2024-2025学年北师大版数学八年级上册 第一阶段月考模拟试卷（重庆适用）

这是一份2024-2025学年北师大版数学八年级上册 第一阶段月考模拟试卷（重庆适用），共19页。

1．（4分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣6B．3.14C．D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是（ ）
A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，﹣2）
3．（4分）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．4，5，6B．C．6，7，8D．8，12，15
4．（4分）P在第四象限内，P到x轴距离为3，到y轴距离为4，那么点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）
5．（4分）估计的值在整数（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
6．（4分）已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
7．（4分）A（n，﹣3）在y轴上，则点B（n+1，n﹣1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（4分）服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设x名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣3
10．（4分）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元；黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元B．9元C．8元D．6元
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）若（m﹣1）x+2y|m|+8＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ．
12．（4分）已知是二元一次方程2x﹣3y＝3的一个解，则代数式2a﹣3b+2024的值是 ．
13．（4分）已知点A的坐标为（3，5），且AB∥x轴，若AB＝4，则B的坐标为 ．
14．（4分）已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件x+y＝6，则m的值是 ．
15．（4分）用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（﹣1，5），则点B的坐标为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
17．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为 ．
18．（4分）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，连接AD，将△BAD沿AD翻折得到△EAD，连接BE交AD于点G，连接DE，交AC于点F，若DF：EF＝1：2，AG＝5，BG＝6，△ADF的面积是，则点G到BC的距离是 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）
20．（10分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
21．（10分）先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b，其中a＝，b＝﹣2．
22．（10分）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点F，使PA+PB的和最短？如果存在，请求出此时PA+PB的值；如果不存在，请说明理由．
24．（10分）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
（2）共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．
25．（10分）阅读材料：
例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．
解：+＝+．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA＝PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以由勾股定理得A'B＝3，即原式的最小值为3．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
（3）求出代数式+的最小值．
26．（10分）在△ABC中，∠CBA＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，H为AC上一点，E为射线CB上一点，且CH＝CE．连接EH．
（1）如图1，若点E与点B重合，∠A＝30°，BC＝3，求AH的长度；
（2）如图2，若E为线段CB延长线上一点，EH交AB于点M，若M为AB中点，求证：BD＝2BE；
（3）如图3，若点E与点B重合，∠ACB＝120°，CD与EH交于点G，ED＝7，AD＝a，点P，Q分别是射线AB、AC上两个动点，当P，Q运动时，直接写出（HP+PQ+QD）2的最小值（用含a的代数式表示）．
北师大版数学八年级上册2024-2025学年第一阶段月考模拟试卷（重庆适用）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣6B．3.14C．D．
【解答】解：A、﹣6为有理数，原说法错误，不符合题意；
B、3.14为有理数，原说法错误，不符合题意；
C、为有理数，原说法错误，不符合题意；
D、为无理数；正确，符合题意，
故选：D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是（ ）
A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，﹣2）
【解答】解：A、（2，2）在第一象限，故选项符合题意；
B、（﹣2，2）在第二象限，故本选项不符合题意；
C、（2，﹣2）在第四象限，故本选项不符合题意；
D、（﹣2，﹣2）在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．（4分）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．4，5，6B．C．6，7，8D．8，12，15
【解答】解：A、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
C、62+72≠82，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
