高一预习-5.4 三角函数的图像与性质（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

这是一份高一预习-5.4 三角函数的图像与性质（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共29页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业，方法点晴等内容，欢迎下载使用。

知识点 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
【基础自测】
1．函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定义域是( )
A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6))))) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,12)))))
C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z)))) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))
【答案】D
【详解】由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z.
2．下列函数中周期为eq \f(π,2)，且为偶函数的是( )
A．y＝sin 4x B．y＝cs eq \f(1,4)x
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x－\f(π,2)))
【答案】C
【详解】显然周期为eq \f(π,2)的有A和C，
又因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2)))＝cs 4x是偶函数，故选C.
3．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在[0，π]上的单调递减区间为( )
A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))
【答案】D
4．函数y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))在x＝________时，y取最大值．
【答案】4kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
【详解】当函数取最大值时，eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
5．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．
【答案】[－4,4]
【详解】∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
【例题详解】
一、三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
【详解】要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
(2)函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的定义域是( )
A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4))))) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)))))
C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))
【答案】D
【详解】由x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得x≠kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z.
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝ln(cs x)的定义域为( )
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
【答案】C
【详解】由题意知，cs x>0，
∴2kπ－eq \f(π,2)∴函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.
(2)函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】解得
故答案为
二、三角函数的值域
例2 (1)函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的范围，结合正弦函数的图象，求出的范围，从而可求函数的值域.
【详解】∵，∴，∴，
所以函数的值域为．
故选：D.
(2)函数y=tan（+），x∈（0，]的值域是______．
【答案】
【分析】根据，，求解的范围，结合正切函数的性质可得值域；
【详解】解：由，，，
结合正切函数的性质可得：．
故答案为，．
【点睛】本题考查了与正切函数有关的值域求法，是基础题．
(3)函数y＝4cs2x＋4cs x－2的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数性质以及三角函数有界性求得值域.
【详解】解：，
因为，所以当时，，当时，，
因此值域是
故选：B.
跟踪训练2 (1)函数的值域为（ ）
A．[0，1]B．C．D．
【答案】B
【解析】根据自变量的范围，得到的范围，进一步得到答案.
【详解】解：，，所以.
故选：B.
(2)函数，的值域为____________．
【答案】
【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用换元法可求函数的值域.
【详解】因为，故，
令，因为，故，
故即函数的值域为.
故答案为：.
题型三、三角函数的周期性
例3 (1)下列函数中，是周期函数的为( )
A．y＝sin|x| B．y＝cs|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
【答案】B
【详解】∵cs|x|＝cs x，∴y＝cs|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．
(2)在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
【答案】A
【详解】试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与相同，;②中函数的周期是函数周期的一半，即; ③; ④，则选A．
考点：三角函数的图象和性质
跟踪训练3 下列函数中周期为且为偶函数的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对于每一个选项化简再判断得解.
【详解】对于选项A,周期为且是偶函数，所以选项A正确；
对于选项B,，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；
对于选项C,y=csx,周期为2π，所以选项C错误；
对于选项D,y=-sinx,周期为2π，所以选项D错误.
故答案为A
【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是.
题型四、三角函数的对称性
例4 (1)若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.
【详解】由题，得，所以，
令，得，
所以的对称轴为，
当时，，
所以函数的一条对称轴为.
故选：A
(2)函数的图象的一个对称中心可以是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，解得：，当时，
的图象是由的图象向上平移个单位得到的，函数的图象的一个对称中心可以是
故选
点睛：正切函数的对称中心为，那么可以令，解得：，代入一个整数时，就得到了一个对称中心，又根据的图象是由的图象向上平移个单位得到的，即可求得答案．
(3)已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦型函数的对称性，可以得到一个等式，结合四个选项选出正确答案.
【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以有
，当时，，故本题选D.
【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了数学运算能力.
跟踪训练4 (1)函数的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算余弦型函数的对称中心，然后直接进行判断即可.
