高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精品当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精品当堂达标检测题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义+题型讲解第14讲22直线的方程原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义+题型讲解第14讲22直线的方程教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。

知识点01：直线的点斜式方程
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行或重合时,方程可简写为 SKIPIF 1 < 0 .特别地, SKIPIF 1 < 0 轴的方程是 SKIPIF 1 < 0 ;当直线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成 SKIPIF 1 < 0 .特别地, SKIPIF 1 < 0 轴的方程是 SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练1】（2023·高二课时练习）已知直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】依题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线l在y轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 .
知识点02：直线的斜截式方程
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距和在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距,如直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜截式方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型01直线的点斜式方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由点斜式直线方程得直线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；故选：C.
【典例2】（2023秋·高二课时练习）过点 SKIPIF 1 < 0 且与过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线平行的直线方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，由点斜式得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1)直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 边上的高所在直线的方程 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由点斜式方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，化为一般式可得 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，故AB边上的高线所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又AB边上的高线所在直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为一般式可得 SKIPIF 1 < 0 .

【变式1】（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过两点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由两点 SKIPIF 1 < 0 ，可得过两点的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又由直线的点斜式方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式2】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式3】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过点 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】根据直线方程的点斜式可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：CD.
题型02直线的斜截式方程
【典例1】（2023·高二课时练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴围成的三角形面积为6，则 SKIPIF 1 < 0 值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于直线 SKIPIF 1 < 0 ，能与两坐标轴围成三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：因为直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；故选：C
【典例3】（2023秋·河南周口·高二周口恒大中学校考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距相等，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为直线l与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，所以直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
又因为直线 SKIPIF 1 < 0 在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 不经过第二象限，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由直线不过第二象限需满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型03直线的图象
【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）直线 SKIPIF 1 < 0 经过第一、二、四象限，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 应满足（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线经过第一、二、四象限，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A.
【典例2】（2023·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列直线的方程不可能是 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距不小于2，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为2，故D正确，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , 故B不正确，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由图象知AC正确.故选：B
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，知直线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此直线必不经过第三象限.故选：C
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）方程 SKIPIF 1 < 0 表示的直线可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，排除 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，排除 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，排除 SKIPIF 1 < 0 ，选 SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则下列各图形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜截式方程为 SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 的斜截式方程为 SKIPIF 1 < 0
对于A选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应小于0，直线 SKIPIF 1 < 0 的纵截距应小于0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应大于0，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距应小于0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应大于0，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距应大于0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应大于0，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距应大于0，故D图象符合．
故选：D．
题型04直线的位置关系的应用
【典例1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与向量 SKIPIF 1 < 0 垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与向量 SKIPIF 1 < 0 垂直，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）菱形 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边所在直线过点 SKIPIF 1 < 0 ．求：
(1) SKIPIF 1 < 0 边所在直线的方程；
(2)对角线 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程．
【答案】(1)2x－y＋15＝0 (2)5x－6y＋1＝0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，∵AD∥BC，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴AD边所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即2x－y＋15＝0．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ．又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵AC的中点 SKIPIF 1 < 0 ，也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即5x－6y＋1＝0．
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高三校考学业考试）已知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ABCD为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线PC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的一般方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线AB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以AB的垂直平分线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，AB的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故线段AB的垂直平分线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，化为一般式为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·高二课时练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线的点法向式、点斜式和一般式方程．
【答案】点法向式 SKIPIF 1 < 0 ；点斜式 SKIPIF 1 < 0 ；一般式 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，于是得直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的点法向式方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
点斜式方程为 SKIPIF 1 < 0 ，一般式方程为 SKIPIF 1 < 0 .
