人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第十二讲 第一章 空间向量与立体几何 测评卷（提高卷）（原卷版+教师版）

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第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷(提高卷） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023春·江苏淮安·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.2．（2023春·江苏淮安·高二统考期末）已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】如图建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.3．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 点，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】由题知，在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .  故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】分别以直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，设二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故选:C5．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则面 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此，面 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取点M，在 SKIPIF 1 < 0 上取点N，使得直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则线段MN长度的最小值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】解：如图，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．  7．（2023·陕西铜川·统考二模）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列结论错误的是（    ）A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0  B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的最小值为 SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】如图，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，选项A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，不恒为0，故选项A错误；选项B，由题意， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 距离相等，从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项B正确；选项C，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；选项D，由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.故选：A.8．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，棱长为2的侧棱 SKIPIF 1 < 0 垂直底面边长为2的正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，过直线 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 分别与侧棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，截面 SKIPIF 1 < 0 的面积为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B．2 C． SKIPIF 1 < 0  D．3【答案】A【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，  则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由题意， SKIPIF 1 < 0 四点共面，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以截面 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·山西晋中·高二校联考阶段练习）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（    ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 【答案】AD【详解】以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 .A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确.B选项，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行， SKIPIF 1 < 0 错误.C选项，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直，矛盾，C错误.D选项， SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：AD10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列说法正确的是（    ）  A．不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 C．对于任意点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D．对于任意点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是钝角三角形【答案】ABC【详解】由题知，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，建立以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然方程组无解，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，即不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故A项正确；当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确；因为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以点Q到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故C项正确；因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以三角形为 SKIPIF 1 < 0 直角三角形或钝角三角形，故D项错误.  故选：ABC11．（2023春·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，实数a，b，c，d满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（    ）A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 【答案】ABCD【详解】根据空间向量“奔驰定理”可知， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 四面体 SKIPIF 1 < 0 的内切球球心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，如图， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是有公共斜边的直角三角形，斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点到顶点 SKIPIF 1 < 0 的距离都相等，且为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；  因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；  因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，因为面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.故选：ABCD12．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）如图，边长为4的正方形 SKIPIF 1 < 0 是圆柱的轴截面，点 SKIPIF 1 < 0 为圆弧 SKIPIF 1 < 0 上一动点（点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 不重合） SKIPIF 1 < 0 ，则（    ）A．存在 SKIPIF 1 < 0 值，使得 SKIPIF 1 < 0 B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 C．当 SKIPIF 1 < 0 时，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 D．当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大时，平面 SKIPIF 1 < 0 截四棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的截面面积为 SKIPIF 1 < 0 【答案】BCD【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 选项，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，故 SKIPIF 1 < 0 不正确；对于 SKIPIF 1 < 0 选项，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 半圆面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，当点 SKIPIF 1 < 0 是半圆弧 SKIPIF 1 < 0 的中点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面积 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；对于选项C：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 为原点，以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 正确；对于 SKIPIF 1 < 0 选项，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影，则 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成最大角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 为四棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以球心 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，设截面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以截面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确. 故选：BCD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长都是2（如图）， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 __________.  【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 【详解】由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又由正八面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长都是 SKIPIF 1 < 0 ，且各个面都是等边三角形，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .  14．（2023·全国·高三专题练习）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标是__________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，【详解】空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 15．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 上的动点，满足 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ，若该正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为__________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（点 SKIPIF 1 < 0 除外），点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为异面直线 SKIPIF 1 < 0 之间的距离，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .16．（2022秋·北京·高二人大附中校考期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种成两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 SKIPIF 1 < 0 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为___________.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为___________.【答案】  SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，8个面为边长为 SKIPIF 1 < 0 的等比三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线DE与直线AF所成角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的长；(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）如下图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建系. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .容易看出，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 .设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .由题，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .18．（2023秋·河南郑州·高二统考期末）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，底面ABCD为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别为AB，PC的中点．(1)求线段MN的长；(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）根据题意，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：则 SKIPIF 1 < 0 N分别为PC的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （2）易得 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；所以 SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即PD与平面PMC所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 19．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点E，点F在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的正弦值.【答案】(1)见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0   故 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 由于 SKIPIF 1 < 0 因此 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，  设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， 平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， 设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  ．20．（2023秋·广东湛江·高二统考期末）如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E为AD中点．(1)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值；(2)探究线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点F，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点 见解析【详解】（1）如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角不超过 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 （2）假设在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点．21．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图，在八面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 与二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小都是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，是否在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在， SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，如图建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）由点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，设点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量可以为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以存在点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，且点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .22．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，底面 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 .(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ？若不存在，请说明理由；若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的长度.【答案】(1)证明见解析 (2)存在， SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）证明：因为侧面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，底面 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）解：假设存在点 SKIPIF 1 < 0 满足题意，则由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.故存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意.