【详解】令，则
所以函数的对称中心为
令，所以函数的一个对称中心是
故选：B
【点睛】本题考查余弦型函数的对称中心，属基础题.
(2)如果函数y=3cs(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.
【详解】因函数y=3cs(2x+φ)的图象关于点对称，则有，
于是得，显然对于是递增的，
而时，，，当时，，，
所以|φ|的最小值为.
故选：A
题型五、三角函数的单调性
例5 (1)函数的单调递增区间是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】根据正切函数的图象与性质，令，即可求得函数的递增区间，得到答案.
【详解】由题意，令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A.
(2)已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,，且均属于，而，大小关系即可确定.
【详解】解：；，
，即.
又正切函数在上单调递增，
；
；
，
，
故选：C.
(3)函数的单调递减区间为___________.
【答案】
【详解】试题分析：因为，所以转化为求的增区间，由，解得（），故原函数的单调递减区间为，注意复合函数单调性的规律：“同增异减”.
考点：三角函数的性质：单调性.
跟踪训练5 (1)函数的单调增区间是__________．
【答案】
【分析】利用整体代入法求得函数的单调增区间.
【详解】由，解得，
所以的递增区间是 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
(2)下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用正切函数的单调性可判断AB选项的正误，利用余弦函数的单调性可判断C选项的正误，利用正弦函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，
因为正切函数在上为增函数，且，
所以，，即，A选项错误；
对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，
所以，，B选项错误；
对于C选项，，，
因为余弦函数在为减函数，且，
所以，，即，C选项正确；
对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，
所以，，D选项错误.
故选：C.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
【课堂巩固】
1．函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正切函数的定义域和值域，求得该函数的值域．
【详解】解：对于函数，，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正切函数的定义域和值域，属于基础题．
2．设则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．
解：∵a=sin33°，b=cs55°=sin35°，
∴a＜b，
又，
∴c＞b＞a．
故选C．
考点：不等式比较大小．
3．下列关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据正弦函数的性质及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质及诱导公式判断D；
【详解】解：对于A：因为，，，故A 错误；
对于B：因为在定义域上单调递减，因为，所以，又，，因为在上单调递增，所以，所以，所以，故B正确；
对于C：因为在上单调递减，因为，所以，又，所以，故C错误；
对于D：因为在上单调递减，又，所以，又，所以，故D错误；
故选：B
4．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.
【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是
故选：D
【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.
5．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称D．函数是奇函数
【答案】D
【详解】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数, 函数的图像关于直线对称, 函数是偶函数.
考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.
6．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．直线是函数图像的一条对称轴
D．的递减区间是，
【答案】D
【解析】根据函数的解析式，得到其最小正周期，值域，对称轴和递减区间，然后对四个选项分别进行判断，得到答案.
【详解】函数
所以函数的最小正周期，所以选项A错误；
由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；
当时，，，
不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.
令，，
可得，，
的递减区间是，，所以选项D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称性和单调区间，属于简单题.
8．函数的单调递增区间为__________．
【答案】，
【分析】先求出函数的单调递增区间，再与定义域取交集可得出答案．
【详解】正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
故函数的增区间为
再结合，可得函数的增区间为，
故答案为：，
【点睛】方法点睛：本题考查复合型正弦函数的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题首先应求出这个函数在上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以及三角函数基本性质的应用，属于中等题．
9．函数的定义域为_____________ ．
【答案】
【分析】对数函数要求真数大于0，解正弦不等式，求出定义域.
【详解】由题意得：，故，则
故答案为：
10．已知，则实数的大小关系为__________.
【答案】
【分析】确定，再比较大小得到答案.
【详解】，故，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，意在考查学生对于三角函数知识的灵活运用.
11．关于下列命题：
①若是第一象限角，且，则；
②函数是偶函数；
③函数的一个对称中心是；
④函数在上是增函数，
所有正确命题的序号是_____．
【答案】②③
【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；
对于②，函数y=sin=-cs πx，f(x)=-cs(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，
当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；
对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．
12．已知函数.