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为150°的直线l的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】依题意，直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，故直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
2．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由点斜式可得直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由点斜式得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
4．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）若直线 SKIPIF 1 < 0 经过第一、二、三象限，则有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 经过第一、二、三象限，所以直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，在y轴上的截距 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2023·全国·高二专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 经过第二、三、四象限，则斜率 SKIPIF 1 < 0 和在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距 SKIPIF 1 < 0 满足的条件为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】在平面直角坐标系中作出 SKIPIF 1 < 0 图象，如图所示：

由图可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．（2023·吉林·统考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在的直线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得， SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
7．（2023春·广东东莞·高二校考开学考试）与向量 SKIPIF 1 < 0 平行，且经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】依题意可知，所求直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
8．（2022·全国·高二假期作业）下列四个结论：
①方程 SKIPIF 1 < 0 与方程 SKIPIF 1 < 0 可表示同一条直线；
②直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ,则其方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
③直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为0,则其方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】方程k＝ SKIPIF 1 < 0 ，表示不过 SKIPIF 1 < 0 的直线，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线．
直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则其斜率不存在，是垂直于x轴的直线．
显然正确的．④所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故①④不正确，②③正确．
故答案选B．
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）(多选)下列四个选项中正确的是（ ）
A．方程 SKIPIF 1 < 0 与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【答案】BC
【详解】对于A，方程 SKIPIF 1 < 0 表示直线 SKIPIF 1 < 0 上去掉点 SKIPIF 1 < 0 所形成的两条射线，与方程 SKIPIF 1 < 0 表示的图形不相同，A故错误；
对于B，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，该直线的斜率不存在，垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，若直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误.
故选：BC.
10．（2022秋·高二课时练习）一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数图像经过一、二、三象限
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数图像经过一、三、四象限
C． SKIPIF 1 < 0 时，函数图像必经过一、三象限
D． SKIPIF 1 < 0 时，函数在实数 SKIPIF 1 < 0 上恒为增函数
【答案】ABCD
【详解】在一次函数 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则图像经过一、二、三象限；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则图像经过一、三、四象限；
若 SKIPIF 1 < 0 ，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数 SKIPIF 1 < 0 上恒为增函数；
故选:ABCD.
三、填空题
11．（2022秋·高二校考课时练习）有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为_______

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时,直线段过点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,∴此时方程为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时,直线段过点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴此时方程为 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）过点 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜截式方程为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的点斜式方程为： SKIPIF 1 < 0 ，整理可得其斜截式方程为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．（2022秋·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）求下列直线方程：
(1)求过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率是3的直线方程.
(2)求经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为2的直线方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率是3，所以该直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为直线在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为2，所以该直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为该直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
14．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 边所在的直线方程；
(2)求中线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：法一：由两点式写方程得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
法二：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 所以，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴分别交于点A、点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 的面积最小时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程，并求此最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线过 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴分别交于点A、点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为4.
2．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均过点P（1，2），直线 SKIPIF 1 < 0 过点A（-1，3），且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程
(2)若 SKIPIF 1 < 0 与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
直线的两点式方程
知识点01：直线的两点式方程
1.当过两点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的直线斜率不存在( SKIPIF 1 < 0 )或斜率为0( SKIPIF 1 < 0 )时,不能用两点式方程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是同一个点的坐标 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是另一个点的坐标.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
知识点02：直线的截距式方程
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）过 SKIPIF 1 < 0 两点的直线方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】根据直线的截距式可知直线方程为： SKIPIF 1 < 0 故选：C
知识点03：中点坐标公式
若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．此公式为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标公式．
【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习） SKIPIF 1 < 0 的三个顶点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求：
边BC上的中线所在直线的方程；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）BC的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0
则边BC上的中线所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
题型01 直线的两点式和截距式方程辨析
【典例1】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．点斜式 SKIPIF 1 < 0 可以表示任何直线
B．过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直．
D．直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】对于A选项，点斜式 SKIPIF 1 < 0 不表示与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线，A错；
对于B选项，过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点且斜率不为零的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对于C选项，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，C对；
对于D选项，直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，D对.故选：CD.
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 SKIPIF 1 < 0
B．若三条直线 SKIPIF 1 < 0 不能构成三角形，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0
C．经过点 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴上截距都相等的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
D．过 SKIPIF 1 < 0 两点的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】A选项：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；
B选项：三条直线 SKIPIF 1 < 0 不能构成三角形，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误；
C选项：当直线经过坐标原点时， SKIPIF 1 < 0 ，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线为 SKIPIF 1 < 0 ，C选项错误；
D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；
故选：AD.
