专题02 高一上期中真题精选（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册）

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元素与集合的关系
根据元素与集合的关系求参数
集合的基本运算
集合新定义问题
基本不等式
基本不等式中的恒成立问题
函数单调性及其应用
函数性质有关的恒成立，有解问题
与抽象函数有关的问题
函数性质中的新定义题
考点01 元素与集合的关系
1．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义
【分析】根据“保均值子集”的定义，列举出所有符合题意的子集即可求得结果.
【详解】非空数集中，所有元素的算术平均数，
在所有子集中选出平均数为的子集即可，
所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7个：
故选：C．
2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A．12B．32C．80D．192
【答案】B
【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义
【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得.
【详解】集合的所有非空子集为
，
所以交替和的总和为
.
故选：B
3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．
【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，
①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；
②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，,的区间长度大于3，
若,的区间长度，即．
若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，
此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；
若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得．
综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.
4．（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】AC
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系
【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征.
【详解】对于A，，则恒有，
即，则，故A选项正确；
对于B，，若，则存在使得，
即，又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，
所以不能得到，故B选项错误；
如果，可设，
对于C，，
可得，故C选项正确；
对于D，，
不一定成立，不能得到，故D选项错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立.
5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为 ；的所有不同取值的个数为 ．
【答案】 6 54
【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义
【分析】根据非空真子集的定义结合题意求解即可.
【详解】由题意，满足的集合有：，，，，，，共6个.
对于来说，由于它是集合中的各元素之和，同时又是集合的非空真子集，
因为，
由题意，易知将取尽1到54的所有整数，
所以的所有不同取值的个数为54.
故答案为：6；54.
6．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ．
【答案】
【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义
【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解.
【详解】由于，
因为集合，的子集为的第个子集，其中，
所以的第211个子集是.
故答案为：.
考点02 根据元素与集合的关系求参数
1．（23-24高一上·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合新定义
【分析】先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案.
【详解】集合，，
根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素，
当中有1个元素时，有一个解，可得；
当中有3个元素时，易知，有三个解，
其中的两个为：，
当有一个解时，令，可得；
当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件，
此时，显然不等于0，
所以或，解得或，
综上所述，设实数a的所有可能取值为，
所以构成集合S元素个数为5，即.
故选：C
2．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 .
【答案】8
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、方程与不等式
【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数.
【详解】已知，
时，解得或；
时，解得或；
时，解得，
又且，所以，
同理，
关于x的方程有实数解，
当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3；
当时，要使方程有实数解，需使，即，
若，则的值可以是，的个数为3；
若，则的值可以是，的个数为2；
所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8.
故答案为：8.
考点03 集合的基本运算
1．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：
①若为“完美集合”，则一定有；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合为“完美集合”；
④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命题是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.
【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对；
对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错；
对于③，集合，
在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数，
则，，
，
集合为“完美集合”，③对；
对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错.
故选：A.
2．（多选）（22-23高一上·山东临沂·期中）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
【答案】AD
【知识点】集合新定义
【分析】对于A，令，可判断错误；对于B，根据整数的和差还是整数可判断B正确；对于C，任取，则，结合新定义即可判断；对于D，令，，可判断错误.
【详解】对于A：由于，但是，故集合不为闭集合，故A错误；
对于B：由于整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，故B正确；
对于C：任取，则，则，
所以，，
所以集合为闭集合，故C正确；
对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合，
所以，则有，但，则不为闭集合，故D错误；
故选：AD．
3．（多选）（23-24高一上·湖北·期中）如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则；
B．存在集合，使得；
C．若，则；
D．若，则.
【答案】AC
【知识点】集合新定义
【分析】按幂集的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则的子集之一就是，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则的公共子集只有空集，故，故C正确；
对于D，若，不妨设，则，
，显然，故D错误.
故选：AC.
4．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A： .
【答案】或
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出结果.
【详解】由题意，得 ，所以 .
由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1，
若 ，则 ，于是 ；
此时且 ，无正整数解；
若，集合有共同元素1和9，则，
所以 ，且，而，
所以，
当 时， ；
当 时， ；
因此满足条件的共有2个，分别为.
