贵州省黔西南州顶兴高级中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

这是一份贵州省黔西南州顶兴高级中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知正数满足，则的最小值为，已知都是负数，且，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，导数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．7B．8C．31D．32
3．已知函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间t（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）．如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．3.8小时B．4小时C．4.4小时D．5小时
7．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知都是负数，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数与是相同的函数
B．函数的最小值为6
C．若函数在定义域上为奇函数，则
D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则a的取值范围是
B．点为曲线的对称中心
C．若过点可作出曲线的三条切线，则m的取值范围是
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数则_______．
13．若正数满足，则a的最小值是_______．
14．已知函数及其导函数的定义域均为R，且，若，则不等式的解集为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知函数，且当时，有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，有，求实数c的最小值．
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在定义域内单调递增，求m的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知函数是偶函数．
（1）求a的值；
（2）设，若对任意的，存在，使得，求m的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，数列满足，且，证明：．
顶兴高级中学秋季学期高三年级第二次月考卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B存在量词命题改写为否定形式的格式为存在量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为．故选B．
2．A由题意知，又，所以，所以的元素个数为3，真子集的个数为．故选A．
3．D由题意知解得，所以的定义域为．故选D．
4．A若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．
5．C由的解集为，可得，且方程的解为，所以，则，所以，即，又，所以，解得，即关于x的不等式的解集为．故选C．
6．B由题意可得，解得，令，可得，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时．故选B．
7．C因为是幂函数，所以，解得，又点在函数的图象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又，所以．故选C．
8．B解法一：，当且仅当时取得等号．故选B．
解法二：设，则，所以，当且仅当时取得等号．故选Bq
9．BD由，得，故A错误；由，得，不等式两边同时除以，可得，即，故B正确；由不等式的可加性可知，由，可得，故C错误；，所以，故D正确．故选BD．
10．AD由解得，所以的定义域为，由，解得，所以的定义域为．又，故函数与是相同的函数，故A正确；，当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误；函数在定义域上为奇函数，则，即，即，即，整理得，即，所以，解得．当时，，该函数定义域为R，满足，符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为，满足，符合题意．综上，，故C错误；由，得，所以的定义域为，故D正确．故选AD．
11．BCD若在上单调递增，则在上恒成立，所以，解得，即a的取值范围是，故A错误；因为，所以，又，所以点为曲线的对称中心，故B正确；由题意知，所以，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为，所以，整理得．记，所以，令，解得或．当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以解得，即m的取值范围是，故C正确；由题意知，当在上单调递增，不符合题意；当，令，解得或，令．解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为存在极值点，所以．由，得，令，所以，又，所以，又，所以，又，所以，化简得，又，所以，故D正确．故选BCD．
12．9因为，所以．
13．4因为，所以，因为为正数，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以a的最小值是4．
14．设，所以，所以在上单调递减，又，所以．可转化为．即，所以，解得，即不等式的解集为．
15．解：（1）当时，，
又，……3分
所以．……6分
（2）由题可得：①当时，有，解得；……8分
②当时，有解得．……11分
综上，实数a的取值范围为．……13分
16．解：（1），……1分
由题意得：即解得……4分
经检验，当时，在处取得极值，所以．……7分
（2），
令得或；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．……10分
因为，
所以，……12分
对于区间上任意两个自变量的值，有，
所以的最小值为66．……15分
17．解：（1）当时，，……2分
因为，故，……4分
所以曲线在点处的切线方程为，即．……6分
（2）的定义域为，因为在定义域内单调递增，所以恒成立．……8分
，……9分
由恒成立，得恒成立，即恒成立．……11分
又，当且仅当，即时，等号成立，……13分
所以，即m的取值范围是．……15分
18．解：（1）因为是偶函数，
所以，即，
即，所以．……7分
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值．……9分
因为在上单调递增，所以，……11分
在上单调递减，在上单调递增，
所以，……14分
所以，解得，即m的取值范围是．……17分
19．（1）解：由题意知．…2分
当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；……3分
当时，令，解得或，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；……4分
当时，，所以在上单调递增；……5分
当时，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．……6分
（2）证明：当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，……8分
因为，……9分
要证，即证，
又，即证，……11分
令，则，
所以在上为单调递减，且，……12分
因为，
又，所以，
所以，则，……15分
所以，即，
所以成立，证毕．……17分