2025届山东省青岛开发区育才中学数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份2025届山东省青岛开发区育才中学数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）当分式有意义时，字母x应满足（ ）
A．x≠1B．x＝0C．x≠－1D．x≠3
3、（4分）在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B=40°，则∠C=（ ）
A．90°B．60°C．50°D．40°
4、（4分）在□ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O 与AC垂直的直线交边AD于点E，若□ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为（ ）．
A．8cmB．10cmC．11cmD．12cm
5、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点A，∠BAO＝30°，将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则k的值为（ ）
A．﹣8B．﹣16C．﹣8D．﹣12
6、（4分）在ABCD中，∠A+∠C=160°，则∠C的度数为( )
A．100°B．80°C．60°D．20°
7、（4分）如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．
10、（4分）若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为 ．
11、（4分）把直线y=﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且2m+n=6，则直线AB的解析式为______．
12、（4分）若一组数据1，3，5，，的众数是3，则这组数据的方差为______.
13、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上(不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是_____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：1．
（1）在图中画出位似中心点O；
（1）若AB=1cm，则A′B′的长为多少?
15、（8分）一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中，甲，乙两组学生人数都为5人，成绩如下（单位：分）：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
（2）已知甲组学生成绩的方差，计算乙组学生成绩的方差，并说明哪组学生的成绩更稳定.
16、（8分）已知关于的方程
（1）若请分别用以下方法解这个方程：
①配方法；
②公式法；
（2）若方程有两个实数根，求的取值范围．
17、（10分）已知，求代数式的值。
18、（10分）某书店以每本21元的价格购进一批图书，若每本图书售价a元，则每周可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每本图书的利润率不得超过20%，该书店计划“五一”黄金周要盈利400元．问需要购进图书多少本？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为 1m，那么它的下部应设计的高度为_____．
20、（4分）如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是_______.
21、（4分）一次函数y＝kx+b(k，b是常数，k≠0)图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是_____．
22、（4分）若是完全平方式，则的值是__________.
23、（4分）在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b），与x轴交于A，B两点，
（1）求b，m的值；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值．
25、（10分）已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在平面内有点D，使得以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D点的坐标．
26、（12分）已知：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，连接，.求证：.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
如图，连接AC．只要证明CE=CA，推出∠E=∠CAE，求出∠ACE即可解决问题．
【详解】
如图，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．
∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易证∠ACB=∠ADB=30°．
∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．
故选A．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
2、A
【解析】
分式有意义，分母不为零．
【详解】
解：当，即时，分式有意义；
故选：A．
本题考查了分式有意义的条件．（1）若分式无意义，则分母为零；（2）若分式有意义，则分母不为零．
3、C
【解析】
BC是斜边，则∠A=90°，利用三角形内角和定理即可求出∠C．
【详解】
∵BC是斜边
∴∠A=90°
∴∠C=180°-90°-40°=50°
故选C．
本题考查三角形内角和定理，根据BC是斜边得出∠A是解题的关键．
4、C
【解析】
由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=11，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵▱ABCD的周长22厘米，
∴AD+CD=11，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11cm．
故选：C．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5、D
【解析】
首先过C作CD⊥y轴，垂足为D，再根据勾股定理计算CD的长，进而计算C点的坐标,在代入反比例函数的解析式中，进而计算k的值.
【详解】
解：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
由折叠得：OB＝BC＝4，∠OAB＝∠BAC＝30°
∴∠OBA＝∠CBA＝60°＝∠CBD，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝2，CD＝ ，
∴C（﹣，6）代入得：k＝﹣×6＝﹣
故选：D．
本题主要考查求解反比例函数的解析式，关键在于构造辅助线计算CD的长度.
6、B
【解析】
根据平行四边形的对角相等，结合∠A+∠C=160°求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=160°，
∴∠A=∠C=80°.
故选B.
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键.平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.
7、C
【解析】
结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.
【详解】
①当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，
∴，
②当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴，
，
，
，
③当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴，
综上所述：与的函数表达式为：
.
故答案为：C.
本题考查动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
8、A
【解析】
解：∵ 在实数范围内有意义，
∴.
∴
故选A.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
原式=2（m2+2mn+n2）-6，
=2（m+n）2-6，
=2×9-6，
=1．
10、30
【解析】
解：先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．
解：∵52+122=132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12=30
11、y=-2x+1
【解析】
分析：由题意知，直线AB的斜率，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的点斜式方程y-y0=k（x-x0）求得解析式即可．
详解：∵直线AB是直线y=-2x平移后得到的，
∴直线AB的k是-2（直线平移后，其斜率不变）
∴设直线AB的方程为y-y0=-2（x-x0） ①
把点（m，n）代入①并整理，得
y=-2x+（2m+n） ②
∵2m+n=1 ③
把③代入②，解得y=-2x+1
即直线AB的解析式为y=-2x+1．
点睛：本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后，斜率不变这一性质，再根据题意中的已知条件，来确定用哪种方程（点斜式、斜截式、两点式等）来解答．
12、2
【解析】
先根据众数的概念得出x=3，再依据方差的定义计算可得．
【详解】
解：∵数据1，3，5，x的众数是3，
∴x=3，
则数据为1、3、3、5，
∴这组数据的平均数为：，
∴这组数据的方差为：；
故答案为：2.