故答案为: 或
5．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义
①若的元素个数为4，则可以为： ， （写出一组即可）
②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是 ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义
【分析】根据题目中集合的新定义，结合元素与集合的关系求解即可.
【详解】设集合中元素个数为，集合中元素个数为，
根据题意可知集合的元素个数为，
若的元素个数为4，则可以为，，
若对任意，均有，则，，
又的元素个数不小于100，则，解得，
因为是集合的子集，所以集合的元素个数的最小值是.
故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一），
6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
(1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
(2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
(3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
【答案】(1)，集合A是的恰当子集；
(2)，或，.
(3)10
【知识点】判断两个集合的包含关系、集合新定义、判断元素与集合的关系
【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验；
（3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集，
【详解】（1）若，有，由，则，
满足，集合A是的恰当子集；
（2）是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，，满足题意；
时，，此时，，满足题意；
，或，.
（3）若存在A是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，
当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，
时，设，经检验没有这样的满足；
当时，设，经检验没有这样的满足；，
因此不存在A是的恰当子集，并且，
所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10.
7．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”．
(1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由：
(2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围，
(3)若时，求“复活集”A．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)；
(3).
【知识点】集合新定义
【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得.
（2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得.
（3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得.
【详解】（1）因为，
所以集合是 “复活集”.
（2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根，
于是，且，解得，
所以的取值范围是.
（3）不妨设中元素满足，且，
显然，则，而，即有，因此，
则，解得，
所以“复活集” .
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决.
考点04 集合新定义问题
1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、判断两个集合的包含关系、充要条件的证明
【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数，
所以，又，
故，C正确；
对于D，若，
则，
若，则，
不妨设，
则，
所以，，
所以除以后余数相同，
所以属于同一“类”
所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误；
故选：C.
2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.
(1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）；
(2)若，，求的最大值；
(3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由.
【答案】(1)
(2)10
(3)不一定存在，理由见解析
【知识点】集合新定义、交集的概念及运算
【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得；
（2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果；
（3）举反例和，根据题意检验即可说明.
【详解】（1）若，则，其中，
否则，，
若，当时，，，
所以，则，相差3，
因为，，
所以；
当时，，，，
所以，
因为，，
所以不存在；
（2）若，，，
当时，，，，，，，
所以，，所以不存在；
所以A中至多有5个元素；
当时，，，，，
所以，则，相差5，所以；
，
所以，，.
因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素，
所以的最大值为10.
（3）不一定存在，理由如下：
例如，
则，，，，，
则，相差不可能1，2，3，4，5，6，
这与矛盾，故不都存在；
例如，不妨令，
则，满足.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.
3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：，
(1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；
(2)若集合，且，求证：
(3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)1349
【知识点】集合新定义、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;
（2）根据集合相等的概念，能证明；
（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.
【详解】（1），，
集合，集合.
（2），，且，
T中也只包含4个元素，即，
剩下的元素满足，
；
（3）设集合满足题意，其中，
则
，
，
，由容斥原理，，
的最小元素为0，最大元素为，，
解得
实际上时满足题意，证明如下：
设，
则，
题意有，即，
m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多，
即时满足题意
综上，的最大值为1349.
【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解.
4．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合（），表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集，，…，，均存在对应的集合满足：①；②；③（），则称集合具有性质.
(1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；
(2)当，时，判断集合是否具有性质？并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不具有，理由见解析
【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义
【分析】（1）根据集合具有性质的定义即可得出答案；
（2）当，时，利用反证法即可得出结论.
【详解】（1）当时，，
集合的所有二元子集为，
则满足题意得集合可以是或或，此时，
或者也可以是或或，此时；
（2）当，时，，
假设存在集合，即对任意的，
则取，（任意构造，符合题意即可），
此时由于，若，则中必有元素，
此时，与题设矛盾，假设不成立，
所以集合是不具有性质.
【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.
5．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集．
(1)当时，写出集合的生成集；
(2)若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由．
【答案】(1)
(2)7
(3)不存在，理由见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】(1)根据直接写出集合中元素；
(2)设，且，利用生成集的定义分析中元素大小关系，不相等的元素至少有7个，再举例即可求解；
(3)不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可.
【详解】（1），所以.