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 不能表示过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程
B．在 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴上的截距分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点到原点的距离为 SKIPIF 1 < 0
D．过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，交点到原点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，也适合方程 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：AD．
【变式2】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线都可用方程 SKIPIF 1 < 0 表示
B．过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线都可用方程 SKIPIF 1 < 0 表示
C．过任意两个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线都可用方程
SKIPIF 1 < 0 表示
D．不过原点的直线都可用方程 SKIPIF 1 < 0 表示
【答案】ABD
【详解】因为直线与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线，斜率存在时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可化为 SKIPIF 1 < 0 ；斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；故选：ABD.
题型02 直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解）
【典例1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线的为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过两点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题可知直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令x=0，则 SKIPIF 1 < 0 ，故直线在y轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例3】（2023·江苏·高二假期作业）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 边所在的直线方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)2x＋5y＋10＝0 (2)10x＋11y＋8＝0
【详解】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0．
（2）设BC的中点为M(a，b)，则a＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，b＝ SKIPIF 1 < 0 ＝－3，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又BC边的中线过点A(－3，2)，所以 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
【变式2】（2023·高三课时练习）经过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】经过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程是： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点 SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 ，则过点 SKIPIF 1 < 0 且过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点的直线方程为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】A、B中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得： SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 .
题型03直线的截距式方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）过点 SKIPIF 1 < 0 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，即直线过原点，设直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，设直线为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；综上所述：直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距与在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距之和为6的直线方程为______________.
【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【详解】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）求过点 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距是 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距的2倍的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】①当直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
综上;直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）过点 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】当截距 SKIPIF 1 < 0 时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，∴方程为 SKIPIF 1 < 0
当截距 SKIPIF 1 < 0 时，过原点和点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 故选：D.
【变式3】（2023·上海·高二专题练习）求过点 SKIPIF 1 < 0 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，综上所述，所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：
在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由直线的截距式方程可知，所求直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，化为一般式方程为 SKIPIF 1 < 0 .
题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题
【典例1】（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
由于方程① SKIPIF 1 < 0 ，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.因此直线 SKIPIF 1 < 0 共有2条.故选：B.
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故答案为: SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·高三课时练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 中过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上中点的直线方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0(2)10
【详解】（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），∴B（5，﹣1），
又∵点A（5，1）关于原点的对称点为C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），
∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，﹣1）．
过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，整理得x﹣5y﹣5＝0．
（2）由题意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，
∴△ABC的面积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二校考期末）如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线： SKIPIF 1 < 0 上．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 边上的高 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）1．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是以AB为底边的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 所以E为AB的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所以直线CE： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以AB边上的高CE所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线AC： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点D到直线AC的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·高二课时练习）若直线过点 SKIPIF 1 < 0 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的直线有______条.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的截距式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的条数为 SKIPIF 1 < 0 条．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1．
【详解】解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，故其面积为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得b＝±1，
故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1．
【变式3】（2023春·高二单元测试）直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0.设直线 SKIPIF 1 < 0 .
设此直线与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0
因此面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，无解；
若 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .解方程，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；或直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意知，当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线不过原点时，由截距相等，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，所求直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知，直线在 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴上的截距分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线分别与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 面积最小值为______．
【答案】12
【详解】设直线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，由过点 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
解得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号；所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：12
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：不论 SKIPIF 1 < 0 为何值，直线必过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 引直线 SKIPIF 1 < 0 ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：原方程整理得： SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不论 SKIPIF 1 < 0 为何值，直线必过定点 SKIPIF 1 < 0
（2）解：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，三角形面积最小．则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且分别与 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为原点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最小时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】x＋2y－4＝0
【详解】方法一：由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号， 故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，因为直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【典例4】（2023·高二课时练习）已知一条动直线 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 同时满足下列条件：① SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，定点 SKIPIF 1 < 0 ；(2)存在，且直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）证明：将直线方程 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：设点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .所以，存在直线 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是2，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则 SKIPIF 1 < 0 .
