对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（3，0），
∴点B的坐标是（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
本题考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的图象关于对称轴对称是解决问题的关键.
23、
【解析】
延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【详解】
解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH= OA= ×（3-1）=1．
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG=
故答案是：.
本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
先利用分配律进行运算，然后进行二次根式的乘法运算，是后进行加减法运算即可得．
【详解】
解：原式=
=
=．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的顺序并正确化简二次根式是解题的关键．
25、 (1)①见解析；②；（2）见解析
【解析】
（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.
②解：∵正方形ABCD的边长为，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，
则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，
由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，
在△PBG与△EBG中，，
∴△PBG≌△EBG（SAS）.
∴PG=EG=2－x－y，
∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°，
∴在Rt△PCG中，由，得，
化简，得.
（2）如图3，作法如下：
①延长交AD于点M，
②连接MO并延长交BC于点N，
③连接DN交AC于点Q，
④连接DE、BQ，
则四边形BEDQ为菱形.
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q的位置是解决（2）题的关键.
26、（1）-19-6； （2）3-.
【解析】
分析：(1)用平方差公式和完全平方公式计算；(2)把式子中的二次根式都化为最简二次根式后，再加减.
详解：(1)()(﹣)﹣(＋3)2
＝7－5－(3＋6＋18)
＝－19－6；
(2)
＝
＝3－.
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号，能够使乘法公式的尽量使用乘法公式．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分