D、82+122≠152，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（4分）P在第四象限内，P到x轴距离为3，到y轴距离为4，那么点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）
【解答】解：∵点P在第四象限内，
∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）．
故选：A．
5．（4分）估计的值在整数（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【解答】解：∵9＜7＜4，
∴3＜＜2，
∴5＜+2＜4，
故选：B．
6．（4分）已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
【解答】解：∵，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
则点P（2，﹣1），
则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
7．（4分）A（n，﹣3）在y轴上，则点B（n+1，n﹣1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵A（n，﹣3）在y轴上，
∴n＝0，则n+1＝1，n﹣1＝﹣1，
∴点B（1，﹣1）在第四象限．
故选：D．
8．（4分）服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设x名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：服装车间有70名工人，
∴x+y＝70；
∵缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，
∴6x＝2×4y．
∴根据题意可列二元一次方程组．
故选：D．
9．（4分）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣3
【解答】解：解方程组得，，
∵方程组的解为正整数，
∴a＝0时，，a＝2时，，
∴满足条件的所有整数a的和为0+2＝2．
故选：C．
10．（4分）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元；黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元B．9元C．8元D．6元
【解答】解：由题意，设商品A的单价为x元/件，商品B的单价为y元/件，商品C的单价为z元/件，则
，．
∴②﹣①得：x+3y＝9．
由①，得：z＝24﹣3x﹣7y．
∴x+y+z＝x+y+24﹣3x﹣7y＝24﹣2x﹣6y＝24﹣2（x+3y）＝24﹣2×9＝6．
答：买A、B、C各一件共需要6元．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）若（m﹣1）x+2y|m|+8＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ﹣1 ．
【解答】解：根据题意，得|m|＝1且m﹣1≠0．
解得m＝±1且m≠1．
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（4分）已知是二元一次方程2x﹣3y＝3的一个解，则代数式2a﹣3b+2024的值是 2027 ．
【解答】解：∵是二元一次方程2x﹣3y＝3的一个解，
∴2a﹣3b＝3，
∴2a﹣3b+2024
＝3+2024
＝2027．
故答案为：2027．
13．（4分）已知点A的坐标为（3，5），且AB∥x轴，若AB＝4，则B的坐标为 （﹣1，5）或（7，5） ．
【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（3，5），
∴点B的纵坐标为5，
∵AB＝4，
∴点B在点A的左边时，横坐标为3﹣4＝﹣1，
点B在点A的右边时，横坐标为3+4＝7，
∴点B的坐标为（﹣1，5）或（7，5）．
故答案为：（﹣1，5）或（7，5）．
14．（4分）已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件x+y＝6，则m的值是 8 ．
【解答】解：，
由①+②得：3（x+y）＝2+2m，
把x+y＝6代入3（x+y）＝2+2m，
可得出：3×6＝2（1+m），
解得：m＝8，
故答案为：8．
15．（4分）用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（﹣1，5），则点B的坐标为 （﹣，） ．
【解答】解：设长方形的长为x，宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴2x＝2×＝，x+y＝+＝，
∴点B的坐标为（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 8 个．
【解答】解：如图所示：
①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；
②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，
③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；
3+3+2＝8，
因此，满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
17．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为 ．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴关于m、n的二元一次方程组得到，，
∴，
∴解这个关于m、n的方程组得：．
故答案为：．
18．（4分）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，连接AD，将△BAD沿AD翻折得到△EAD，连接BE交AD于点G，连接DE，交AC于点F，若DF：EF＝1：2，AG＝5，BG＝6，△ADF的面积是，则点G到BC的距离是 ．
【解答】解：∵DF：EF＝1：2，
∴DF：DE＝1：3，
∵△ADF的面积是，
∴△ADE的面积是，
∵将△BAD沿AD翻折得到△EAD，
∴△BAD的面积是，AD⊥BE，
∴AD•BG＝，
∵BG＝6，
∴AD＝，
∵AG＝5，
∴DG＝AD﹣AG＝，
在Rt△BDG中，BD＝＝＝，
设点G到BC的距离是h，
∵2S△BGD＝BG•DG＝BD•h，
∴h＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）
【解答】解：（1）（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
20．（10分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
②﹣①×3得：x＝3，
把x＝3代入①得：6+y＝4，