当m＝2时，S有最大值，故直线l的方程为x＋y－2＝0.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直线分别与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程中，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，此时直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·高二课时练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距相等，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）面积的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (2)12
【详解】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线不过原点时，设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上可得，所求直线方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）依题意，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
利用基本不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为12．
题型06重点方法（分类讨论）
【典例1】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距相等，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0
C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，直线为 SKIPIF 1 < 0 不符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ，若直线过原点，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
若直线不过原点，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的值可能是1或 SKIPIF 1 < 0 .故选：AD.
【典例2】（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距和 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距相等的直线的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则中线 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设两坐标轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线经过原点，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求这条直线的方程．
【答案】当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】由直线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，可知该直线的斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线斜率存在，即 SKIPIF 1 < 0 时，利用两点式，可得直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线在 SKIPIF 1 < 0 上的截距为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线在 SKIPIF 1 < 0 上的截距为1，故选：A
2．（2023·高二课时练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或1D．2或1
【答案】D
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，此时不符合题意，应舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴与 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距均为0，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 可得：横截距为 SKIPIF 1 < 0 ，纵截距为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 的值是2或1.故选：D
3．（2022·高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由截距式方程可得，所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，故由直线 SKIPIF 1 < 0 的两点式方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
5．（2022·全国·高二专题练习）经过两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的直线方程都可以表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】当经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的直线不与 SKIPIF 1 < 0 轴平行时，所有直线均可以用 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 可能相等，所以只有选项C满足包括与 SKIPIF 1 < 0 轴平行的直线.故选:C
6．（2022秋·高二校考课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7．（2022·全国·高二专题练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】①当直线经过原点时，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入，的 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入，的 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，直线方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
二、多选题
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）过点 SKIPIF 1 < 0 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线不过坐标原点时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：AC.
9．（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴围成的三角形面积为2，则 SKIPIF 1 < 0 的方程可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，故设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .故围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ,
化简可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
对于方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 无解.
对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选:CD.
三、填空题
10．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】若直线的斜率不存在，则方程为 SKIPIF 1 < 0 ，显然它在x轴上的截距为1，符合题意；
若直线的斜率存在，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，不成立；
综上所述：直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023秋·湖北孝感·高二统考期末）已知直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
12．（2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【详解】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k SKIPIF 1 < 0 ，故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0.
13．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程．
【答案】直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】设直线l在x，y的截距分别为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线l的倾斜角为锐角，则直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
B能力提升
1．（2023·上海·高二专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正数，可设直线的截距式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，上式取等号， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积最小，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023·江苏·高二假期作业）直线l过点P( SKIPIF 1 < 0 ，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
【答案】(1) 3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2) 3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
【详解】(1)设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P( SKIPIF 1 < 0 ，2)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1，① 又a＋b＋ SKIPIF 1 < 0 ＝12.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1(a>0，b>0)，
由题意知，ab＝12， SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1，消去b，得a2－6a＋8＝0，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
直线的一般式方程
知识点01：直线的一般式方程
定义:关于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的二元一次方程 SKIPIF 1 < 0 (其中
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不同时为0 SKIPIF 1 < 0 )叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不全为零才能表示一条直线，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 全为零则不能表示一条直线.
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，它表示过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，方程可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，它表示一条与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线．
由上可知，关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 都过点 SKIPIF 1 < 0 ，求过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】把 SKIPIF 1 < 0 坐标代入直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线的方程是： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
【即学即练2】（2023·上海·高二专题练习）如果 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 不经过第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】C
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 小于零，在y轴上的截距 SKIPIF 1 < 0 大于零，故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
知识点03：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线系方程都可表示为 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为参数且 SKIPIF 1 < 0 ≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定 SKIPIF 1 < 0 的值.
【即学即练3】（2023秋·高二课时练习）经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且平行于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】平行于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ，又所求直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则所求直线为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
2．垂直直线系方程
一般地，与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线系方程都可表示为 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定 SKIPIF 1 < 0 的值.