（2）设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
考点06 基本不等式
1．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】分式不等式、条件等式求最值
【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
设，则，解得，
因为，，，
所以，解得或，
又因为，
所以，整理得，解得，
当且仅当时，等号成立.
因此，即，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可.
2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.
【详解】因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.
3．（多选）（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知，，且，则（ ）
A．的最大值是16B．的最小值为128
C．的最小值为10D．的最小值为
【答案】BD
【知识点】条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】直接由基本不等式即可判断A、B；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D.
【详解】因为，，且，所以，解得，当且仅当时等号成立，故A错误；
因为，由A选项分析可知，
所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
因为，，且，所以，
所以，
等号成立当且仅当，故C错误；
因为，且，
所以不妨令，
因为，
所以单调递增，
所以，
从而，等号成立当且仅当.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断较为简单，而C、D选项的关键是先等价变形表达式，然后利用基本不等式和对勾函数去判断.
4．（多选）（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最大值是2
C．的最小值是18D．的最小值是
【答案】AC
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值
【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式.
【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确；
由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；
由，得，
对于，由，得，
，
当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误.
故选：AC.
5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】条件等式求最值
【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为实数，满足，
化为，
令，，则．
联立可得，，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.
考点07 基本不等式中的恒成立问题
1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.
【详解】不等式恒成立，可转化为
恒成立，其中，
令，
，
，
第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且，
得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得，
所以的最小值为，
即，则，
所以实数的最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值.
2．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】，故，，
，，故，
当且仅当，即时取等号，故，
最小值是16，由不等式恒成立可得.
a的取值范围是，
故选：B.
3．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）命题p：，，使得不等式成立，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式的恒成立问题
【分析】由题意分离参数得，，使得不等式成立，利用基本不等式求出得最小值即可得解.
【详解】由，，使得不等式成立，
即，，使得不等式成立，
而，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以是的一个充分不必要条件.
故选：A.
4．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式的恒成立问题、不等式与多变量函数的最值
【分析】先分离常数转化成求的最小值问题，根据，把放缩成，再变形，就可以用基本不等式求最小值，即为的最大值.
【详解】因为x，y，z为正实数，所以，因为，
所以，即，又，
所以.
当且仅当时上式最右侧等号成立.
故答案为：
考点08 函数单调性及其应用
1．（23-24高二上·湖南·期中）已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】由已知判断函数的单调性，再分离参数讨论即可.
【详解】由条件可知函数在上单调递减.
存在使得成立等价于存在使得不等式成立.
由得，
∵，∴，
∴①当时，不成立；
②当时，有解.求当时，函数的最小值.
令，则，
设,,
因为
所以，所以函数是上的减函数，所以当且仅当，即时，.
故，
故选：D.
2．（23-24高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】由， 得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可.
【详解】因为对任意，，所以，即，
构造函数，则，
所以函数是上的减函数.
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得.
综上所述，实数的取值范围足，
故选：C.
3．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.
【详解】解：由题意
在中，对称轴
函数在上单调减，在上单调增
，
∵对于，均有成立
即对于，均有恒成立
在中，对称轴，
函数在上单调减，在上单调增
当即时，
函数在上单调减
函数在上单调减
∴
解得
当，即时，
函数在上单调减，在上单调增
函数在上单调减
∴
∴
解得
当，即时，
函数在上单调增
函数在上单调减
∴
∴
故不符题意，舍去.
当即时
函数在上单调增，
函数在上单调减，在上单调增，
∴
解得
当即时
函数在上单调增，
函数在上单调减，在上单调增，
此时，
∴符合题意
当时，
函数在上单调增
函数在上单调增
∴
此时
∴符合题意
综上，实数的取值范围是
故选：C.
【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.
4．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为 ．
【答案】或
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】由题可只考虑在上的单调性，分三种情况讨论即可.
【详解】由题仅考虑在上的单调性.
①当时，，其在上单调递增，不合题意；
②当时，.
任取，，
则，
因，则时，，
得在上单调递减.则；
③当时，令，
得或（舍去）.
则，
因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则
i当时，，则满足题意；
ii当时，有.
则当时，.
综上a 的范围是或.
故答案为：或
5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数.
