四川省成都市树德中学2024-2025学年高一上学期10月阶段性测试数学试题

这是一份四川省成都市树德中学2024-2025学年高一上学期10月阶段性测试数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
5.关于x的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
6.已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7.设a，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知不等式对任意恒成立，其中a，b是整数，则的取值的集合为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A．B．A的不同子集的个数为8
C．D．
10.下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．D．若，则
11.下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则的最大值为
B．若，则的最小值为4
C．已知，，，则的最小值是
D．若，，，则的最小值为
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，，若，则有D．方程的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知集合，且，则实数m的值为
14.函数的最大值为
15.已知集合，集合，其中，则使的a的取值范围是
16.若对任意实数x，总存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知全集，集合，，.
（1）求，；
（2）若，求a的取值范围.
18.已知集合，．
（1）是否存在实数a，使命题“，”是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地占地总面积为S平方米.
（1）求S关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值.
20.已知函数.
（1）若不等式的解集非空，求实数m的取值范围；
（2）当时，不等式有解，求实数m的取值范围.
21.已知二次函数（a，b，）只能同时满足下列三个条件中的两个：
①；②不等式的解集为；③函数的最大值为4.
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式；
（2）求关于x的不等式（）的解集.
22.已知集合（），其中（，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．
（1）检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T．
（2）对任何具有性质P的集合A，证明：．
（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
树德中学高2024级高一上学期10月阶段性测试
数学试题参考答案
1.C2.A3.C4.B5.A6.D7.C8.A
9.ABC10.BD11.BD12.BCD
13.314.15.或16.
17.【解】
（1）由题意得，集合，，
所以，注：未写成集合或区间扣1分
，；注：未写成集合或区间扣1分
（2）因为，所以，
又因为，所以，即.
所以a的取值范围为.
18.【解】
（1）解：由于命题“，”是真命题，所以，
则，无解
所以不存在实数a，使此命题是真命题.
（2）由题知是成立的充分不必要条件，故A是B的真子集，
①当时，，解得，
②当时，即或，
解得：或，即
综上：或.
19.解：
（1）设矩形场地的另一条边的长为y，
则，，，，
根据，得，.
∴S关于x的函数关系式为
由题意知，，
因为，，解得，
∴，定义域为.
（2）
当且仅当，即时等号成立.
所以，矩形场地时，运动场的面积最大，最大面积是2430.
20.【详解】
①当时，即时，，解集不是空集；
②当时，即时，此时函数为开口向下的二次函数，故不等式的解集非空；
③当时，若不等式的解集非空，则，
即，
综上，m的取值范围是.
（2）不等式，即，即．
由恒成立，则在时有解，
设，时有，，
，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，实数m的取值范围为.
21.【解】
（1）当时，不等式的解集不能为，且没有最大值，所以①不成立，满足条件只能为②③，
由不等式的解集为，
可令，（），
因为的最大值为4，可得，解得，
所以.
（2）解：由不等式，可化为，
当时，不等式等价于，解得，所以不等式的解集为；
当时，对于不等式，因为，
方程有两个不相等的实数根据，，
不等式的解集为；
当时，对于一元二次方程，可得，
①当时，，此时不等式的解集为；
②当时，，可得方程的两根为，，
此时不等式的解集为，
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
注：未综上扣1分；综上中未写成集合或区间扣1分.
22.解：
（1）集合不具有性质P．
集合具有性质P，其相应的集合S和T是，．
（2）证明：首先，由A中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以（，2，…，k）；
又因为当时，，所以当时，（i，，2，…，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为，即．
（3）解：，证明如下：
①对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即，
②对于，根据定义，，，且，从而．如果与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立，
故与也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即，
由①②可知，．