【即学即练4】（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程是________．（用一般式表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型01直线的一般式方程及其辨析
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的截距大于在 SKIPIF 1 < 0 轴的截距，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 应满足条件（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得直线在y轴的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得直线在x轴的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 在x轴的截距大于在y轴的截距可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【典例2】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论 SKIPIF 1 < 0 取任何值，直线都存在斜率
B．当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，直线只与 SKIPIF 1 < 0 轴相交
C．当 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 时，直线与两条坐标轴都相交
D．当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，直线是 SKIPIF 1 < 0 轴所在直线
【答案】D
【详解】解：对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，直线斜率不存在，故错误；
对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，直线只与 SKIPIF 1 < 0 轴相交；当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，直线与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，故错误；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，直线与两条坐标轴都相交，故错误；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 轴所在直线，故正确.
故选：D
【典例3】（2023秋·高二课时练习）当直线方程 SKIPIF 1 < 0 的系数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)只与 SKIPIF 1 < 0 轴相交；
(4)是 SKIPIF 1 < 0 轴所在直线；
(5)设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，证明：这条直线的方程可以写成 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不同为 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 都不为0 (3) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 (4) SKIPIF 1 < 0
(5)证明见解析
【详解】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不同为 SKIPIF 1 < 0 方程表示过坐标原点的直线；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时直线过原点满足条件，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 都不为0，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 时直线与两条坐标轴都相交；
（3）直线 SKIPIF 1 < 0 只与x轴相交，就是与 SKIPIF 1 < 0 轴平行、重合均可，
因此直线方程可化成 SKIPIF 1 < 0 形式，故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）x轴的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因此方程 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 时
方程表示的直线是x轴所在直线；
（5）因为 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以这条直线的方程可以写成 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023春·江苏南通·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）上两个不同的点，则关于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点情况是（ ）
A．无论 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 如何，总有唯一交点B．存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使之有无穷多个交点
C．无论 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 如何，总是无交点D．存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使之无交点
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）上两个不同的点，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 既在直线 SKIPIF 1 < 0 上，也在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是两个不同的点，故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不重合，
故无论 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 如何，总有唯一交点 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则经过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为_________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,
点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都在同一直线 SKIPIF 1 < 0 上
因为两点确定一条直线,所以由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 确定的直线即为 SKIPIF 1 < 0
故答案为: SKIPIF 1 < 0
题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，可知倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【典例3】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）过点 SKIPIF 1 < 0 ，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题意，当直线过原点时，此时所求直线方程的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；当直线不过原点时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 不经过第象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均不为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为正，纵截距为正，
即直线 SKIPIF 1 < 0 通过第一、二、三象限，不通过第四象限.故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的斜率和在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距分别为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，3B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ，3D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故直线在x轴上的截距分别为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
题型03根据直线平行求参数
【典例1】（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，当直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【典例2】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 相互平行，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或1
【答案】A
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，斜率存在，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，且 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去.所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【典例3】（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）若直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 平行，可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则m的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．2或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，而直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 必有斜率，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 重合，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，符合题意，故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【变式2】（2023春·高二单元测试）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 平行且不重合”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，两直线分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴两直线斜率相等且 SKIPIF 1 < 0 ，∴两条直线平行且不重合；若两直线平行且不重合，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，综上所述， SKIPIF 1 < 0 是两直线平行且不重合的充要条件，故选：C.
【变式3】（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可知，其斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又两直线平行，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
题型04根据直线垂直求参数
【典例1】（2023·北京·高三专题练习）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直”的充分条件；
当直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直时， SKIPIF 1 < 0 不一定成立，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直”的充分非必要条件.故选：A
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，垂足为 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由两直线垂直得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以原直线直线 SKIPIF 1 < 0 可写为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为垂足为 SKIPIF 1 < 0 同时满足两直线方程，所以代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选:D
【变式1】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直”的充要条件，选C.