(1)求的定义域、值域；
(2)探究的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性.
【答案】(1)定义域为，值域为；(2)答案见解析.
【分析】(1)根据给定函数结合正切函数的定义域和值域即可计算作答.
(2)借助正切函数的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性探讨相应性质即可作答.
【详解】(1)函数，令，解得，
所以的定义域为，值域为.
(2)依题意，函数为周期函数，其最小正周期；
由(1)知，函数的定义域为，显然，而，
即函数的定义域关于数0不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；
由得：，
所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间；
由得：，
所以函数的图象的对称中心是.
【课时作业】
1．函数的最大值为（ ）
A．1B．0C．2D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的值域求解.
【详解】当等于时，有最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦函数的最值，属于简单题.
2．已知，，，则下列关系中正确的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性、正切函数的值域即可得出．
【详解】，，∴，
又∴，
则下列关系中正确的是：．
故选C．
【点睛】本题考查了指对函数的单调性、三角函数的单调性的应用，属于基础题．
3．对于函数，有以下四种说法：
①函数的最小值是
②图象的对称轴是直线
③图象的对称中心为
④函数在区间上单调递增．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误．
【详解】函数，
当时，即，函数取得最小值为，故①正确；
当时，即，函数的图象的对称轴是直线，故②错误；
当时，即，函数的图象的对称中心为，故③错误；
当，即，函数的递增区间为，
当时，的递增区间为，故④正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：函数的递增区间转化为的递减区间.
4．函数的单调递增区间是( )
A．，k∈ZB．，k∈Z
C．，k∈ZD．，k∈Z
【答案】B
【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.
【详解】由题意，函数，
令，解得，
即函数单调递增区间是，故选B.
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据函数的一个零点是，得出，再根据直线是函数图象的一条对称轴，得出，由此求出的关系式，进而得到的最小值与对应的值，进而得到函数的解析式，从而可求出它的单调增区间．
【详解】∵函数 的一个零点是，
∴，
∴，
∴，或．①
又直线是的图像的一条对称轴，
∴，②
由①②得，
∵，
∴；
此时，
∴，
∵，
∴，
∴．
由，
得．
∴的单调增区间是．
故选A．
【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．
6．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由对称轴距离求得，由函数值求得，写出函数解析式，
，解出解集即可.
【详解】由题知，函数的周期，则，
又，，
则，函数解析式为
则
由正弦函数性质知，，
解得
故选：C
7．设,,,c，则下列关系式正确的是 （______）
A．B．.C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦函数为偶函数，所以，再根据余弦函数在区间上单调递减，可比较值的大小．
【详解】因为函数f(x)=csx是偶函数，所以，
且,函数f(x)在区间上单调递减，
所以，即,选C.
【点睛】本题综合考查三角函数奇偶性、单调性与对数函数的公式，由x值的大小比较y值的大小是一种常见题型，需要分析出所给函数的性质．
8．函数有（ ）个不同的零点
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由结合正弦函数的性质得出零点的个数.
【详解】易知在上单调递增，，即函数在上只有一个零点；
当时，，由得出，即，，，解得，即在上有4个零点.
综上，有5个零点.
故选：C
9．（多选）若函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象与的图象重合
B．
C．
D．存在唯一的，使得
【答案】AC
【分析】逐项代入验证，化简即可得到结果.
【详解】，A对；
，
，
，B错；
，，C对．
，，
当，即时，，，使得；
当，即时，，，使得.
所以，有两解.
故选：AC.
10．函数的单调递减区间为________.
【答案】 (k∈Z)
【分析】化简函数解析式，由，即可得结果.
【详解】由y＝cs＝cs，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为 (k∈Z).
【点睛】函数（）的单调区间的求法：把看作是一个整体，由可求得函数的减区间，由可求得增区间.
11．已知函数，是偶函数，则______.
【答案】
【分析】由为偶函数可知当时,取得最大或最小值 ,再计算即可.