(1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围；
(2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，．
【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得；
（2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围．
【详解】（1）设，∵，∴函数ℎx分别在区间0,2，上单调且，
要使函数分别在区间0,2，上单调，则只需；
（2）如图，可知，在0,1、、、均为单调函数，
显然，，
若，则，，则，
若，则，令，
，因此，
（Ⅰ）当时，在上单调递减，
则两式相除整理得，
∵∴上式不成立即，无解，无取值.
（Ⅱ）当时，在上单调递增，
则，即在有两个不等实根，
而令则，
，，由二次函数性质可得：，
（Ⅲ）当时，在上单调递减，
则，两式相除整理得
∴，∴，∴，
由得，
则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解.
（Ⅳ）当时，在上单调递增，
则，两式相除得，整理得，
又，，，即，因此不成立，所以无取值，
综上，的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论．
考点09 函数性质有关的恒成立，有解问题
1．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】CD
【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题
【分析】先把恒成立，转化成求的最小值问题，再在已知等式中解出，代入变形成，即求的最小值问题，在已知中解出用表示的关系式，代入，变形后用基本不等式求解即可.
【详解】由，所以，所以，
又因为，得，因为，所以，
所以，则，
当且仅当时，等号成立.，故，
则的最小值是，因为恒成立，
所以，即，解得.故A，B错.
故选：CD.
2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域；
(3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据恒成立和可求的值.
（2）判断函数在上的单调性，再求值域.
（3）根据恒成立问题求参数的取值范围.
【详解】（1）由题意：
所以.
又.
所以：，.
（2）由（1）可知：.
设，
则，
因为，所以，，，
所以.
所以函数在上单调递增.
又，，所以函数在上的值域为：.
（3）问题转化为，当时，恒成立.
若，则在上为增函数，由.
若，则，此时在上恒成立.
若，则在上为减函数，由.
综上可知：.即实数的取值范围是：.
【点睛】结论点睛：对任意的和，恒成立，可转化为在上的最大值小于等于在的最小值.
3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据函数的单调性求参数值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解；
（2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围；
（3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可.
【详解】（1）当时，故有，
则，即为或，解得：或，
∴ 不等式的解集为
（2），
若在上单调递增，则有
， 解得，
∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为
（3）设
则
不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立．
，
当时，单调递减，其值域为，
由于，所以成立．
当时，由，知， 在处取最小值，
令，得，又，所以
综上，．
4．（23-24高一下·北京石景山·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
条件①：；
条件②：，恒成立.
(1)求不等式的解集；
(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、函数新定义、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最值即可得到的值；
（2）求出分段函数，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案.
【详解】（1）若选择条件①因为，
所以，故.
所以，
因为，故，
解得或，
所以不等式解集为.
若选择条件②恒成立，故最小值为，
所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①.
（2）不论是条件①或是条件②均可以得到，
因为，
根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，，
所以，
又因为当，不等式恒成立，
故当，不等式恒成立，
即恒成立，.
因为，
当且仅当时等号成立，故，即.
5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数，
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明在区间上单调递增；
(3)若对任意的都有，求的最小值.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得.
（2）利用函数单调性的定义推理证明即可.
（3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值.
【详解】（1）函数是奇函数，
函数的定义域为，关于数0对称，而，
所以是奇函数.
（2）任取，
，
由，得，，则，即，
所以在区间上单调递增.
（3）当时，，当且仅当，即时取等号，
因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数，
因此当时，，函数的值域为，即，
由对任意的都有，得，
所以的最小值是.
6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在0,+∞上的单调性；
(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的最值求参数、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由函数为奇函数，且，
可得，则，解得，可得，
经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，
可得，所以是奇函数，满足题意
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
因为，且，所以，，
所以，所以，即，
所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增．
（2）解：由题意，函数，令，可得，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的都有恒成立，
所以，即，解得，
又因为，所以，所以实数的取值范围是．
7．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)单调递减函数，证明见解析
(2)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可得证；
（2）根据题意，转化为，结合函数的单调性，分别求得和，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：函数在上单调递减.
证明：任取且，
则，
因为且，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
（2）解：由对任意，，都有成立，即，
由（1）知，函数在区间上单调递减，所以，
因为函数在区间上为单调递增函数，所以，
即，解得，所以实数的取值范围为.
