高一预习-专题强化2 函数概念和性质考点梳理（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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【考点突破】
一、求函数的定义域
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，故，
所以的定义域为，
故函数中的需满足：，
故，故函数的定义域为，
故选：D.
2．函数的定义域是_____________.
【答案】
【分析】根据分式以及0次方满足的关系即可求解.
【详解】的定义域满足 ，解得且，
故答案为：
3．函数的定义域为 _________.
【答案】
【分析】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解.
【详解】解：由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
故答案为：.
4．已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是______.
【答案】
【分析】由的定义域得出，进而由得出所求.
【详解】因为函数的定义域为，所以，
即，解得
故函数，则函数的定义域是
故答案为：
二、分段函数
1．已知，则f(3)=（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根据分段函数的定义计算函数值．
【详解】.
故选：B
2．设函数 ，若，则实数（ ）
A．2B．C．或2D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，分段求解方程，可得a的值，即得答案.
【详解】由于，
故当时，，则，
当时，令，则，
故实数或，
故选：C
3．设函数,则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式，分，解不等式即得.
【详解】当时，，解得或，
所以或；
当时，，解得，
所以；
综上，满足的的取值范围是.
故选：D.
4．若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围.
【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A.
【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.
5．（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域是B．的值域是
C．为单调递增函数D．若，则
【答案】ABC
【解析】根据分段函数的解析式分别判断其定义域、值域，单调性，由函数值求自变量.
【详解】因为，
所以函数的定义域为R，故A正确；
当时，，当时，，所以的值域为R，故B正确;
当时，为增函数，当时，为增函数，且连续
故为R上的增函数,故C正确；
当时，若，则，解得，舍去，若时，，解得或舍去，故，故D不正确.
故选：ABC
6．已知函数.
（1）求函数的分段解析式及单调区间
（2）作图求时，函数的最大值.
【答案】（1），单调增区间是和,单调减区间为.（2）答案见解析.
【解析】（1）对函数去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断．
（2）令（），解出，对实数的范围分类讨论求解．
【详解】（1）， 由分段函数的图象知,
函数的单调增区间是和,单调减区间为.
（2）当时，解得，
所以当时，函数的最大值为，
当时，函数的最大值为；
当时，函数的最大值为.
【点睛】方法点睛：（1）对于分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.
（2）求在不定区间上的最值，需分类讨论，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.
三、函数性质的综合应用
1．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依据偶函数性质及函数单调性即可对，，进行大小比较.
【详解】函数为偶函数，则，
当时，是减函数，又，
则，则
故选：C
2．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解抽象不等式即可.
【详解】由题知：在区间上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，不符合题意，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，不符合题意，
综上的解集为
故答案为：
3．已知函数
(1)判断函数的单调性，并证明；
(2)用函数观点解不等式：.
【答案】(1)增函数，证明见解析；(2).
【分析】（1）根据函数单调性的定义即得；
（2）由题可得，结合函数的单调性即得.
【详解】（1）任取，则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以在区间上是严格增函数；
（2）由（1）得在区间上是严格增函数，且，
所以由，可得，
所以的解集为.
4．已知函数，．
(1)用定义证明函数在上为增函数；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据题意，利用定义法证明函数的单调性即可；
（2）根据题意，由（1）中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】（1）任取，，且，则，
因为，所以，，所以，即，
所以函数在上为增函数．
（2）由（1）知在上为增函数．
又，所以解得即，
所以实数a的取值范围是．
5．已知函数f(x)＝eq \f(mx2＋2,3x＋n)是奇函数，且f(2)＝eq \f(5,3).
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
【详解】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴eq \f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq \f(mx2＋2,3x＋n)＝eq \f(mx2＋2,－3x－n).
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝eq \f(5,3)，
∴eq \f(4m＋2,6)＝eq \f(5,3)，解得m＝2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(2x2＋2,3x)＝eq \f(2x,3)＋eq \f(2,3x).
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1f(1－a)，，解得.
故答案为：
14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，求当时，的表达式.
【答案】.
【分析】由时，得到，结合题意和，即可求解.
【详解】当时，则，
因为时，，
所以，
又因为是上的偶函数，所以，
即时，.
15．函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)计算，；
(2)求的解析式．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，，计算得到答案.
（2）令，则，则，再根据奇函数性质得到解析式.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，．
（2）令，则，则，
又函数是奇函数，，所以，
所以．
16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x，0