专题01 高一上期中真题精选（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册）

这是一份专题01 高一上期中真题精选（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册），文件包含专题01高一上期中真题精选原卷版docx、专题01高一上期中真题精选解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。

集合的概念
集合间的基本关系
集合的基本运算
充分性与必要性
全称量词与存在量词
基本不等式
二次函数与一元二次方程、不等式
函数的概念及其表示
函数的基本性质
一、集合的概念（共6小题）
1．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数.
【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数，
又，，，
所以这个和为、、、，
则，
所以，，，
即这个数分别为、、、，
故这个数中最小的数为.
故选：C
2．（23-24高一上·四川成都·期中）集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可.
【详解】解不等式，解得，
又因为，所以满足的的值有，
所以集合为，
故选：C
3．（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（ ）
A．1，2B．
C．D．
【答案】C
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】根据集合的描述法和列举法分析求解.
【详解】对于方程，解得或，
所以，故C正确，ABD错误.
故选：C.
4．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数
【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可.
【详解】由题意，，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
由集合中元素满足互异性，所以.
故选：B
5．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可.
【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确；
对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确.
故选：BCD.
6．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 .
【答案】
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
二、集合间的基本关系（共5小题）
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由集合且，得，所以.
故选：D
2．（多选）（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】ABD
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值.
【详解】因为，且，
当时，，符合题意；
当时，，又，所以或，解得或，
综上，或或.
故选：ABD
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合间的关系可得解.
【详解】由合，，且，
则，
故答案为：.
4．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
【答案】6
【知识点】集合新定义
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意可知，“孤立元”即为在集合中无与之相邻的元素，
故满足条件的集合有，共6个集合.
故答案为：6
5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．
【答案】，，，．
【知识点】求集合的子集（真子集）
【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集.
【详解】当时，，
集合A的所有子集有，，，．
三、集合的基本运算（共9小题）
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由集合且，得，所以.
故选：D
2．（多选）（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】ABD
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值.
【详解】因为，且，
当时，，符合题意；
当时，，又，所以或，解得或，
综上，或或.
故选：ABD
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合间的关系可得解.
【详解】由合，，且，
则，
故答案为：.
4．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
【答案】6
【知识点】集合新定义
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意可知，“孤立元”即为在集合中无与之相邻的元素，
故满足条件的集合有，共6个集合.
故答案为：6
5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．
【答案】，，，．
【知识点】求集合的子集（真子集）
【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集.
【详解】当时，，
集合A的所有子集有，，，．
四、充分性与必要性（共5小题）
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”，
所以，可得.
故选：C.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【知识点】充分条件的判定及性质
【分析】根据不等式表示的范围大小得出和的包含关系，即可得出结论.
【详解】易知集合是集合的真子集，
即可得，所以是的充分而不必要条件.
故选：A
3．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合.
(1)若，求与；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数
【分析】（1）当时，可得，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）当时，可得，
因为集合，
则
又由或，
则或或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得，
因为，，
可得−1−2a≤1a−2≥5且等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围为.
4．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算
【分析】（1）解不等式得到，求出补集，从而利用交集概念求出答案；
（2）是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）时，，
，故或x>5，
故或x>5；
（2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集，
，，
故，解得，
故实数的取值范围是
5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合．
(1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一）
(2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)充分不必要条件
(2)
【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式、根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数
【分析】（1）分别求出集合A和B，即可判断；
（2）因为命题“”是真命题，所以， 然后分类讨论求出集合B，即可判定.
【详解】（1）由，得，所以，
当时，由，得，所以，
因为为的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
（2）因为命题“”是真命题，所以，
由，得，
①若，则，，舍去，
②若，则，，舍去，
③若，则，因为，所以，
综上，的取值范围是．
五、全称量词与存在量词（共5小题）
1．（23-24高一上·北京·期中）命题，，则是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.
【详解】因为命题，，所以：，.
故选：C
2．（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断．
【详解】当时，，
则当时，取得最大值，依题意，，解得，
因此命题“，”为真命题的充要条件是，C不是；
显然，分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是；
是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是．
故选：D
3．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可.
【详解】命题，为假命题，则，.
当时满足题意；当时，有，解得.
综上有
故选：ABC
4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】计算出的范围后，再找其真子集即可得到.
【详解】因为命题“，使”是真命题，
所以大于等于在上的最小值，即，
选项中及都是的充分不必要条件，故BD正确.
故选：BD.
5．（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】取得到，恒成立，得到答案.