8．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最小值的表达式．
(3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的解析式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解；
（3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解．
【详解】（1）设，
又
即，
，
解得，
即，
（2）由题意得，，
则二次函数的对称轴为，
若时，，当时，的最小值为；
若时，，当时，的最小值为；
若时，，当时，的最小值为；
所以；
（3）在（2）的条件下，对任意的，存在，
使得成立，
即，
作如下图形：
故是单调递减函数，
，当时，，
当时，，
，
，
，
因为
所以时取最大值，
所以不等式，
解得：或；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键．
9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为．
(1)求的值，并证明在上单调递增；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）令可求出的值；再由单调性的定义证明即可；
（2）令可将题意转化为，恒成立，分类讨论，，，由二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以，即，解得，，
此时，，成立，
所以的值为1，
任设，则，
因为，所以，
所以，所以，
可证得在上单调递增；
（2）由，
可得，
因为，由（1）知，令，
所以，恒成立
①当时，恒成立，满足题意，
②当时，二次函数的图象开口向上，
对称轴方程为
所以当时，，解得，
③当时，二次函数的图象开口向下，
所以，解得，
综上：实数的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是将问题转化为恒成立，从而利用换元法与二次函数的性质即可得解.
10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由;
(3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值.
【答案】(1)的单调递增区间为；
(2)见解析；
(3)10.
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案；
（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，所以在上递增，
当时，，所以在上递增，
因为，
所以的单调递增区间为；
（2）当时，，
因为，所以为偶函数，
当时，因为，所以不是奇函数，
因为，，且，
所以，所以不是偶函数，
综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；
（3）当，时，，
所以，
整理得，
即在上恒成立，
因为对勾函数在上单调递增，
所以若，则在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
则，
所以，
当时，，
若时，则在上单调递增，
所以当时，取得最小值，则，
所以，当且仅当时，取得最大值10，
综上，的最大值为10.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“在上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题.
考点10 与抽象函数有关的问题
1．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为R，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是奇函数
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额.
【详解】由题意知，在函数中，2023，
当时，，解得，
若函数是R上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误.
当时，，解得，
无法得到，故A错误.
在函数中，，
所以是奇函数，故C错误，D正确.
故选：D.
2．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
【答案】AC
【知识点】抽象函数的奇偶性、由函数的周期性求函数值
【分析】利用赋值法可求周期，，结合赋值法可以排除选项B,D.
【详解】对于A，令得，，因为，所以，A正确；
对于B，因为，所以一定不是奇函数，B不正确；
对于C，由得；由得；
由得；由得，，
所以的周期为2，所以，C正确；
对于D，令，，所以，D错误.
故选：AC
3．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．若，则关于中心对称
D．若，则
【答案】BC
【知识点】由函数的周期性求函数值、判断或证明函数的对称性、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解.
【详解】对于A，令，有，而不恒为0，则，A错误；
对于B，由A知，令，有，
即，则函数为偶函数，B正确；
对于C，若，令，有，
则关于中心对称，C正确；
对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则，
即，因此，是周期为4的周期函数，
显然，，即，
所以，D错误.
故选：BC
4．（多选）（2024·安徽安庆·二模）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ）
A．B．
C．函数为减函数D．函数的图象关于点对称
【答案】ACD
【知识点】函数对称性的应用、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值
【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：借助赋值法令，计算即可得；对C：结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得.
【详解】对A：令，则有，故，故A正确；
对B：令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，
即函数为减函数，故C正确；
对D：令，则有，又，
故，故函数的图象关于点0,1对称，故D正确.
故选：ACD.
5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；
(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值
【分析】（1）利用赋值法可得与；
（2）利用赋值法可得，且当时；
（3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可.
【详解】（1）由，
则，
又当时，，
则，
；
（2）令，则，即，
当时，，且，
即，
即在上恒成立，
由，可知，
令，，且，即，
则，
所以，
即在上单调递增；
（3）由已知，
又由（1）得，
所以，
又函数在上单调递增，
则恒成立，
所以恒成立，
又，
即，
解得.
6．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若，求不等式的解集．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)在上单调递减，证明见解析；
(3).