本题主要考查众数和方差，解题的关键是根据众数的概念求出x的值，并熟练掌握方差的定义和计算公式．
13、2.1.
【解析】
连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，连接CP．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=1，
∴AB=，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，
即×1×3=×5•CP，
解得CP=2.1．
∴EF的最小值为2.1．
故答案为2.1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（1）的长为
【解析】
（1）根据位似图形的性质直接得出位似中心即可；
（1）利用位似比得出对应边的比进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：连接BB′、CC′，它们的交点即为位似中心O；
（1）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：1，
AB=1cm，
∴A′B′的长为4 cm．
此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于对应边的比得出是解题关键．
15、（1）甲：平均数8；乙：平均数8，中位数9；（2）甲组学生的成绩比较稳定．
【解析】
（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；
（2）根据方差的定义计算出乙的方差，再比较即可得．
【详解】
（1）甲的平均数：，
乙的平均数：，
乙的中位数：9；
（2） .
∵，
∴甲组学生的成绩比较稳定．
本题考查了求平均数，中位数与方差，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16、（1）①，见解析；②，见解析；（2）
【解析】
（1）①利用配方法解方程；
②先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；
（2）利用判别式的意义得到△=（-5）2-4×（3a+3）≥0，然后解关于a的不等式即可．
【详解】
解：当时，原方程为：
∴，
∴，
∴；
，
∴；
方程有两个实数根，
；
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程．
17、
【解析】
把x的值直接代入，再根据乘法公式进行计算即可.
【详解】
解：当时，
此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知整式的运算公式.
18、需要购进图书2本．
【解析】
根据总利润＝每本利润×销售数量，可得出关于a的一元二次方程，解之可得出a的值，结合利润率不得超过20%可确定a值，再将其代入350﹣10a中即可求出结论．
【详解】
解：依题意，得：（a﹣21）（350﹣10a）＝400，
整理，得：a2﹣56a+775＝0，
解得：a1＝25，a2＝1．
∵21×（1+20%）＝25.2，
∴a2＝1不合题意，舍去，
∴350﹣10a＝350﹣10×25＝2．
答：需要购进图书2本．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
设雕像的下部高为x m，则上部长为（1-x）m，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：设雕像的下部高为x m，则题意得：，
整理得：，
解得： 或 (舍去)；
∴它的下部应设计的高度为.
故答案为：.
本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
20、x>1
【解析】
观察函数图象得到当x＞1时，函数y=kx+3的图象都在y=-x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞1．
【详解】
解：当x＞1时，kx+3＞-x+b，
即不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞1．
故答案为x＞1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
21、x＞-2
【解析】
试题解析：根据图象可知：当x＞-2时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的上方.即kx+b＞0.
考点：一次函数与一元一次不等式.
22、
【解析】
根据完全平方公式即可求解.
【详解】
∵是完全平方式，
故k=
此题主要考查完全平方式，解题的关键是熟知完全平方公式的特点.
23、．
【解析】
解：画树状图得：
∴一共有6种等可能的结果，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，能组成分式的有4个，
∴能组成分式的概率是
故答案为．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）m=-1；（2）；（3）a=或a=．
【解析】
（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；（2）根据解析式求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；（3）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）把点P（1，b）代入y=2x+1，
得b=2+1=3，
把点P（1，3）代入y=mx+4，得m+4=3，
∴m=-1；
（2）∵L1：y=2x+1 L2：y=-x+4，
∴A（-，0）B（4，0）
∴；
（3）解：直线x=a与直线l1的交点C为（a，2a+1）
与直线l2的交点D为（a，-a+4）．
∵CD=2，
∴|2a+1-（-a+4）|=2，
即|3 a-3|=2，
∴3 a-3=2或3 a-3=-2，
∴a=或a=．
本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据解析式求得与坐标轴的交点；（3）根据CD=2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
25、（2）y＝2x+2；（2）x＜﹣2或0＜x＜2；（3）（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【解析】
（2）首先将A点坐标代入反比例函数，进而计算出k的值，再将B点代入反比例函数的关系式，求得参数m的值，再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
（2）根据题意要使＞ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上，观察图象即可得到x的取值范围.
（3）首先写出A、C的坐标，再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.
【详解】
解：（2）将A（2，4）代入y＝，得：4＝k，
∴反比例函数的关系式为y＝；
当y＝﹣2时，﹣2＝，解得：m＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（2，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得： ，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
（3）∵点A的坐标为（2，4），
∴点C的坐标为（2，0）．
设点D的坐标为（c，d），分三种情况考虑，如图所示：
①当OC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D2的坐标为（0，﹣4）；
②当OA为对角线时，
解得：
∴点D2的坐标为（0，4）；
③当AC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D3的坐标为（2，4）．
综上所述：以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题，综合性比较强，但是也很容易，应当熟练掌握.
26、见解析
【解析】
根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
平均数
众数
中位数
甲
______________
8
8
乙
______________
9
______________