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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀随堂练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀随堂练习题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义+题型讲解第03讲13空间向量及其运算的坐标表示原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义+题型讲解第03讲13空间向量及其运算的坐标表示教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点 SKIPIF 1 < 0 和一个单位正交基底 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
(2)相关概念： SKIPIF 1 < 0 叫做原点， SKIPIF 1 < 0 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为坐标向量，对空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，对应一个向量 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 的位置由向量 SKIPIF 1 < 0 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .在单位正交基底 SKIPIF 1 < 0 下与向量 SKIPIF 1 < 0 对应的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标， SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标， SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，给定向量 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .有序实数组 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中的坐标，上式可简记作 SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练1】已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个单位正交基底，向量 SKIPIF 1 < 0 用坐标形式可表示为________．
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设 SKIPIF 1 < 0 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
特别提醒：在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中，应特别注意，只有在 SKIPIF 1 < 0 与三个坐标平面都不平行时，才能写成 SKIPIF 1 < 0 .例如，若 SKIPIF 1 < 0 与坐标平面 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，这样 SKIPIF 1 < 0 就没有意义了.
【即学即练2】已知两个空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
2、向量长度的坐标计算公式
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【即学即练3】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
4、两点间的距离公式
已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】在空间直角坐标系中，已知三点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（多选）如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，三棱柱的高为 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是________.
【变式1】如图，在空间直角坐标系中，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】若 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是___________.
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点的坐标；
(2)写出向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三向量共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2】已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】若向量 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内一动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．17C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，动点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球面上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 ______．
【变式1】已知空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________.
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【典例2】如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，H为 SKIPIF 1 < 0 的中点．求| SKIPIF 1 < 0 |.
【典例3】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为______.
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为4，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）运动，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，求线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值．
【典例3】已知单位空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是空间互相垂直的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______.
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间两两垂直的单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．2
【典例3】已知空间三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 的大小是________．
【典例4】已知向量 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【变式1】若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）.
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．0或 SKIPIF 1 < 0 D．0或 SKIPIF 1 < 0
【变式2】在空间直角坐标系中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值是______．
【变式3】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【典例3】向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【变式1】设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．3
【变式2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共面向量，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【典例3】已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角余弦值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【变式2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）.
A．4B．5C．6D．7
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【典例3】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________．
【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范围为__________.
【变式2】若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范围为__________.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础
一、单选题
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．40C．6D．36
3． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知在空间单位正交基底下， SKIPIF 1 < 0 是空间的一组单位正交基底， SKIPIF 1 < 0 是空间的另一组基底.若向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为120°，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若棱 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵” SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在“堑堵”的侧面 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．空间中三点 SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 关于平面 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为钝角D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标为______________．
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
四、解答题
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
14．（1）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .
①计算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
②求 SKIPIF 1 < 0 .
（2）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别在棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时的 SKIPIF 1 < 0 值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，M为PC上一动点， SKIPIF 1 < 0 ，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,3)， SKIPIF 1 < 0 ＝(2,1,2)， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的范围是______.
C综合素养
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．则MN的长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
4．在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 ，中，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．已知点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，______，则是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
课程标准
学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义
②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算
③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明
利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
运算
坐标表示
加法
SKIPIF 1 < 0
减法
SKIPIF 1 < 0
数乘
SKIPIF 1 < 0
数量积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
平行（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
垂直（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均非零向量）
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点 SKIPIF 1 < 0 和一个单位正交基底 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
(2)相关概念： SKIPIF 1 < 0 叫做原点， SKIPIF 1 < 0 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为坐标向量，对空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，对应一个向量 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 的位置由向量 SKIPIF 1 < 0 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .在单位正交基底 SKIPIF 1 < 0 下与向量 SKIPIF 1 < 0 对应的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标， SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标， SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，给定向量 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .有序实数组 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中的坐标，上式可简记作 SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练1】已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个单位正交基底，向量 SKIPIF 1 < 0 用坐标形式可表示为________．
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设 SKIPIF 1 < 0 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
特别提醒：在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中，应特别注意，只有在 SKIPIF 1 < 0 与三个坐标平面都不平行时，才能写成 SKIPIF 1 < 0 .例如，若 SKIPIF 1 < 0 与坐标平面 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，这样 SKIPIF 1 < 0 就没有意义了.
【即学即练2】已知两个空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
2、向量长度的坐标计算公式
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【即学即练3】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
4、两点间的距离公式
已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】在空间直角坐标系中，已知三点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（多选）如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，三棱柱的高为 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是________.
【变式1】如图，在空间直角坐标系中，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】若 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是___________.
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点的坐标；
(2)写出向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三向量共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2】已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】若向量 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内一动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．17C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，动点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球面上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 ______．
【变式1】已知空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________.
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【典例2】如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，H为 SKIPIF 1 < 0 的中点．求| SKIPIF 1 < 0 |.
【典例3】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为______.
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为4，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）运动，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，求线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值．
【典例3】已知单位空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是空间互相垂直的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______.
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间两两垂直的单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．2
【典例3】已知空间三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 的大小是________．
【典例4】已知向量 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【变式1】若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）.
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．0或 SKIPIF 1 < 0 D．0或 SKIPIF 1 < 0
【变式2】在空间直角坐标系中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值是______．
【变式3】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【典例3】向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【变式1】设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．3
【变式2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共面向量，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【典例3】已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角余弦值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【变式2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）.
A．4B．5C．6D．7
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【典例3】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________．
【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范围为__________.
【变式2】若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范围为__________.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础
一、单选题
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．40C．6D．36
3． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知在空间单位正交基底下， SKIPIF 1 < 0 是空间的一组单位正交基底， SKIPIF 1 < 0 是空间的另一组基底.若向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为120°，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若棱 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵” SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在“堑堵”的侧面 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．空间中三点 SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 关于平面 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为钝角D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标为______________．
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
四、解答题
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
14．（1）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .
①计算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
②求 SKIPIF 1 < 0 .
（2）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别在棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时的 SKIPIF 1 < 0 值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，M为PC上一动点， SKIPIF 1 < 0 ，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,3)， SKIPIF 1 < 0 ＝(2,1,2)， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的范围是______.
C综合素养
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．则MN的长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
4．在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 ，中，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．已知点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，______，则是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
课程标准
学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义
②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算
③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明
利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
运算
坐标表示
加法
SKIPIF 1 < 0
减法
SKIPIF 1 < 0
数乘
SKIPIF 1 < 0
数量积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
平行（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
垂直（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均非零向量）
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