【知识点】求函数值、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证；
（2）设，令，结合的范围即可判断，得证；
（3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得.
【详解】（1）令，则，又，所以．
证明：当时，，所以，
又，所以，所以；
（2）在R上单调递减．
证明：设，则
，
又，所以，所以，
又当时，，当时，，
所以，即，
所以在R上单调递减；
（3）因为，所以，
所以，即，
又在R上单调递减，所以，
解得，所以不等式的解集为．
7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)试判断的单调性，并证明；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值
【分析】（1）由赋值法即可求解，
（2）利用单调性的定义即可求证，
（3）由函数的单调性，列不等式即可求解.
【详解】（1）令，得，解得；
（2）在0,+∞上单调递减，证明如下：
不妨设，
所以
，
又，所以，所以，所以，
即，
所以在0,+∞上单调递减；
（3）由（2）知在0,+∞上单调递减，
若，即，
所以，
解得或，即的取值范围是．
8．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且.
(1)求证：为奇函数；
(2)求在上的最小值；
(3)解关于的不等式：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论；
（2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解；
（3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】（1）证明：因为函数的定义域为R，
令，则，解得.
令，则，则f−x=−fx，
所以，函数为奇函数.
（2）解：任取，则，
因为当时，，则，
由（1）知，，
即，所以，函数在R上单调递减，
所以，函数在上的最小值为，
因为f−1=2，，
，所以，，
即函数在上的最小值为.
（3）解：由（1）知，，
所以，，
因为函数在R上单调递减，则，即，
解得，即不等式的解集为.
考点11 函数性质中的新定义题
1．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数新定义
【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数”.
【详解】对于选项A：若时，对，，当时，
则，
所以不为“理想函数”，故A正确；
对于选项B：若时，对，，当时，
则，
所以不是“理想函数”，故B错误；
对于选项C：时，例如，
则，
所以不为“理想函数”，故C错误；
对于选项D：若时，对，，当时，
则，
所以为“理想函数”，故D正确；
故选：D.
【点睛】思路点睛：定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念.解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。
2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据“中心捺函数”的定义以及函数的单调性、奇偶性，化简不等式，求得，进而求得正确答案.
【详解】对任意，都有，
则在上单调递减.
函数是以为中心的“中心捺函数”，
所以函数在上单调递减，则在上单调递减，
且关于对称，即是奇函数，
所以，即，
所以，
若，则，没有意义，
若，则，没有意义，
所以且，
由两边除以得，
解得，所以，
所以.
故选：C
【点睛】函数的单调性的定义有多种形式，如：任取，通过计算得到，即可判断出函数函数的单调性；也可以形如：或等形式，也可以判断出函数的单调性.
3．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解.
【详解】函数在上单调递增，，则，即，
由，得，即，
又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减，
而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且，
由及，得，因此或，
解，当时，，，此时不等式组无解，
当时，，，不等式组的解为，
当时，，，则有，解得，即，
因此不等式组的解为，
解，由，得，则，不等式组无解，
所以“立冬函数”的x的取值范围是.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.
4．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（ ）
A．B．函数的值域为
C．存在无数多个，有D．存在无限实数集，对于，当时，有
【答案】BCD
【知识点】函数图象的应用、函数新定义
【分析】取特殊范围探究规律，然后作出函数图象观察即可得答案.
【详解】首先注意定义域，即，由定义可知时，
即的定义域为．故A错．
不妨取一些特殊范围进行观察：
时，，即；
时，，即；
时，，即；
接下来我们不妨找到一般性规律，且时有：
时，，即；
作出函数图象如图：
由图可知，函数的值域为，B正确；
存在无数个，使得，故C正确；
由图可知，存在无数递减区间，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】本题难点在于对新定义的理解，然后通过特殊范围探究函数规律，最后利用函数图象即可求解.