【详解】取，则，恒成立，故“”为假命题.
故答案为：
六、基本不等式（共5小题）
1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】因为，为正实数，且，所以,
当且仅当时取等号.
故选：C
2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（ ）．
A．4B．C．6D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.
故选：B
3．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，，，
所以，，
当且仅当，即，时取等号.
故选：C.
4．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值；
（2）设，求的最小值.
【答案】（1）1；（2）.
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、条件等式求最值
【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可；
（2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为1；
（2）因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为.
5．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值．
【答案】3
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】a与b均为正数，且，则，
当且仅当，即，时取等号．
所以的最小值为3.
七、二次函数与一元二次方程、不等式（共6小题）
1．（多选）（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据一元二次不等式的求解方法逐个分析判断即可.
【详解】对于A，由，得，解得，所以A正确，
对于B，由，解得或，所以B正确，
对于C，，因为，所以不等式的解集为，所以C错误，
对于D，，因为，所以不等式的解集为，所以D正确，
故选：ABD
2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 .
【答案】 ， .
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论.
【详解】当时，不等式可化为，
所以，
所以或，
所以不等式的解集是，
由已知对任意的，不等式恒成立，
当时，，此时，
当时，不等式，可化为，
所以，其中，
所以，所以，
所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是.
故答案为：，.
3．（23-24高一上·江苏·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【详解】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，，然后求出两不等式的公共部分即可．
【分析】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，解得且．
故答案为：且．
4．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可.
【详解】结合题意知．即解得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可；
（2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解.
【详解】（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，
即.
（2）由，可得不等式，即，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
6．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上．
(1)试求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)实数的取值范围为.
【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】（1）利用点在二次函数图象上，列出方程组求解即得.
（2）利用一元二次不等式恒成立，列出不等式求解即得.
【详解】（1）由点都在二次函数的图象上，得，
所以.
（2）由（1）知，
不等式恒成立，即恒成立，
因此，解得，
所以实数的取值范围为.
八、函数的概念及其表示（共9小题）
1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据题意求出的解析式，由二次根式内部的代数式大于等于0即可求解的定义域.
【详解】由题可得：，所以，解得：,
则的定义域为；
故选：A
2．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等
【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.
【详解】对于A，和定义域均为R， ，
故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；
对于B，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；
对于C，定义域为，定义域为R，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误；
对于D，定义域为R，定义域为，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误；
故选：B.
3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【知识点】解分段函数不等式、函数新定义
【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数f(x)=x2−x,x>0−x2−x,x<0，若f(a)A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】分段函数的性质及应用、解不含参数的一元二次不等式
【分析】分和两种情况求解不等式即可.
【详解】解：①当时，由f(a)即2a2−2a<0，所以2a(a−1)<0，解得；
②当时，由f(a)所以2a(a+1)>0，解得，或（舍去），
综上：a∈(−∞,−1)∪(0,1)，
故选：B．
5．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A．
B．函数与不是同一函数
C．若的定义域为，则的定义域为
D．若函数，则，
【答案】BCD
【知识点】抽象函数的定义域、已知f（g（x））求解析式、判断两个函数是否相等
【分析】对于A，利用集合和元素的关系进行判断；对于B，利用是否为同一个函数的依据进行判断；对于C，利用抽象函数定义域的求法进行求解；对于D，利用配凑和换元求解析式即可.
【详解】对于A，代表的是自然数集，显然-5不是自然数，故A错误；
对于B，虽然两个函数的定义域一致，但是，与的对应关系不同，因此不是同一个函数，故B正确；
对于C，若的定义域为，则在中，即，
的定义域为，故C正确；
对于D，由，令，，
则，，
，，故D正确；
故选：BCD.
6．（23-24高一上·天津·期中）设函数则 ．
【答案】/
【知识点】求分段函数值
【分析】先计算出，进而计算出.
【详解】，.
故答案为：
7．（23-24高一下·北京石景山·期中）对于函数，x∈R，若则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B．若，且，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义
【分析】理解时，它表示方程与方程有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值．
【详解】∵，∴方程有实根， 时，符合题意，
时，则，∴．
又，所以方程，即的左边有因式，
从而有．
∵，∴要么没有实根，要么实根是方程的根．
若没有实根，时，符合题意，
时，则，∴；
若有实根且实根是方程的根，
则由方程，得，
代入，有，由此解得，
再代入得 ，由此，
故a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：
本题中方程与方程有相同的实根，关键点在于的因式分解，由不一定是二次函数，要考虑是否等于0.