解得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2），
①×5+②×4得：23x＝69，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：9+4y＝13，
解得：y＝1，
则方程组的解为．
21．（10分）先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b，其中a＝，b＝﹣2．
【解答】解：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b
＝（9a2+b2+6ab﹣3ab+b2﹣9a2+3ab﹣6b2）÷2b
＝（﹣4b2+6ab）÷2b
＝﹣2b+3a，
当a＝，b＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）+3×（﹣）＝3．
22．（10分）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【解答】解：设秋千的绳索长为x m，根据题意可得：
AB＝AD＝x m，CD＝CE﹣DE＝BF﹣DE＝1.2﹣0.6＝0.6（m），
∴AC＝（x﹣0.6）m，
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
（x﹣0.6）2+1.82＝x2，
解得：x＝3，
∴绳索AD的长度是3米．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点F，使PA+PB的和最短？如果存在，请求出此时PA+PB的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）＝4．
（3）存在．作B点关于x轴对称的点B′，连接AB′，与x轴的交点为P．此时PA+PB的值最小．
．
24．（10分）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
（2）共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．
【解答】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，新工人每天可以安装y辆共享单车，
由题意得：，
解得：，
答：每名熟练工人每天可以安装10辆共享单车，新工人每天可以安装8辆共享单车；
（2）设熟练工人a人，新工人b人，
由题意得：25（10a+8b）＝3500，
整理得：5a+4b＝70，
∵a、b都为正整数，
∴或或，
答：熟练工人2人、新工人15人或熟练工人6人、新工人10人或熟练工人10人、新工人5人．
25．（10分）阅读材料：
例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．
解：+＝+．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA＝PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以由勾股定理得A'B＝3，即原式的最小值为3．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），点B （2，4）或（2，﹣4） 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A （0，5） 、点B （6，3） 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
（3）求出代数式+的最小值．
【解答】解：（1）∵原式化为+的形式，
∴代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，4）或（2，﹣4）的距离之和，
故答案为：（2，4），（2，﹣4）；
（2）∵原式化为+的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，5）、点B（6，3）的距离之和，
故答案为：（0，5），（6，3）．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A（0，5），B（6，3）
∴A′（0，﹣5），A′C＝6，BC＝8，
∴A′B＝10，
∴代数式+的最小值为10．
26．（10分）在△ABC中，∠CBA＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，H为AC上一点，E为射线CB上一点，且CH＝CE．连接EH．
（1）如图1，若点E与点B重合，∠A＝30°，BC＝3，求AH的长度；
（2）如图2，若E为线段CB延长线上一点，EH交AB于点M，若M为AB中点，求证：BD＝2BE；
（3）如图3，若点E与点B重合，∠ACB＝120°，CD与EH交于点G，ED＝7，AD＝a，点P，Q分别是射线AB、AC上两个动点，当P，Q运动时，直接写出（HP+PQ+QD）2的最小值（用含a的代数式表示）．
【解答】（1）解：∵∠CBA＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠CBA＝60°，∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴CH＝3，AB＝6，
∴AC＝3，
∴AH＝3﹣3．
（2）证明：如图，延长EH至点N，使得MN＝ME，连接AN，
∵点M为AB的中点，
∴AM＝BM，∵NM＝EM，∠NMA＝∠EMB，
∴△MNA≌△MEB（SAS），
∴AN＝BE，∠N＝∠E，
∵CH＝CE，CD平分∠ACB，
∴∠E＝∠CHM＝∠NHA，
∴∠N＝∠NHA，
∴AN＝AH＝BE，
在CA上截取CF＝CB，连接FD，
∵CF＝CB，∠ACD＝∠BCD，CD＝CD，
∴△CFD≌△CBD（SAS），
∴∠CFD＝∠CBD，DF＝DB，
∵∠ABC＝2∠CAB，∠CFD＝∠CAB+∠FDA，
∴∠CAB＝∠FDA，
∴AF＝DF＝BD，
∵CH＝CE，CF＝CB，
∴BE＝HF，
又∵AH＝BE，AF＝AH+HF，
∴BD＝2BE．
（3）解：如图，连接HD，∵∠ACB＝120°，∠CBA＝2∠BAC，
∴∠BAC＝20°，∠CBA＝40°，
∵CH＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD垂直平分BH，∠CHB＝∠CBH＝30°，
∴DB＝DH，
∴DH＝DB＝7，∠DHB＝∠DBH＝10°，
∴∠ADH＝∠DHB+∠DBH＝20°，
∴∠ADH＝∠BAC＝20°，
∴HA＝HD＝BD＝7，
作点H关于AB的对称点H'，作点D关于AC的对称点D'，连接D'H'，线段D'H'即为所求HP+PQ+QD的最小值，
则：AD＝AD'＝a，∠QAD＝∠QAD'＝20°，AH＝AH'＝7，∠PAH＝∠PAH'＝20°，
∴∠D'AH'＝60°，HP+PQ+QD＝H'P+PQ+QD'＝D'H'，
过点H'过H'K⊥AD'于点K，则
AK＝AH'＝，KH'＝AH'＝，
∴KD'＝AD'﹣AK＝a﹣，
由勾股定理得，D'H'2＝D'K2+H'K2＝（a﹣）2+（）2＝a2﹣7a+49，
∴（HP+PQ+QD）2最小值＝a2﹣7a+49．