【详解】因为为偶函数,故当时,取得最大或最小值.即.
即.又,故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据三角函数性质求参数的问题,属于基础题型.
12．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_______．
【答案】
【详解】，若函数在上单调递减，则，，若，则，，，，若函数在上单调递减，则满足，即，即，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查三角函数的性质及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．
13．若函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，则实数的值可以是__________（写出一个满足题意的值即可）．
【答案】（答案写内任意的实数都正确）.
【分析】本题为开放性题目，答案不唯一，通过换元，把原命题转化为函数的图像在
上恰好有一个点的纵坐标为，结合正弦函数图像，解得的范围，得到答案.
【详解】因为函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，
令，由，得，，即，
原命题等价于，函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，
所以，即，解得.
故答案为：（答案写内任意的实数都正确）.
14．给出下列四个命题：
函数的一条对称轴是；
函数的图象关于点对称；
若，则，其中；
④函数的最小值为.
以上四个命题中错误的个数为____________个.
【答案】1
【分析】对于①：由f（）=﹣2，可判断；
对于②：由函数y=tanx满足f（x）+f（π﹣x）=0可判断；
对于③：可得2x1﹣=mπ，2x2﹣=nπ，（m∈Z，n∈Z），∴x1﹣x2=π=kπ，其中k∈Z，即可判定；
对于④：函数y=cs2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣（sin2x﹣）2+，即可求最小值，从而判定；
【详解】对于：因为，所以的一条对称轴是，故正确；
对于：因为，所以，所以的图象关于点对称，故正确；
对于，若则所以故错误；
对于④，函数当时，函数取得最小值，故④正确.
综上，共有1个错误.
故答案为：1
【点睛】函数的性质
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;由求减区间.
15．已知函数的最小正周期为.
（1）求的单调增区间和对称轴；
（2）若，求的最大值和最小值.
【答案】（1），；（2），.
【分析】（1）利用函数的最小正周期求出，利用余弦函数的单调增区间和对称轴求出答案；
（2）利用，求出，可得的最大值和最小值．
【详解】（1）由题意知，解得，
所以，
令，
解得，
故函数的单调递增区间为.
令，
解得，
所以的对称轴为.
（2）∵，则，
∴当时，.
当时，，
所以时，，.
【点睛】本题考查三角函数的性质，考查余弦函数的单调性和最值，考查对称中心的求法，属于中档题．
16．已知函数．
(1)令，判断函数的奇偶性；
(2)求在区间上的最值．
【答案】(1)函数是偶函数
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）利用三角函数的平移规律和诱导公式化简可得，再利用单调性的定义判断可得答案；
（2）利用正弦函数的单调性判断可得答案.
【详解】（1），
，，
函数是偶函数；
（2），
因为时，，所以在区间上单调递增，
时，，所以在区间上单调递减，
因为，，，
所以最大值为，最小值为．
17．若x∈[－， ]，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．
【答案】x＝－时，y取最小值1；x＝时，y取最大值5.
【详解】y＝＋2tan x＋1
＋2tan x＋1
＝tan2x＋2tan x＋2
＝(tan x＋1)2＋1.
∵x∈[]，
∴tan x∈[－，1]．
故当tan x＝－1，即x＝时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
点睛：
（1）解答本题时要注意从题目中函数解析式的特点出发，根据三角变换将函数化为二次函数的形式，然后根据所给出的x的范围，探求出中间变量（本题中为）的范围，根据二次函数求最值的方法求解．
（2）求二次函数在闭区间上的最值时，一是要考虑函数图象（抛物线）的开口方向，二是要考虑对称轴和区间的关系，若题目中含有字母，还应对字母的取值情况进行分类讨论．
18．求下列函数的值域：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由定义域可得，令则，所以，再根据幂函数的性质计算可得；
（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：（1）因为，所以
令则
所以
因为，所以，，，
，即
（2）因为
所以
令，
所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，
所以
即函数的值域为
【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