8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数
(1)求；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解分段函数不等式
【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解；
（2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解.
【详解】（1）函数，则，
所以.
（2）函数，
由可得或或，
解得或或，
所以a的取值范围是.
9．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数，函数.
(1)若，求的值域；
(2)若：
（ⅰ）解关于的不等式：；
（ⅱ）设，若实数满足，比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） （ⅱ）当且时，；当或时，，证明见解析
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、由不等式的性质证明不等式
【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.
（2）利用即可求出不等式的解集，然后证明，再代入解析式证明，最后判断不等号两边相等的条件即可.
【详解】（1）当时，，其定义域为，
而，故fx为奇函数，
当x=0时，;
当x>0时，，而在上的值域为,
故此时，结合fx为奇函数可得的值域是.
（2）若：
（ⅰ）
由于，
故不等式等价于，即或.
由是负数，知原不等式的解集为；
（ⅱ）
由于关于的方程有解，故关于的方程有解.
如果，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即.
从而和这两个结论中，至少有一个成立.
但当时，亦有.
故一定成立，所以.
同理，所以.
故，所以.
所以由，即可得到.
根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当且.
综上，比较的结果为：
当且时，；
当或时，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.
九、函数的基本性质（共10小题）
1．（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（ ）
A．有最大值2，无最小值B．有最大值2，最小值1
C．有最大值1，无最小值D．无最大值，无最小值
【答案】A
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值
【分析】先依次解出不等式、和的解，进而得函数的解析式，再通过研究函数单调性即可得解.
【详解】因为；；，
所以可得，
又将代入得；将代入得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
将代入得，将代入得，
所以函数在处取得最大值为，无最小值.
故选：A.
2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案.
【详解】开口向上，对称轴为，
要想在区间上为单调增函数，则.
故选：B
3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式.
【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，
由对任意的，当时，有成立，
得在上单调递减，
因此函数在上单调递增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
4．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 .
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可.
【详解】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
令，因为在区间上单调递减，
则在区间上也单调递减，
所以，
所以，则实数m的最小值是.
故答案为：.
5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3).
【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间；
（2）根据奇函数定义求解析式；
（3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，
则函数图象如图所示．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）根据题意，
令，则，则，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
即，
所以.
（3）当时，，
则，
其对称轴为，
当时，即，则，
当时，即，则，
故.
6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数．
(1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、解含有参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）不等式 在 上恒成立, 转化为 在 上恒成立, 求出 在 上的最小值即可求出 的取值范围；
（2） 将不等式 化为 ,讨论 的取值即可求解不等式的解集.
【详解】（1），
不等式化为，
即，
不等式在上恒成立，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，
设，，根据对勾函数的性质知其在上单调递减，在上单调递增，
当；当；当，
，
，即的取值范围是.
（2）不等式化为，
即，
即，
①当时，不等式为，不等式解集为，
②当时，即时，不等式为，不等式解集为;
③当时，，不等成解集为;
④当时，，不等式解集为
⑤时，不等式解集为.
7．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：．
(1)求的解析式；
(2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】已知函数类型求解析式、由奇偶性求函数解析式、求二次函数的解析式
【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式.
（2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式.
【详解】（1）依题意，设，由，
得，整理得，
于是，解得，，
所以的解析式为.
（2）由（1）知，当时，，
由为定义在R上的奇函数，得，
当时，，，
所以在R上的解析式为.
8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)证明在上是增函数；
(3)求在上的最大值及最小值．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)最大值、最小值分别为.
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明.
（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论.
（3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值．
【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数，
对任意的，，
所以函数为奇函数.
（2）对区间上的任意两个数，且，
则，
由，则，，，
从而，即，
所以函数在区间上为增函数.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，，，
所以函数在上的最大值、最小值分别为.
9．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且．
(1)求函数与的解析式；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式；
（2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）根据题意，由，①
得，
又由是偶函数，是奇函数，
则有，②
联立①②可得：，．
（2）根据题意，，
当时，在区间上递减，
则其最小值为，
当时，在区间上递减，上递增，
则其最小值为．
综上，当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为．
10．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 .
(1)求的值；
(2)用定义法证明函数 y=f(x)在区间 上单调递增.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值
【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案；
（2），且，变形判断符号可得结论.
【详解】（1）由题意得，
解得
（2）由（1）可知，
，且，
，
因为，所以，
又，所以，
所以，即，所以，
所以函数y=fx在区间上单调递增.