吉林省多校2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

这是一份吉林省多校2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题，共20页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，已知，直线与的交点在圆，以下四个命题表述正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为20分钟.考试结束后，只交答题卡.
第I卷客观题
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.“”是“直线和直线平行且不重合”的（ ）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5.已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.4
6.已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知分别是椭圆的左､右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A.或 B.或 C.或 D.或
8.在平面直线坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作，给出下列四个命题：（ ）
①对任意三点，都有，
②已知点和直线，则，
③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；
④定点，动点满足，则点的轨迹与直线为常数有且仅有2个公共点.
其中真命题的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.以下四个命题表述正确的是（ ）
A.过两点的直线方程为
B.已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为
C.“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D.直线的距离为
10.已知是圆上两点，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若点到直线的距离为，则
C.若，则的最小值为
D.若，则的最大值为
11.已知，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A.最大时， B.的最小值为
C. D.的取值范围为
第II卷主观题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.与圆同圆心，且过点的圆的方程是__________.
13.圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为__________.
14.如图，椭圆的左､右焦点分别为，过点作椭圆的切线，切点为，若为轴上的点，满足，则点的坐标为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程.
（2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程.
16.为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度为32米，拱桥顶点离河面8米，
（1）如果以跨度所在直线为轴，以中垂线为轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由.
17.已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程
（2）过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
18.已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值；
（3）过点A的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由.
19.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方），的周长为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直.
①若，求异面直线和所成角的余弦值，
②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
2024—2025学年度上学期第一次月考
高二数学试题答案及评分标准
一､单选题
1.C 因为直线的斜率，
所以直线的倾斜角为.
故选：C.
2.A 由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A.
考点：圆的一般方程.
3.C 设中点为，则，
，
，
，即，
又直线与圆交于不同的两点，
，故，
则，
.
故选：C.
4.C 当时，两直线分别为：，
两直线斜率相等且，
两条直线平行且不重合；充分性成立，
若两直线平行且不重合，则，
，必要性成立，
综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件，
故选：C.
5.D 因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，即，
则
因为，且，所以，
所以，
当且仅当即等号成立，
则的最小值是4.
故选：D.
6.A ，所以直线恒过点，
，所以直线恒过点，由两条直线的方程可以判断直线与直线互
相垂直，因此点在以为直径的圆上，线段中点为，
半径为，
圆的圆心为，半径为，
由已知条件可知点在圆上，
所以圆与圆相交或相切，，
因此有，
解得：，所以则的最大值是，
故选：A
7.B
由，得，则，则，
则，即，解得，
则，
因为，所以，
即，整理得，
则，解得或，
故或.
故选：B.
8.A
解：①对任意三点A､B､C，若它们共线，设，，
如图，结合三角形的相似可得
为，或，则；
若或对调，可得；
若不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
则对任意的三点，都有；故①正确；
设点是直线上一点，且，
可得，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是.无最值，
综上可得，两点的“切比雪夫距离”的最小值为.
故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为，则，
若则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点，动点
满足，可得不轴上，在线段间成立，
可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，
即为，为射线，由对称性可得在第二象限､第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.
故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，
故选：A.
二多选题
9.CD
A：若两点的纵坐标或者横坐标相等，则不能用该方程表示直线，故错误；
B：直线过点，且在轴上截距相等，除直线外，还可以是直线，故错误；
C：直线与直线垂直的充要条件是，解得或
故，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故正确；
D：因为直线平行，则两平行直线的距离，故正确.
综上所述，正确的选项是CD.
故选：CD.
10.AD 因为是圆上两点，
当时，为正三角形，所以，A正确；
点到直线的距离为时，错误；
的值可转化为单位圆上的到直线
的距离之和，又，
所以为等腰三角形，设是的中点，
则，且
则在以点为圆心，半径为的圆上，
两点到直线的距离之和为
点到直线的距离的2倍，
点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
最小值为，则两点到直线的距离之和
最大值为，最小值为.
所以的最大值为，
最小值为错误，D正确；
故选：AD
11.BCD
由，得，，，
A选项：设，则，，，所以当点在短轴端点时，面积最大值为，
此时由内切圆性质可知，
则，A选项错误；
设，，则，
B选项：如图所示，设中点为，则，所以，
又，
同理，
所以，当且仅当时，等号成立，B选项正确；
C选项：设与交于点，由角分线定理可知，即，即，
所以，所以，C选项正确；
D选项：设，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
则，且，即，当且仅当时取等号，
所以，
，
所以，
则，D选项正确；
故选：BCD.
三､填空题
12.
依题意，设所求圆的方程为，
由于所求圆过点，所以，解得.
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
13..
由题意将两圆的方程相减，可得圆和圆公共弦所在的直线的方程为
又圆的圆心坐标为，
其到直线的距离为，设圆的半径为，由条件知，，
所以弦长为.
故答案为：
14.或
设的方程等于，不妨设在轴上方，即.
则联立与椭圆的方程，得，整理得，令，解得，此时方程为，解得
因此可知，由椭圆方程可知，所以，又因为，所以，
（如图）过做轴的垂线，记垂足为
则可知，因此，
设，则，在
中，由正弦定理，，
即，解得或
故答案为：或
四､解答题
15.（1）.
（1）直线的斜率，则，
故直线的方程为；
（2）设的中点为，知，
则直线的方程为.
16.（1）
（2）船可以通过，理由见解析
解：（1），设圆心，圆的方程为：.
由圆过点可得，解得
拱桥所在的圆方程是：
（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为.将，代入圆的方程，得.因为，所以点在圆内，故船可以通过.
17（1）已知椭圆的焦点为和，设椭圆的方程为
，将点代入椭圆方程，
得，解得（舍去），，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设定点.
联立方程组，消掉可得恒成立.
设，可得，
所以
要使上式为定值，则，解得，
此时.
当直线的斜率为0时，，
此时，也符合
所以存在点，使得为定值.
18.（1）；（2）的最大值为的最小值为13；
（3）直线的方程为或
解：（1）由已知，，
，即
（2）设，
点与点关于点对称，
点在圆上，
，
，
即点在圆心为，半径的圓上.
表示圆
上的点到点的距离的平方的2倍加上，
圆心到点的距离
.
的最大值为
的最小值为
.
（3）由题意知的斜率一定存在，不妨假设存直线的斜率为k，且.
则，
联立方程：，
，
又直线不经过点，则.
点到直线的距离，
，
，
当时，取得最大值2，此时，
直线的方程为或.
19.（1）；（2）①；②存在；.
解：（1）由椭圆的定义知：
所以的周长，所以，
又椭圆离心率为，所以所以，
由题意，椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①由直线与，
联立求得，（因为点A在轴上方）以及，
再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为轴建立空间直角坐标系，则
.
记异面直线和所成角为，则；
②设折叠前，折叠后在新图形中对应点记为，由，故，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）；
所以，（i）
又，
所以，（ii）
由（i）（ii）可得，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
因为，所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
C
D
A
B
A
题号
9
10
11
答案
CD
AD
BCD