专题05 函数的概念及其表示（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册）

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【清单01】函数的定义
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(functin)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
【清单02】函数的三要素
（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
（3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).
【清单03】求函数解析式
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
（2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
（3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
（4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
【考点题型一】求常规函数的定义域
【解题方法】使得函数有意义的范围
【例1-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）函数的定义域为 ．
【变式1-2】（24-25高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ．
【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域
【解题方法】对应关系“”作用下的整体取值范围相同
【例2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）若f2x+1的定义域是，则的定义域为 ．
【考点题型三】一次、二次、反比例函数的值域
【解题方法】画图法
【例3-1】（23-24高一上·北京朝阳·期中）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（23-24高一上·全国·单元测试）函数的值域为
【例3-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）函数的值域是 ；
（2）函数的值域是 .
【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
(1)，；
(2)，．
【考点题型四】根式型值域
【解题方法】换元法
【例4-1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
【变式4-1】（23-24高一上·辽宁锦州·期中）函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【例4-2】（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．−∞,1D．
【变式4-2】（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数的值域是 .
【例4-3】（23-24高一·全国·课后作业）求函数的值域．
【变式4-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的值域.
【考点题型五】分式型值域
【解题方法】分离常数法，换元法，判别法
【例5-1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ．
【变式5-1】（2023高一·全国·专题练习）求下列函数的值域
【例5-2】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域．
【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域.
【例5-3】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域
【变式5-3】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的值域为 .
【考点题型六】求函数的解析式（待定系数法）
【解题方法】设出函数解析式，对比系数求解
【例6-1】（23-24高一上·四川内江·期中）根据下列条件，求函数的解析式
(1)已知是一次函数，且满足；
【变式6-1】（23-24高二下·河北秦皇岛）一次函数在上单调递增，且，则 .
【例6-2】（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
【变式6-2】（23-24高一上·湖北孝感·期中）（1）已知二次函数满足，且.求的解析式；
【考点题型七】求函数的解析式（换元法）
【解题方法】换元法
【例7-1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A．B．（）
C．（）D．（）
【变式7-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【例7-2】（23-24高一上·浙江宁波）设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C．D．
【变式7-2】（23-24高一上·山东青岛）已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【考点题型八】求函数的解析式（方程组（消去）法）
【解题方法】联立方程组消元
【例8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ．
【变式8-1】（23-24高一下·全国·课堂例题）函数满足，求函数的解析式.
【例8-2】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式
【考点题型九】赋值法求抽象函数的解析式
【解题方法】赋值法
【例9-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0B．1C．2024D．2025
【变式9-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25B．125C．625D．15625
【例9-2】（2024·浙江温州·三模）定义在上的函数满足：，则 .
【变式9-2】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）设函数的定义域为，，若，则等于（ ）
A．B．1C．D．
【考点题型十】函数概念中新定义题
【例10-1】（23-24高一上·广东广州·期中）对于函数，如果存在实数a，b使得函数，那么我们称为函数，的“函数”
(1)已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出a，b的值；若不是，说明理由；
(2)已知，，为函数，的“函数“（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值．
【例10-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数h（x）与函数f（x），g（x）的定义域均相同，如果存在非零实数m，n，使得h（x）=mf（x）+ng（x），那么称h（x）是f（x），g（x）的生成函数，其中m，n称为生成系数.
(1)若函数h（x）是函数f（x）=x2+x-3，g（x）=x的生成函数，且该函数是对称轴为y轴的二次函数，求h（）；
(2)若函数h（x）=x2+x-1是函数f（x）=x2+ax，g（x）=3x+b（a，b∈R，ab≠0）的生成函数，
①求a+3b的取值范围；
②设函数F（x）=h（x）+f（x），x∈[0，3]，求F（x）的值域.
提升训练
一、单选题
1．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三下·全国·竞赛）当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（ ）
A．10000B．10082C．10100D．10302
6．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（ ）
A．0B．1C．5D．
7．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（ ）．
A．B．
C．D．
8．（23-24高三上·江西）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．
二、多选题
9．（21-22高一上·云南大理·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 .
12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
四、解答题
13．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求；
（2）已知为二次函数，且，求；
（3）已知函数对于任意的x都有，求．
14．（23-24高二下·安徽·期末）函数，满足．
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值．