5．（多选）（23-24高一上·安徽六安·期中）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在跟随区间
B．若为的跟随区间，则
C．二次函数存在“3倍跟随区间”
D．若函数存在跟随区间，则
【答案】BC
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据函数的单调性求参数值、函数新定义
【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项，由题，因为函数在区间与0,+∞上均为增函数，
若存在跟随区间则有，即为的两根．
即的根，故，故A错误．
对于B选项，若为的跟随区间，
因为在区间为增函数，故其值域为，
根据题意有，解得或，因为故，故B正确．
对于C选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递增，
此时易得为方程的两根，
求解得或.故定义域−1,0，则值域为．故C正确．
对于D选项，若函数存在跟随区间，
因为为减函数，
故由跟随区间的定义可知，
即，
因为，所以．
易得．
所以，
令代入化简可得，
同理也满足，
即在区间0,1上有两不相等的实数根．
故，解得，故D错误．
故选：BC
6．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”.
(1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？
(2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)是，不是
(2)存在，
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义
【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可；
（2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，所以是点的界函数；
因为，，所以，
所以不是点的界函数；
（2）因为在函数上，所以，
所以，都有.
当，即时，在上单调递减，
所以，
所以，得，解得或（舍去）；
当，即时，，
所以，无解；
当，即时，，
所以，无解；
当，即时，在上单调递增，
所以，所以，得，解得或（舍去）.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”．
(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由：
(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)1；
(3).
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、函数新定义
【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解.
（2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得.
（3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．
【详解】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”，
取，，由，得，显然此方程无实数解，
所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”.
（2）函数为区间上的“1阶自伴函数”，
则对任意，总存在唯一的，使得，
即，整理得，显然函数在上单调递减，
且当时，，当时，，
因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而，
于是，则有，解得，即，
所以的值是1.
（3）由函数在上单调递减，得函数的值域为，
由函数是在区间上的“2阶伴随函数”，
得对任意的，总存在唯一的时，使得成立，
于是，则在区间上的值域必定包含区间，
且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为，
显然，，
①当时，在上单调递增，则，
即，解得；
②当时，在上单调递减，则，
即，解得；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，则，
即，解得；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，则，
即，解得，
所以a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围.
8．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.
(1)若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
(2)若是“一阶比增函数”，求证：，，；
(3)若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数新定义、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）由题意得在是增函数，由一次函数性质；
（2）由，可得，，两式相加化简即可得结果；
（3）取，满足，记，由（2）知，同理，，则一定存在，使得.
【详解】（1）由题意得在是增函数.
由一次函数性质知：当时，在（）上是增函数，
（2） 是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又 ，有，
，，
，，
（3）设，其中，因为是“一阶比增函数”，所以当时，.
取，满足，记，由（2）知，
同理，，
所以一定存在，使得，
所以一定有解.
【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
9．（22-23高一下·广东深圳·期中）俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.
(1)若，，求函数与的“偏差”；
(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.
【答案】(1)；
(2)时，函数与的“偏差”取得最小值为
【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义
【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差；
（2）令，，结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”.
【详解】（1），
因为，所以，
则，
所以函数与的“偏差”为.
（2）令，
，
因为，所以，，
当，即时，此时，
则的“偏差”为，此时，
当，即时，此时，
则“偏差”为，此时，无最小值，
当，，且，
即时，则“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，且，
即时，则的“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，且，
即时，则的“偏差”为，此时，
当，，即时，
则的“偏差”为，
此时，无最小值，
当，，即时，
则的“偏差”为，此时，
综上， 时，函数与的“偏差”取得最小值为.
【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，解决此类问题，一般需要结合函数的性质进行分类讨论.
10．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数．
(1)求证：是的生成函数；
(2)若是的生成函数，判断并证明的单调性；
(3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)函数在R上单调递增；
(3).
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数新定义
【分析】（1）由生成函数的定义，判断是否满足，即可证明；
（2）由题意可得，由可得，结合单调函数的定义即可求解；
（3），且，设，则，由生成函数的定义可得，分两种情况讨论即可.
【详解】（1），且，
，
由，得，
则满足，
所以是的生成函数；
（2）因为是的生成函数，
所以对任意区间且，使，
即，由，
得，又，
所以，即，
所以函数在R上单调递增；
（3），且，设，
则，，
当时，的值域为，
对任意区间且，使且，
满足，
即，
此时是的一个生成函数.
同理，当时，的值域为，
对任意区间且，使且，
满足，
即，
此时也是的一个生成函数.
综上：是的一个生成函数.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解新定义“生成函数”的性质，以学习过的函数相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.