【变式31】（2023·上海·高二专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．9
【答案】B
【详解】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
题型05由两条直线平行求方程
【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入直线的方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则与已知直线 SKIPIF 1 < 0 平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由题意可设方程为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】平行于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程可设为 SKIPIF 1 < 0 又所求直线过点 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则所求直线为 SKIPIF 1 < 0 故选：A
【变式2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设与直线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 平行的直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．因此直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 故选：D
【变式3】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令所求直线为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在直线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故所求直线为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型06由两条直线垂直求方程
【典例1】（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则所求直线为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】m=1或m=3
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得m=1或m=3.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【变式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入方程解得 SKIPIF 1 < 0 ，所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型07直线过定点问题
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】把直线方程整理为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线恒过定点为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 也在直线 SKIPIF 1 < 0 上，其中 SKIPIF 1 < 0 均为正数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 .
又因为点A也在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例3】（2023春·江苏南通·高一期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 恒相交，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，如下图：
则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，由图可知： SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）不论 SKIPIF 1 < 0 取何值，直线 SKIPIF 1 < 0 都过定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线过定点 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式2】（2023·高二课时练习）不论 SKIPIF 1 < 0 为何实数，直线 SKIPIF 1 < 0 恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】原方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线恒过定点可知，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 故选：B
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）不论 SKIPIF 1 < 0 取何值时，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过第____象限．
【答案】四
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过第四象限．故答案为：四.
题型08直线综合
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 过的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴和 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 面积最小时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过的定点 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 （1） 知，直线 SKIPIF 1 < 0 过的定点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时对应的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，并求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距是在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距的 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若直线 SKIPIF 1 < 0 不经过第四象限，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：整理直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当截距为0时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当截距不为0时，设直 SKIPIF 1 < 0 线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，当直线 SKIPIF 1 < 0 不经过第四象限时， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，求点P坐标；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，设三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，求出直线 SKIPIF 1 < 0 方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【详解】解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 必过直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为___________；若直线 SKIPIF 1 < 0 不经过第三象限，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 不经过第三象限，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的截距式方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的截距式方程.
【答案】(1)8， SKIPIF 1 < 0 (2)4， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）根据题意可设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号），所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8，此时直线l的截距式方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线l的截距式方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 不经过第四象限，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值；
（3）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 最大时直线的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线l恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴若直线l不经过第四象限，则 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，d最大， SKIPIF 1 < 0 ，可得直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角， SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
2．（2023秋·高二课时练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则m的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由于两直线垂直， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，要保证 SKIPIF 1 < 0 必有 SKIPIF 1 < 0 ，显然不成立； SKIPIF 1 < 0 ；故选：D.
3．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为-2，所以所求直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
4．（2023秋·高二课时练习）经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线的一般式方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 知，直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，其直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
5．（2023·全国·高三对口高考）如果 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均不为零，由直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，可化为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．故选：C.
6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）若 SKIPIF 1 < 0 为实数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】若“直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行”，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合，不符合题意；
综上所述：“直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行”等价于 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行”的充要条件.故选：C.
7．（2023秋·高二课时练习）直线 SKIPIF 1 < 0 与连接 SKIPIF 1 < 0 的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
如图，

由题意，直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 总有公共点，即直线 SKIPIF 1 < 0 以直线 SKIPIF 1 < 0 为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线 SKIPIF 1 < 0 即可，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线l： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．－1或3D．3
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 重心为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
二、多选题
9．（2023秋·福建莆田·高二校考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴围成的三角形面积为1，则 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不经过第一象限
【答案】BCD
【详解】由题知，直线 SKIPIF 1 < 0
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，在直线 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，由题知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图象为
故D正确；故选：BCD
10．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 必过定点 SKIPIF 1 < 0
B．过点 SKIPIF 1 < 0 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0
C．经过点 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
D．已知直线 SKIPIF 1 < 0 和以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】A选项，直线方程变形为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即原直线必过定点 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，B不正确；
C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无意义，故C不正确；
D选项，直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ，当直线经过M时，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，当直线经过N点时，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，D不正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线 SKIPIF 1 < 0 在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /-0.5
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由于直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变化时，直线 SKIPIF 1 < 0 总是经过定点，则定点坐标为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1)0或2(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或2；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或1.
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·上海·高二专题练习）已知直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，求直线l的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，由直线过 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时直线方程 SKIPIF 1 < 0 .
（3）设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 |，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时直线方程 SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过定点P，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点P，且 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
解 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
代入点斜式方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
2．（2023·全国·高二专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 和过定点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 不重合），则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 可变为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号,所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
3．（2023·全国·高二专题练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的垂心坐标为______， SKIPIF 1 < 0 的欧拉线方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /(0,1.5) SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在的直线为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的垂心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由重心坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 的重心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
4．（2023·上海·高二专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
(1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；
(2)求△AOB面积的最小值；
(3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)3x﹣2y﹣5＝0；(2)12；(3)证明见解析，定点（3，1）．
【详解】（1）由题设直线l：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，
故直线l的方程为3x﹣2y﹣5＝0.
（2）设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点（3，2）代入得 SKIPIF 1 < 0 ，则ab≥24，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，即a＝6，b＝4时等号成立，
故△AOB的面积最小值为12.
（3）证明：点P分向量 SKIPIF 1 < 0 所成的比的值为2，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
设A（a，0），B（0，b），由P（3，2）， SKIPIF 1 < 0 ，
即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），
可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，
梯形AOMP的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得梯形FOME的面积为6，
设E（m，2），F（n，0），可得 SKIPIF 1 < 0 ，即m+n＝6，
由直线EF的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将n＝6﹣m代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得x＝3，y＝1，则直线EF经过定点（3，1）．
C综合素养
1．（2023秋·全国·高二期末）已知直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：直线恒过定点；
（2） SKIPIF 1 < 0 为何值时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离最大，最大值为多少?
（3）若直线分别与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 时，距离最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由直线方程整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知：直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 与直线垂直时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线距离最大，
又 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 与直线垂直时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；则最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·高二课时练习）如图直线 SKIPIF 1 < 0 过点(3，4)，与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的面积为24.点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，且 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 与四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 时，请你确定 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 上的位置，并求出线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
（3）在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ；（3）存在点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形.
【详解】1）显然直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）假定在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，由(1)知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，如图，
当 SKIPIF 1 < 0 时，而点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合，
设 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 知四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 ，
显然直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为-1，则 SKIPIF 1 < 0 斜率必为1，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形.
3．（2022秋·河南·高二校联考期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明: 无论 SKIPIF 1 < 0 取何值，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 总相交．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，显然与 SKIPIF 1 < 0 相交，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不重合．
又因为 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，
所以， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的公共点，
综上，无论 SKIPIF 1 < 0 取何值，直线l与直线 SKIPIF 1 < 0 总相交．
（2）解：由（1）可知，直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
所以， SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .课程标准
学习目标
①掌握确定直线的几何要素。
②掌握直线
的点斜式与斜截式方程的确定。
③解决与直线的点斜式、斜截式有关的
问题.。
通过本节课的学习，要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题.
已知条件（使用前提）
直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 和斜率 SKIPIF 1 < 0 （已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
SKIPIF 1 < 0
适用条件
斜率存在（注直线 SKIPIF 1 < 0 若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
已知条件（使用前提）
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 轴上的纵截距为 SKIPIF 1 < 0 （已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
SKIPIF 1 < 0
适用条件
斜率存在（注直线 SKIPIF 1 < 0 若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
课程标准
学习目标
①理解与掌握两点确定一条直线的公
理。
②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。
③理解与掌握直线的截距式方程的公式
及其条件，并能应用公式求直线的方程。
通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题.
已知条件（使用前提）
直线 SKIPIF 1 < 0 上的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
SKIPIF 1 < 0
适用条件
斜率存在且不为0；
当直线没有斜率( SKIPIF 1 < 0 )或斜率为 SKIPIF 1 < 0 时，不能用两点式求出它的方程
已知条件（使用前提）
直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0
图示
点斜式方程形式
SKIPIF 1 < 0
适用条件
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
课程标准
学习目标
①理解与掌握直线的一般式方程的形式
及条件.会求直线的一般式方程。
②能准确的将直线的五种形式的方程进
行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。
③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。
通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题.